収益率

収益率が複数の期間にわたって計算される場合、各期間の収益率は、その期間の開始時点における投資額に基づいて算出されます。

投資開始時の価値を次のように仮定します。${\displaystyle A}$、そして第１期末には${\displaystyle B}$期間中に資金の流入または流出がない場合、保有期間の収益は${\displaystyle R_{1}}$第1期は以下のとおりです。

${\displaystyle R_{1}={\frac {BA}{A}}}$

${\displaystyle 1+R_{1}=1+{\frac {BA}{A}}={\frac {B}{A}}}$は、第1期における成長要因である。

利益と損失${\displaystyle BA}$再投資される、つまり引き出されたり支払われたりしない場合、第2期開始時の投資価値は${\displaystyle B}$つまり、第1期末の値と同じである。

第２期末における投資価値が${\displaystyle C}$2期目の保有期間収益率は以下のとおりです。

${\displaystyle R_{2}={\frac {CB}{B}}}$

各期間の成長要因を掛け合わせる$1+R_1$そして $1+R_2$:

${\displaystyle (1+R_{1})(1+R_{2})=\left({\frac {B}{A}}\right)\left({\frac {C}{B}}\right)={\frac {C}{A}}}$

${\displaystyle (1+R_{1})(1+R_{2})-1={\frac {C}{A}}-1={\frac {CA}{A}}}$これは、連続する2期間における保有期間収益率です。

この方法は、時間加重法、幾何連結法、または連続する2つのサブ期間における保有期間収益率を合算する方法と呼ばれます。

この方法を拡張して${\displaystyle n}$期間、収益が再投資されると仮定すると、収益が${\displaystyle n}$連続する時間サブ期間は${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3},\cdots ,R_{n}}$すると、累積リターンまたは全体的なリターン${\displaystyle R}$時間加重法を用いて全体期間にわたって算出された結果は、すべての成長要因を複合的に計算した結果である。

${\displaystyle 1+R=(1+R_{1})(1+R_{2})\cdots (1+R_{n})}$

ただし、リターンが対数リターンである場合、対数リターン${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$全体期間における結果は以下のとおりです。

${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=\sum _{i=1}^{n}R_{\mathrm {log} ,i}=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}+R_{\mathrm {log} ,3}+\cdots +R_{\mathrm {log} ,n}}$

この式は収益の再投資を前提としており、連続する対数収益を合計できる、つまり対数収益は加算可能であることを意味します。^{[ 5 ]}

資金の流入と流出がある場合、この式は定義上、時間加重収益率には適用されますが、一般的には金額加重収益率には適用されません（連続する期間の金額加重収益率に基づく成長率の対数を組み合わせることは、一般的にこの式に適合しません）。

現金や証券がポートフォリオに出入りするなどの外部フローが存在する場合、リターンはこれらの動きを補正して計算する必要があります。これは、時間加重リターンなどの方法を使用して実現されます。時間加重リターンは、キャッシュフローの影響を補正します。これは、通常顧客がこれらのキャッシュフローを管理する顧客に代わって、マネーマネージャーのパフォーマンスを評価するのに役立ちます。^{[ 6 ]}

手数料控除後のリターンを測定するには、ポートフォリオの価値から手数料分を差し引きます。手数料控除前のリターンを計算するには、手数料を外部資金の流れとして扱い、未払手数料を評価額から除外します。

時間加重収益率と同様に、金額加重収益率（MWRR）またはドル加重収益率もキャッシュフローを考慮に入れます。これらは、プライベートエクイティのように、資金運用者がキャッシュフローをコントロールできるケースを評価・比較する際に役立ちます。（外部資金の流れをコントロールできない資金運用者のパフォーマンスを測定する場合に最も適している真の時間加重収益率とは対照的です。）

投資の価値は、リターンが2倍になれば2倍になる。${\displaystyle r}$= +100%、つまり、${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$= ln($200 / $100) = ln(2) = 69.3%。値は次のときにゼロになります。${\displaystyle r}$= −100%。通常のリターンは、ゼロでない任意の初期投資額と、正負の任意の最終値に対して計算できますが、対数リターンは、次の場合にのみ計算できます。${\displaystyle V_{f}/V_{i}>0}$。

通常のリターンと対数リターンは、ゼロの場合のみ等しくなりますが、小さい場合はほぼ等しくなります。両者の差が大きくなるのは、パーセント変化が大きい場合のみです。例えば、+50%の算術リターンは40.55%の対数リターンに相当し、-50%の算術リターンは-69.31%の対数リターンに相当します。

対数リターンの利点：

• 対数リターンは対称的ですが、通常のリターンは対称的ではありません。つまり、同じ大きさの正負のパーセントの通常のリターンは互いに打ち消し合って正味の変化をもたらすことはありませんが、同じ大きさで符号が反対の対数リターンは互いに打ち消し合います。これは、100ドルの投資で50%の算術リターンが得られ、その後-50%の算術リターンが得られた場合、結果は75ドルになりますが、100ドルの投資で50%の対数リターンが得られ、その後-50%の対数リターンが得られた場合、結果は100ドルに戻ることを意味します。
• 対数リターンは、連続複利リターンとも呼ばれます。これは、複利計算の頻度が関係ないことを意味し、異なる資産のリターンを比較しやすくします。
• 対数リターンは時間加算性を持つ^{[ 7 ]} 、つまり、${\displaystyle R_{\mathrm {log} ,1}}$そして${\displaystyle R_{\mathrm {log} ,2}}$連続する期間の対数リターンは、全体の対数リターンとなります。${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$は個々の対数リターンの合計、すなわち${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}}$。
• 対数リターンを用いることで、モデルにおける投資価格がマイナスになるのを防ぐことができる。

幾何平均収益率は一般的に算術平均収益率よりも低い。2つの平均値が等しくなるのは、すべてのサブ期間の収益率が等しい場合のみである。これはAM-GM不等式の結果である。年率収益率と平均年率収益率の差は、収益率の分散とともに増加する。つまり、パフォーマンスの変動が大きいほど、差は大きくなる。^{[注1 ]}

例えば、+10%のリターンに続いて-10%のリターンが発生した場合、算術平均リターンは0%となりますが、2つの期間を合わせた全体の結果は110%×90%＝99%となり、全体のリターンは-1%となります。損失と利益が発生する順序は結果に影響しません。

+20%のリターンに続いて-20%のリターンがあった場合、平均リターンは0%になりますが、全体的なリターンは-4%になります。

+100%のリターンに続いて-100%のリターンがあった場合、平均リターンは0%になりますが、最終値が0であるため、全体的なリターンは-100%になります。

レバレッジ投資の場合、さらに極端な結果になる可能性もあります。例えば、+200%のリターンに続いて-200%のリターンがあった場合、平均リターンは0%ですが、全体的なリターンは-300%になります。

前述のように、対数リターンは対称性を持つため、このパターンは当てはまりません。対数リターンが+10%で、その後-10%になると、全体のリターンは10% - 10% = 0%となり、平均リターン率もゼロになります。

年間収益率と年率換算収益率を混同しないように注意が必要です。年間収益率とは、1年間（例えば1月1日から12月31日、または2006年6月3日から2007年6月2日）の収益率を指します。一方、年率換算収益率とは、1年よりも長い、または短い期間（例えば1ヶ月、または2年）で測定した年間収益率を、1年間の収益率と比較するために年率換算したものです。

年率換算の適切な方法は、収益を再投資するかどうかによって異なります。

例えば、1ヶ月間の利回りが1%の場合、年率換算すると12.7%になります（(1+0.01) ¹² − 1）。つまり、毎月1%の利回りで再投資した場合、12ヶ月間の利回りは複利で12.7%になるということです。

別の例として、2年間のリターンが10%の場合、1年目の終わりに再投資すると仮定すると、年率換算リターンは4.88%（(1+0.1) ^(12/24) -1）となります。つまり、年率の幾何平均リターンは4.88%です。

以下のキャッシュフローの例では、4年間の収益の合計は265ドルです。再投資がないと仮定すると、4年間の年率換算収益率は、265ドル ÷ (1,000ドル × 4年) = 6.625% (年率) となります。

異なる通貨で測定された連続期間の収益を複利計算することは意味がありません。連続期間の収益を複利計算する前に、単一の測定通貨を使用して収益を再計算または調整してください。

投資には、投資家が投資した資本の一部または全部を失うリスクが伴います。例えば、企業の株式への投資は資本をリスクにさらします。貯蓄口座に預ける資本とは異なり、株価（ある時点における株式の市場価値）は、誰かがその株式にいくら支払う意思があるかによって決まり、株式市場が開いている間は株価は常に変動する傾向があります。株価が比較的安定している場合、その株式は「低ボラティリティ」であると言われます。株価が大きく変動することが多い場合、その株式は「高ボラティリティ」であると言われます。

右側は、年初に1株を100ドルで購入した株式投資の例です。

• 四半期配当金は、四半期末の株価で再投資されます。
• 四半期ごとに購入される株式数 = (配当金) / (株価)
• 最終的な投資額が103.02ドルであるのに対し、当初の投資額は100ドルだったため、リターンは3.02ドル、つまり3.02%となります。
• この例における連続複利計算による収益率は以下のとおりです。

${\displaystyle \ln \left({\frac {103.02}{100}}\right)=2.98\%}$。

米国の所得税計算におけるキャピタルゲインを算出するには、再投資した配当金を原価に含めます。投資家は年間合計4.06ドルの配当金を受け取り、その全額を再投資したため、原価は4.06ドル増加しました。

• 原価基準額 = 100ドル + 4.06ドル = 104.06ドル
• キャピタルゲイン／ロス = 103.02ドル − 104.06ドル = -1.04ドル（キャピタルロス）

したがって、米国の所得税の目的においては、配当金は4.06ドル、投資の取得原価は104.06ドルであり、年末に株式を売却した場合、売却価額は103.02ドル、資本損失は1.04ドルとなる。

投資信託、ユニット投資信託（UIT）、保険の個別口座、変額終身保険や変額年金契約などの関連する変動商品、銀行が運営する合同ファンド、共同給付ファンド、または共同信託ファンドはすべて、基礎となる投資ポートフォリオから価値を得ています。投資家やその他の関係者は、投資が様々な期間にわたってどのようなパフォーマンスを示してきたかを知りたいと考えています。

運用成績は通常、ファンドのトータルリターンによって定量化されます。1990年代には、多くのファンド会社がさまざまなトータルリターンを宣伝していました。累積リターン、平均リターン、販売手数料や諸費用控除あり・なしなど、その内容は多岐に渡りました。公平な競争環境を整え、投資家がファンドの運用成績を比較しやすくするため、米国証券取引委員会（SEC）は、ファンドに対し、標準化された計算式に基づいてトータルリターンを計算し、報告することを義務付けました。これは「SEC標準化トータルリターン」と呼ばれ、配当金や分配金の再投資を前提とし、販売手数料や諸費用を控除した年間平均トータルリターンです。ファンドは、他の基準（いわゆる「非標準化」リターン）に基づいてリターンを計算し、宣伝することもできますが、その場合でも「標準化」リターンデータと同等以上の目立つ形で公表する必要があります。

その後、1990年代後半から2000年代初頭にかけて株価が大幅に上昇した後にファンドの株式を売却した投資家は、所得税やキャピタルゲイン税がファンドの「グロス」リターンにどれほど大きな影響を与えるかを十分に理解していなかったことが明らかになった。つまり、彼らは「グロス」リターン（連邦税控除前のリターン）と「ネット」リターン（税引き後のリターン）の差がどれほど大きいかをほとんど認識していなかったのである。こうした投資家の無知への対応として、またおそらく他の理由もあって、SECはミューチュアルファンドに対し、年次目論見書に、とりわけ米国の連邦個人所得税の影響を受ける前後の総リターンを記載することを義務付ける追加規則を制定した。さらに、税引き後収益には、1) 想定される課税対象口座における、例示期間中に受け取った配当金およびキャピタルゲイン分配金に対する税金を控除した後の収益、および 2) 1) の項目による影響に加え、投資対象株式すべてを期末に売却した場合（株式の清算によるキャピタルゲイン／ロスの実現）の影響が含まれます。これらの税引き後収益は、当然ながら課税対象口座にのみ適用され、IRAなどの税繰延口座や退職金口座には適用されません。

最後に、近年では、投資家から「パーソナライズされた」証券口座明細書の要求が高まっています。つまり、投資家は、実際の投資口座の取引履歴に基づくと、ファンドの運用成績が必ずしも自身の口座の実際の運用成績と一致しない可能性があると主張しているのです。これは、投資が様々な日付で行われ、追加の購入や引き出しが行われた場合でも、その金額や日付は口座ごとに異なるため、個々の口座ごとに異なるからです。こうしたニーズに応え、投資家の口座明細書にパーソナライズされた運用成績を記載するファンドや証券会社が増えています。

さて、前置きはこれくらいにして、投資信託における基本的な収益と損益の仕組みについて説明しましょう。投資信託は、配当金や利息収入を計上し、通常は投資信託の受益証券の価値を高めます。一方、経費は受益証券の価値を相殺する効果があります。投資信託の投資資産の市場価値が上昇（下落）すると、受益証券の価値も上昇（または下落）します。投資信託が投資資産を売却して利益を得ると、その帳簿上の利益または未実現利益を実際の利益または実現利益に転換または再分類します。売却自体は受益証券の価値には影響しませんが、投資信託の帳簿上でその価値の構成要素をある区分から別の区分に再分類することになり、これは将来的に投資家に影響を与えます。投資信託は通常、少なくとも年に一度、IRS （内国歳入庁）の要件として、純利益（収入から経費を差し引いた額）と実現した純資本利益から株主に配当金を支払います。この方法により、投資信託自体は税金を支払わず、課税対象口座のすべての投資家が税金を支払うことになります。投資信託の株価は通常、株式市場または債券市場が開いている日ごとに評価され、通常、1株当たりの価値は投資家が保有する投資信託の株式の純資産価値に相当します。

投資信託は、配当金だけでなくキャピタルゲインも収益計算に含めます。投資信託の市場価格は純資産価値に基づいて算出されるため、キャピタルゲイン分配金は、投資信託の株価の同額の下落によって相殺されます。株主の視点から見ると、キャピタルゲイン分配金は資産の純増ではなく、実現したキャピタルゲイン（未実現キャピタルゲインの同額の下落を伴う）となります。