時間加重リターン

時間加重収益率（TWR、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} TWRR、TWOR 、またはTTWRORは真の時間加重収益率）は、投資収益率を計算する方法であり、各サブ期間の収益率を複利計算し、各サブ期間をその期間に応じて加重します。時間加重方式は、外部フローを補正する特定の方法において、他の投資収益率計算方法とは異なります。

外部フロー

時間加重リターンは、外部資金フローを考慮した投資ポートフォリオの過去のパフォーマンス指標です。外部資金フローとは、現金、証券、その他の金融商品の移転によって生じる、ポートフォリオへの純流入またはポートフォリオからの純流出を指します。これらのフローは、購入や売却の場合とは異なり、同時かつ同額で反対の価値の取引を伴わないのが特徴です。さらに、利子、クーポン、配当金など、ポートフォリオの投資によって生み出される収益から生じるものでもありません。

外部資金の流れを補正するため、分析対象となる全体期間は、外部資金の流れが発生するたびに、その期間内の各時点で連続するサブ期間に分割されます。一般的に、これらのサブ期間の長さは異なります。外部資金の流れの間のサブ期間における収益は、幾何級数的に（複利的に）連結されます。つまり、すべてのサブ期間の成長率を掛け合わせることによって計算されます。各サブ期間の成長率は、1にそのサブ期間の収益率を加えた値となります。

外部フローの問題

外部フローの問題を説明するために、次の例を考えてみましょう。

例１

投資家が1年目の初めにポートフォリオに500ドルを移し、2年目の初めにさらに1,000ドルを移し、2年目の終わりにポートフォリオの合計価値が1,500ドルになったとします。2年間の純利益はゼロなので、直感的には、2年間全体のリターンは0%になると予想するかもしれません（これは、マネー加重法の1つを適用した結果でもあります）。2年目の初めの1,000ドルのキャッシュフローを無視すると、フローを補正せずにリターンを計算する単純な方法は200%（1,000ドル÷500ドル）になります。直感的には、200%は間違っています。

しかし、さらに情報を加えると、異なる状況が見えてきます。最初の投資が1年目で100%増加し、その後2年目でポートフォリオが25%減少した場合、2年間の全体的なリターンは、100%の増加（500ドル）と25%の損失（500ドル）を複利で掛け合わせた結果になると予想されます。時間加重リターンは、各年の成長率（つまり、2回目のポートフォリオへの資金移動の前後の成長率）を掛け合わせ、そこから1を引いて、結果をパーセンテージで表すことで求められます。

(1+1.0)(1-0.25)-1=2.0\times 0.75-1=1.5-1=0.5=50\%

。

時間加重収益率から分かるように、2年間で純利益がゼロだったのは、2年目の初めの資金流入のタイミングが悪かったためである。

この例では、時間加重リターンは投資家にとってのリターンを過大評価しているように見えます。なぜなら、投資家は純利益を得ていないからです。しかし、時間加重リターンは、各年のパフォーマンスを均等化ベースで複利計算することで、2年目の初めのキャッシュフローのタイミングの悪さに関係なく、投資活動のパフォーマンスを正しく評価します。もし資金の全てを1年目の初めに投資していたとしたら、どのような基準で見てもリターンは50%だったでしょう。1,500ドルは1年目の終わりに100%増加して3,000ドルになり、その後2年目の終わりに25%減少して2,250ドルとなり、結果として750ドル、つまり1,500ドルの50%の利益となります。この違いは、見方の違いによるものです。

フローの調整

資金流入がない場合のポートフォリオのリターンは以下のとおりです。

R={\frac {M_{2}-M_{1}}{M_{1}}}

どこ $M_{2}$ ポートフォリオの最終価値は、 $M_{1}$ はポートフォリオの初期値であり、 $R$ これは、当該期間におけるポートフォリオの収益率です。

成長要因は：

1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}}}

分析対象期間中の外部資金流入は、パフォーマンス計算を複雑化させます。外部資金流入を考慮しない場合、パフォーマンス測定は歪められます。ポートフォリオへの資金流入は、この方法による実際のパフォーマンスを過大評価する原因となり、ポートフォリオからの資金流出は、実際のパフォーマンスを過小評価する原因となります。

外部の流れを補償するために $C_{1}$ 期間開始時にポートフォリオに投入された資金を調整し、ポートフォリオの初期値を調整する。 $M_{1}$ 追加することで $C_{1}$ 戻り値は次のとおりです。

R={\frac {M_{2}-(M_{1}+C_{1})}{M_{1}+C_{1}}}

そして、対応する成長因子は次のとおりです。

1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}

外部の流れを補償するために $C_{2}$ 評価直前にポートフォリオに組み入れる $M_{2}$ 期間終了時にポートフォリオの最終価値を調整する $M_{2}$ 引き算によって $C_{2}$ 戻り値は次のとおりです。

R={\frac {(M_{2}-C_{2})-M_{1}}{M_{1}}}

そして、対応する成長因子は次のとおりです。

1+R={\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}

外部資金の流れを補償する時間加重収益率

ポートフォリオは、外部資金流入の直後に評価されると仮定します。各サブ期間の終了時点におけるポートフォリオの価値は、直前に発生した外部資金流入を考慮して調整されます。ポートフォリオへの外部資金流入はプラス、ポートフォリオからの資金流出はマイナスとみなされます。

1+R={\frac {M_{1}-C_{1}}{M_{0}}}\times {\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}\times {\frac {M_{3}-C_{3}}{M_{2}}}\times \cdots \times {\frac {M_{n-1}-C_{n-1}}{M_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}-C_{n}}{M_{n-1}}}

どこ

R

はポートフォリオの時間加重収益率であり、

M_{0}

は初期ポートフォリオ価値です。

M_{t}

サブ期間終了時のポートフォリオ価値

t

外部フロー直後

C_{t}

、

M_{n}

は最終的なポートフォリオ価値です。

C_{t}

は、サブ期間終了直前に発生するポートフォリオへの純外部資金流入です。

t

、

そして

n

はサブ期間の数です。

全体期間の終わりに外部フローが発生する場合、サブ期間の数は $n$ フローの数と一致します。ただし、全体の期間の終わりにフローがない場合は、 $C_{n}$ はゼロであり、サブ期間の数は $n$ フロー数より1大きい。

ポートフォリオの評価が各フローの直後ではなく直前に行われる場合、各フローは各サブ期間の終了値ではなく開始値を調整するために使用され、結果として異なる計算式が得られます。

1+R={\frac {M_{1}}{M_{0}+C_{0}}}\times {\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}\times {\frac {M_{3}}{M_{2}+C_{2}}}\times ...\times {\frac {M_{n-1}}{M_{n-2}+C_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}}{M_{n-1}+C_{n-1}}}

どこ

R

はポートフォリオの時間加重収益率であり、

M_{0}

は初期ポートフォリオ価値です。

M_{t}

サブ期間終了時のポートフォリオ価値

t

外部フローの直前

C_{t}

、

M_{n}

は最終的なポートフォリオ価値です。

C_{t}

これは、サブ期間の開始時に発生するポートフォリオへの純外部流入です。

{t+1}

、

そして

n

はサブ期間の数です。

説明

なぜ「時間加重」と呼ばれるのか

時間加重という用語は、連続（対数）収益率を用いると最もよく理解できます。全体の収益率は、各サブ期間における連続収益率の時間加重平均です。

流れがない場合、

終了値 = 開始値 × e^{r_{\mathrm {log} }t}}

どこ $r_{\mathrm {log} }$ は連続収益率であり、 $t$ 時間の長さです。

例２

10年間の期間において、ポートフォリオは、そのうち3年間は年率5%、残りの7年間は年率10%の継続的な収益率で成長する。

終了値 = 開始値 × e^{0.05 × 3} × e^{0.10 × 7}}

={\text{開始値}}\times e^{\left(0.05\times {\frac {3}{10}}+0.10\times {\frac {7}{10}}\right)\times 10}

10年間の連続的な時間加重収益率は、時間加重平均です。

5\%\times {\frac {3}{10}}+10\%\times {\frac {7}{10}}={\frac {5\%\times 3+10\%\times 7}{10}}=8.5\%

通常の時間加重収益率

例３

別の例として、5年間の投資のうち2年間は年率10%、残りの3年間は年率-3%のリターンが得られる場合の、5年間の年率換算の通常リターンを計算してみましょう。5年間の通常の時間加重リターンは次のようになります。

(1+0.10)(1+0.10)(1-0.03)(1-0.03)(1-0.03)-1

=1.1^{2}\times 0.97^{3}-1

=0.104334\ldots

=10.4334\ldots \%

年率換算後の収益率は以下のとおりです。

(1.1^{2}\times 0.97^{3})^{1/(2+3)}-1

=1.0200\ldots -1

=2.00\ldots \%{\text{ p.a.}}

収益率が10%であった期間は2年間であり、これは1.1という係数の2乗に反映されている。

1.1^{2}

同様に、3年間の収益率は-3%であり、これは0.97という係数の3乗に表されます。そして、その結果は5年間全体で年率換算されます。

ポートフォリオのパフォーマンス測定

投資運用担当者は、自らが管理できる投資活動に基づいて評価されます。資金の流れのタイミングをコントロールできない場合、資金の流れのタイミングを補正し、ポートフォリオに真の時間加重収益率法を適用することが、ポートフォリオ全体レベルでの投資運用担当者のパフォーマンスを測る上でより優れた指標となります。

ポートフォリオ内の要素の内部フローとパフォーマンス

内部フローとは、ポートフォリオ内の保有資産の売買といった取引であり、購入に使用された現金と売却による現金収入も同じポートフォリオ内に収まるため、外部フローは発生しません。ポートフォリオ内の株式に対する現金配当は、その株式と同じポートフォリオ内に保持されるため、ポートフォリオ内の株式から現金口座へのフローとなります。これはポートフォリオ内部のフローですが、株式と現金口座を個別に、互いに切り離して考えると、両者にとって外部フローとなります。

時間加重法は、内部資金フローの規模とタイミングに起因する効果を全体として捉えるにとどまります（つまり、ポートフォリオ全体のパフォーマンスに影響を与える範囲においてのみ）。これは、時間加重法が資金フローの影響を相殺するのと同じ理由です。したがって、ポートフォリオ全体のパフォーマンスを捉えるのと同様に、個々の証券レベルの決定によるパフォーマンスなど、ポートフォリオの一部のパフォーマンスを効果的に捉えることはできません。

特定の証券の、最初の購入から最終的な売却までの時間加重リターンは、中間的な購入や売却の有無、そのタイミング、規模、および市場環境に関係なく同じです。これは常に株価パフォーマンス（配当などを含む）と一致します。時間加重リターンのこの特徴が望ましい目的でない限り、時間加重法は、個々の金融商品レベルでの投資パフォーマンス帰属分析のための代替手法よりも情報量が少ないと言えるでしょう。多くの場合、個々の証券レベルでのパフォーマンス帰属分析が意味を持つためには、リターンが株価リターンと異なる必要があります。個々の証券のリターンが株価リターンと一致する場合、取引タイミング効果はゼロになります。

時間加重法のこの特徴を示す例として、以下の例4を参照してください。

例4

ある投資家が1株10ドルで10株を購入したとしましょう。その後、同じ会社の株式を1株12ドルの市場価格でさらに5株購入しました（取引手数料は考慮しません）。そして、保有していた合計15株を1株11ドルで売却しました。

2回目の購入は、1回目の購入と比べてタイミングが悪かったように思われます。ポートフォリオ内の現金残高を除いた、株式の時間加重（保有期間）リターンから、このタイミングの悪さは明らかでしょうか？

これらの特定の株式保有の時価総額加重収益率を、株式購入に使用された現金とは切り離して計算するには、株式購入を外部からの資金流入として扱います。すると、2回目の購入に先立つ最初のサブ期間（最初の10株のみを保有している場合）の成長率は次のようになります。

{\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {10\times 12}{10\times 10}}={\frac {120}{100}}=1.2

そして、2回目の購入後、合計15株になった時点での第2サブ期間における成長率は次のとおりです。

{\frac {\text{End value}}{\text{start value}}}={\frac {15\times 11}{15\times 12}}={\frac {165}{180}}=0.91666\ldots

したがって、全体の期間成長率は次のようになります。

{\text{Product of sub-period growth factors}}={\text{first sub-period growth factor}}\times {\text{second sub-period growth factor}}

={\frac {120}{100}}\times {\frac {165}{180}}

={\frac {120\times 165}{100\times 180}}

={\frac {19,800}{18,000}}

=1.1

そして、時間加重保有期間リターンは次のようになります。

{\text{Growth factor}}-1=0.1=10\%

これは、株価の変動を用いて計算した単純収益率と同じです。

={\frac {{\text{End value}}-{\text{start value}}}{\text{start value}}}={\frac {11-10}{10}}

2回目の購入のタイミングが悪かったことは、例えば純粋なバイ・アンド・ホールド戦略（つまり、すべての株式を期首に購入し、期末まで保有する）と比較して、時間加重法を用いて計算した株式投資のパフォーマンスに何ら影響を与えなかった。

他の返品方法との比較

投資収益を計算する際に、外部資金の流れを補正する方法は他にも存在する。こうした方法は「金額加重法」または「ドル加重法」として知られている。外部資金の流れのタイミングが悪い場合、時間加重法による収益は、他の投資収益計算方法による結果よりも高くなる（上記の例4を参照）。

内部収益率

これらの方法の1つに、内部収益率があります。真の時間加重収益率法と同様に、内部収益率も複利の原理に基づいています。これは、すべての外部フローの正味現在価値と最終価値を初期投資額と等しくする割引率です。ただし、内部収益率の推定値を求める方程式を解くには、一般的に反復的な数値計算法が必要であり、場合によっては複数の結果が返されることがあります。

内部収益率は、プライベートエクイティ投資のパフォーマンスを測定する際によく用いられる指標である。なぜなら、リミテッドパートナー（最終投資家）よりもプリンシパルパートナー（投資運用会社）の方が、キャッシュフローのタイミングをよりコントロールできるからである。

シンプルなディーツメソッド

シンプル・ディーツ法^{[ 3 ]}は、内部収益率法の根底にある複利原理とは対照的に、単純な利子率原理を適用し、さらに、フローが時間間隔の中間点で発生する（または同等に、時間間隔全体に均等に分布する）と仮定します。しかし、このような仮定が成り立たない場合、シンプル・ディーツ法は不適切であり、そのような場合には他の方法とは異なる結果を生み出します。

同一期間におけるポートフォリオ内の2つ以上の異なる構成資産の単純ディーツリターンを、加重平均によって組み合わせることで、単純ディーツポートフォリオリターンを算出できます。加重値は、開始時の値に純流入額の半分を加えたものです。

例5

例4（上記）で購入した株式に単純ディーツ法を適用する：

{\text{Simple Dietz return}}={\frac {\text{gain or loss}}{{\text{start value}}+{\frac {1}{2}}\times {\text{net inflow}}}}

{\text{Gain or loss}}={\text{end value}}-{\text{start value}}-{\text{net inflow}}

=165-100-60

=5

それで

{\text{Simple Dietz return}}={\frac {5}{100+{\frac {1}{2}}\times 60}}

={\frac {5}{130}}

=3.86\%{\text{ (2 d. p.)}}

これは、時間加重平均リターンである10％よりも明らかに低い値である。

改良ディーツ法

修正ディーツ法は、単純ディーツ法と同様に、単純な利子率の原理を適用するもう一つの方法です。ポートフォリオの初期値と（資金流入を差し引いた）価値の増加を比較する代わりに、一定期間の平均資本と純価値の増加を比較します。平均資本は、各外部資金流入のタイミングを考慮に入れます。修正ディーツ法と内部収益率法の違いは、修正ディーツ法が単純な利子率の原理に基づいているのに対し、内部収益率法は複利の原理を適用している点にあるため、収益率が低い場合は、短期間では両方法とも同様の結果になります。ポートフォリオの規模に対して資金流入が大きく、収益率も低くない長期間では、両者の差はより顕著になります。

単純なディーツ法と同様に、ポートフォリオ内の2つ以上の異なる構成資産の同一期間における修正ディーツ収益率を、加重平均によって組み合わせることで、修正ディーツポートフォリオ収益率を算出できます。この場合、各資産の収益率に適用される加重は、その資産の平均資本です。

例6

例4および例5で説明したシナリオを再度参照すると、2回目の購入が全体の期間のちょうど中間で発生した場合、修正ディーツ法は単純なディーツ法と同じ結果になります。

2回目の購入が全体の期間の半分よりも前に行われた場合、利益は5ドルで変わりませんが、平均資本は開始時の値に純流入額の半分を加えた値よりも大きくなるため、修正ディーツ法の分母は単純ディーツ法の分母よりも大きくなります。この場合、修正ディーツ法の収益率は単純ディーツ法の収益率よりも小さくなります。

2回目の購入が全体の期間の半分より後に行われた場合、利益は5ドルで変わりませんが、平均資本は開始時の値に純流入額の半分を加えた値よりも少なくなるため、修正ディーツ法の分母は単純ディーツ法の分母よりも小さくなります。この場合、修正ディーツ法の収益率は単純ディーツ法の収益率よりも大きくなります。

2回目の株式購入が期間のどの段階で行われたとしても、平均資本は100を超えるため、修正ディーツリターンは5%未満となる。これは、時間加重リターンである10%よりも明らかに低い。

リンクされたリターンメソッド

「真の時間加重リターン」の算出は、投資期間中のポートフォリオ評価額の入手可能性に依存します。各資金フロー発生時に評価額が入手できない場合、評価額が入手可能な期間末日を用いて、連続する期間のリターンを幾何級数的に連結することで、時間加重リターンを推定するしかありません。このような近似的な時間加重リターン算出方法は、真の時間加重リターンを過大評価または過小評価する傾向があります。

リンク型内部収益率（LIROR）は、真の時間加重収益率を近似するために用いられることがある別の方法です。これは、真の時間加重収益率法と内部収益率（IRR）法を組み合わせたものです。内部収益率は一定の時間間隔で推定され、その結果が幾何級数的にリンクされます。たとえば、連続する年の内部収益率が4%、9%、5%、11%の場合、LIRORは1.04 x 1.09 x 1.05 x 1.11 – 1 = 32.12%となります。一定の時間間隔が年でない場合は、まず各時間間隔の非年率化保有期間IRRまたは各時間間隔のIRRを計算し、次にそれぞれをその時間間隔の保有期間収益率に変換し、これらの保有期間収益率をリンクしてLIRORを取得します。

フローがない場合の戻り値メソッド

外部資金の流れがない場合、これらの方法（時間加重収益率、内部収益率、修正ディーツ法など）はすべて同じ結果をもたらします。これらの方法が互いに異なるのは、資金の流れの扱い方が異なるためです。

対数リターン

連続または対数リターン法は、フローを補償するための競合する手法ではありません。それは単に自然対数です。 $ln\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)$ 成長因子の。

料金

手数料控除後のリターンを測定するには、ポートフォリオの価値から手数料分を差し引きます。手数料控除前のリターンを計算するには、手数料を外部資金の流れとして扱い、累積手数料のマイナスの影響を評価から除外します。

年間収益率

リターンとリターン率は、時として同義語として扱われますが、時間加重法などの方法で計算されるリターンは、保有期間がたまたま1年でない限り、1ドル当たり（またはその他の通貨単位当たり）のリターンであり、1年当たり（またはその他の時間単位当たり）のリターンではありません。年率換算、つまり年率リターンへの変換は、別のプロセスです。詳しくは「リターン率」の記事を参照してください。

参考文献

↑年金基金の投資パフォーマンスの測定、銀行経営研究所、1968年12月
↑『投資パフォーマンス測定』、ウィリアム・G・ベイン著、ウッドヘッド出版、第1版（1996年3月13日） ISBN 978-1855731950
↑ディーツ、ピーター・O.年金基金：投資パフォーマンスの測定。フリープレス、1966年。

さらに読む

カール・ベーコン著『実践的ポートフォリオパフォーマンス測定とアトリビューション』ウェスト・サセックス：ワイリー、2003年。ISBN 0-470-85679-3
ブルース・J・ファイベル著『投資パフォーマンス測定』ニューヨーク：ワイリー、2003年。ISBN 0-471-26849-6

[1] 年金基金の投資パフォーマンスの測定、銀行経営研究所、1968年12月

[2] 『投資パフォーマンス測定』、ウィリアム・G・ベイン著、ウッドヘッド出版、第1版（1996年3月13日） ISBN 978-1855731950

[3] ディーツ、ピーター・O.年金基金：投資パフォーマンスの測定。フリープレス、1966年。

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