ラムゼイ・キャス・クープマンスモデル

ラムゼー・キャス・クープマンス・モデル、あるいはラムゼー成長モデルは、フランク・P・ラムゼー^[1]の研究を主にベースとした経済成長の新古典派モデルであり、デイヴィッド・キャスとチャリング・クープマンス[ ² ]によって大幅に拡張されている。^[3]ラムゼー・キャス・クープマンス・モデルは、消費の選択が明示的にミクロ基礎づけられており、貯蓄率が内生化される点でソロー・スワン・モデルと異なる。その結果、ソロー・スワン・モデルとは異なり、貯蓄率は長期定常状態への移行中に一定ではない可能性がある。このモデルのもう1つの意味は、結果がパレート最適またはパレート効率的であるということにある。^{[注 1]}

もともとラムゼーは、社会計画者が世代を超えて消費レベルを最大化する問題としてこのモデルを提示した。 ^[4]その後、キャスとクープマンスは、代表的エージェントを持つ分散型の動的経済の記述としてこのモデルを採用した。ラムゼー・キャス・クープマンス・モデルは、景気循環の変動ではなく長期的な経済成長の説明のみを目的としており、市場の不完全性、世帯間の異質性、外生的ショックなどの撹乱源は考慮していない。そのため、その後の研究者らは、政府購入ショック、雇用の変動、その他の撹乱源を考慮してモデルを拡張した。これは、リアル・ビジネス・サイクル理論として知られている。

通常の設定では、時間は連続的であり、簡単にするために から始まり、永遠に続きます。仮定により、唯一の生産要素は資本と労働であり、両方とも非負である必要があります。全人口を構成する労働力は一定率 で増加すると仮定されます。つまり、初期レベルが であることを意味します。最後に、 は総生産を表し、 は総消費を表します。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL}$${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$${\displaystyle L_{0}>0}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$

ラムゼー・キャス・クープマンスモデルが最終的に記述しようとする変数は、一人当たり（より正確には労働者一人当たり）の消費である と、いわゆる資本集約度である である。このモデルは、まずニュートン記法で書かれた資本蓄積 を消費 と結び付けて、消費と投資のトレードオフを記述する。より具体的には、既存の資本ストックは減価償却率（一定と仮定）で減少するため、現在の期間の生産量の投資が必要となる。したがって、${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$${\displaystyle {\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\dot {K}}=Y-\delta K-cL}$$

生産要素と総生産量との関係は、総生産関数、によって記述されます。一般的な選択はコブ・ダグラス生産関数ですが、一般的には稲田条件を満たす任意の生産関数が許容されます。ただし、重要なのは、が次数 1 の同次である必要があることです。これは、経済的に規模の経済性が一定であることを意味します。この仮定により、総生産量を1人当たりで再表現できます。たとえば、 でコブ・ダグラス生産関数を使用すると、 となります。 ${\displaystyle Y=F(K,L)}$ ${\displaystyle F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)}$$${\displaystyle A=1,\alpha =0.5}$${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$

ラムゼー・キャス・クープマンスモデルの最初の重要な方程式を得るためには、資本ストックの動学的方程式を一人当たりで表す必要がある。の商則に注目すると、 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)}$

ソロー・スワンモデルに似た非線形微分方程式。

消費がどのように分配されるかという問題を無視すると、効用率は総消費の関数になります。つまり、 です。無限大の問題を回避するために、将来の効用を割引率で指数的に割り引きます。 が高いほど、焦りが大きいことを反映します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U=U(C,t)}$ ${\displaystyle \rho \in (0,\infty )}$${\displaystyle \rho }$

社会計画者の課題は社会福祉関数 を最大化することである。 ${\displaystyle U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t}$

経済が、不変の効用関数を持つ同一の不死の個人（代表的エージェント）によって構成されており、総効用は次のようになると仮定します。効用関数は、 において厳密に増加し（すなわち、至福点 は存在しない）、 において凹であると仮定されます。^{[注 2]}ここで、 は消費の限界効用です 。 ${\displaystyle u(c)}$$${\displaystyle U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$${\displaystyle u_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial c}}}$

したがって、社会計画者の問題は次のようになります。

${\displaystyle \max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

ここで、初期のゼロ以外の資本ストックが与えられます。 ${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$

積分が明確に定義されるようにするために、 を課します。 ${\displaystyle \rho >n}$

解は通常ハミルトン関数[^{注3] [注4]}を用いて求められ、消費の最適な進化を記述する微分方程式である。

ケインズ・ラムゼイルール[ ^5]

項（ は資本の限界生産性 ）は、資本の減価償却と時間割引を考慮した 純投資の限界収益を反映します。${\displaystyle f_{k}(k)-\delta -\rho }$${\displaystyle f_{k}=\partial _{k}f}$

ここで、異時点間の代替の弾力性は、次のように定義されます。これは、正式には相対的リスク回避度の逆数に相当します。この量は効用関数の曲率を反映し、代表的エージェントが時間の経過に伴って消費を平滑化したい程度を示します。エージェントの相対的リスク回避度が高い場合、EIS は低くなり、したがって時間の経過に伴って消費を平滑化しようとする可能性が高くなります。 ${\displaystyle \sigma (c)}$$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}}$$

は厳密に単調増加かつ凹型であるとよく想定されるため、 となります。特に、効用が対数的である場合、それは一定です。ラムゼー則は次のように書き直すことができます。ここで、 は「消費遅延率」として解釈します。なぜなら、この値が高い場合、それはエージェントが後で消費するのに比べて今消費する量が大幅に少ないことを意味し、これが本質的に消費遅延に関するものであるためです。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \sigma >0}$$${\displaystyle u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1}$$$${\displaystyle \underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\ln c}$

と の 2 つの結合した微分方程式は、ラムゼー・キャス・クープマンス力学系を形成します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle c}$

システムの定常状態 は、 と をゼロに設定することで得られます。 解決法は 3 つあります。 ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$${\displaystyle {\dot {k}}}$${\displaystyle {\dot {c}}}$

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0}$

1 つ目は、上象限の内部にある唯一の解です。これは鞍点です (下図参照)。2 つ目は反発点です。3 つ目は退化した安定平衡です。

デフォルトでは最初のソリューションが意図されていますが、他の 2 つのソリューションも追跡することが重要です。

いかなる最適軌道も動的システムに従わなければなりません。しかし、変数 は制御変数であるため、各資本集約度 において、対応する最適軌道を見つけるには、その開始消費率 を見つける必要があります。結局のところ、最適軌道は内部均衡点に収束する唯一の軌道です。他の軌道は、 で全貯蓄均衡に収束するか、 に発散します。これは、経済が有限時間内にすべての資本を消費することを意味します。どちらも、内部均衡点に向かう軌道よりも全体的な効用が低くなります。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c(0)}$${\displaystyle k^{*}>0,c^{*}=0}$${\displaystyle k\to 0,c\to \infty }$

解の安定性 に関する定性的な記述には、一次テイラー多項式による線形化が必要である。${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

ここで、定常状態で評価されたヤコビ行列は[^注5]で与えられる 。${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

は仮定により正であり、凹である ため（稲田条件）、行列式を持つ。行列式は 固有値の積に等しいので、固有値は実数で符号が反対でなければならない。^[6]${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$${\displaystyle c^{*}>0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle f_{kk}<0}$${\displaystyle f}$

したがって、安定多様体定理によれば、平衡は鞍点であり、平衡に収束する唯一の安定な腕、つまり「鞍点」が存在します。これは、相図の青い曲線で示されます。

このシステムは「ポンジースキームがない」という条件によってすべての不安定な軌道が排除されるため、「鞍点安定」と呼ばれます。^[7]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

これは、資本ストックの現在価値がマイナスになることはないことを意味している。 ^{[注 6]}

スピアとヤングは、1950年代から1960年代にかけての最適成長の歴史を再検証し、^[8]部分的には、キャスの「資本蓄積の集約モデルにおける最適成長」（1965年にReview of Economic Studiesに掲載）とチャリング・クープマンの「最適経済成長の概念について」（1965年にローマのPontifical Academy of Scienceで開催され、計量経済学的アプローチに関する研究週間に掲載）が同時かつ独立して発展したという主張の真実性に焦点を当てています。

生涯を通じて、キャスもクープマンスも、単一セクターの連続時間成長モデルにおける最適成長を特徴付ける結果が「同時かつ独立」以外の何物でもないと示唆したことは一度もなかった。優先順位の問題が議論の的となったのは、クープマンスの研究の出版版で、後に RES 論文となったキャスの論文の章を引用したからにすぎない。クープマンスは論文の脚注で、キャスはクープマンスが発見したものと同様の条件を独自に得たこと、また論文で割引率がゼロになる極限ケースも検討していることを述べている。一方、キャスは「この論文のオリジナル版が完成した後、クープマンスによる非常によく似た分析が私たちの目に留まった。私たちは、実効的な社会的割引率がゼロになる極限ケースを議論する際に、彼の結果を参考にしている」と述べている。キャスがMacroeconomic Dynamicsに与えたインタビューでは、クープマンスがフランク・ラムゼイの以前の研究を教えてくれたと述べ、それを知らなかったことを恥ずかしく思ったと主張しているが、彼の研究とクープマンスの研究は実際には独立していたという基本的な主張を払拭するような発言はしていない。

^{スピアとヤングは、クープマンスの論文のこれまで見過ごされてきたワーキングペーパー版[9]}に基づいてこの歴史に異議を唱えている。このワーキングペーパー版は、1963年10月にローマ教皇庁科学アカデミーが開催した会議でのクープマンスの頻繁に引用される発表の基礎となった。 ^[10] このカウルズディスカッションペーパーには誤りがある。クープマンスは、その主要な結果の中で、オイラー方程式はモデルの最適軌道を特徴付けるのに必要かつ十分であると主張している。なぜなら、最適な定常状態に収束しないオイラー方程式の解はどれも、有限時間内に消費ゼロまたは資本ゼロの境界に達するからである。この誤りはバチカン会議で明らかに示されたが、クープマンスがそれを発表した時点では、参加者からこの問題についてコメントはなかった。これは、バチカン会議での各論文発表後の議論が会議録に逐語的に保存されていることから推測できる。

エドモン・マリンヴォーの論文発表後のバチカン巻の議論では、マリンヴォーが論文にいわゆる「横断条件」（マリンヴォーは条件 I と呼ぶ）を明示的に含めたために、問題が実際に生じている。発表の最後に、クープマンスはマリンヴォーに、条件 I は、最適な定常状態に収束しないオイラー方程式の解が有限時間内に限界に達することを単に保証しているだけではないのかと尋ねた。マリンヴォーはそうではないと答え、クープマンスに対数効用関数とコブ・ダグラス生産関数の例を見るよう提案した。

この時点で、クープマンスは明らかに問題を認識しているが、バチカン会議後に作成された論文の後のバージョンの混乱した付録に基づくと、彼はマリンヴォーの条件 I によって提起された問題にどう対処するか決められないようだ。

マクロ経済動学誌の Cass へのインタビューから、クープマンスが Cass の指導教官である宇沢弘文と 1964 年 1 月の計量経済学会の冬季会議で会ったことは明らかである。そこで宇沢は、自分の教え子 [Cass] がすでにこの問題を解いているとクープマンスに伝えた。宇沢はその後、Cass の論文の章のコピーをクープマンスに渡したに違いない。宇沢はそれを、クープマンスが論文の出版版で引用した IMSSS 技術レポートを装って送ったようだ。「装い」という言葉はここで適切である。なぜなら、クープマンスの引用に記載されている TR 番号から判断すると、レポートの発行日は 1950 年代初頭となるが、明らかにそうではないからである。

クープマンスの論文の出版版では、オイラー方程式に加えて新しい条件アルファを課し、オイラー方程式を満たす軌道の中で唯一許容されるのは、モデルの最適な定常平衡に収束する軌道であると述べている。この結果は、カスの論文で、カスがレフ・ポンチャギンの本の関連部分から推測した横断条件を課すことによって導き出された。^[11]スピアとヤングは、クープマンスがこの方法を取ったのは、マリンヴォーやカスの横断技術を「借用」しているように見られたくなかったからではないかと推測している。

スピアとヤングは、この研究と、1950 年代のマリンヴォーの貢献 (特に横断条件の重要性に関する彼の直観) に関するその他の研究に基づいて、新古典派成長モデルは、確立されたラムゼー・キャス・クープマンスの敬称よりも、ラムゼー・マリンヴォー・キャス モデルと呼ぶ方が適切かもしれないと示唆している。

• アセモグル、ダロン(2009)。「新古典派成長モデル」。現代経済成長入門。プリンストン：プリンストン大学出版局。287～326 ページ。ISBN 978-0-691-13292-1。
• Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004)。「消費者最適化による成長モデル」。経済成長(第 2 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill。pp. 85–142。ISBN 978-0-262-02553-9。
• ベナシー、ジャン＝パスカル（2011）。「ラムゼーモデル」。マクロ経済理論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 145–160。ISBN 978-0-19-538771-1。
• ブランチャード、オリヴィエ・ジャン、フィッシャー、スタンレー（1989年）。「消費と投資：基本的な無限時間モデル」。マクロ経済学講義。ケンブリッジ：MIT出版。pp.37-89。ISBN 978-0-262-02283-5。
• ミャオ・ジャンジュン（2014年）。「新古典派成長モデル」。離散時間における経済ダイナミクス。ケンブリッジ：MIT出版。pp.353-364。ISBN 978-0-262-02761-8。
• Novales, Alfonso、Fernández, Esther、Ruíz, Jesús (2009)。「最適成長: 連続時間分析」。経済成長: 理論と数値解法。ベルリン: Springer。pp. 101–154。ISBN 978-3-540-68665-1。
• ロマー、デイビッド(2011)。「無限時間モデルと重複世代モデル」。上級マクロ経済学(第 4 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。pp. 49–77。ISBN 978-0-07-351137-5。

• YouTubeでのオラツィオ・アタナシオによるラムゼイの原論文に関する議論