安定多様体定理

数学、特に力学系と微分方程式の研究において、安定多様体定理は、与えられた双曲的不動点に近づく軌道の集合の構造に関する重要な結果である。これは、不動点付近の局所微分同相写像の存在は、その不動点を含む局所安定中心多様体の存在を意味すると大まかに述べている。この多様体の次元は、不動点のヤコビ行列の固有値のうち 1 未満のものの数に等しい^。[1]

させて

${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

を に双曲不動点を持つ滑らかな写像とする。 の安定集合を で表し、の不安定集合をで表す。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle W^{s}(p)}$${\displaystyle W^{u}(p)}$${\displaystyle p}$

定理^{[2] [3] [4]}は、

• ${\displaystyle W^{s}(p)}$は滑らかな多様体であり、その接空間はにおけるの線型化の安定空間と同じ次元を持ちます。${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle W^{u}(p)}$は滑らかな多様体であり、その接空間はにおけるの線型化の不安定空間と同じ次元を持ちます。${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

したがって、は安定多様体であり、 は不安定多様体です。 ${\displaystyle W^{s}(p)}$${\displaystyle W^{u}(p)}$

• 中心多様体定理
• リャプノフ指数

1. ^ Shub, Michael (1987). 動的システムの全体的安定性. Springer. pp. 65–66.
2. ^ Pesin, Ya B (1977). 「特性リアプノフ指数と滑らかなエルゴード理論」.ロシア数学概論. 32 (4): 55–114. Bibcode :1977RuMaS..32...55P. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001639. S2CID  250877457. 2007-03-10閲覧。
3. ^ デヴィッド・ルエル (1979). 「微分可能力学系のエルゴード理論」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。50：27～58。土井：10.1007/bf02684768。S2CID  56389695 。2007 年 3 月 10 日に取得。
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• ペルコ、ローレンス (2001)。『微分方程式と動的システム』（第3版）。ニューヨーク：シュプリンガー。pp. 105–117。ISBN 0-387-95116-4。
• Sritharan, SS (1990)。流体力学的遷移に対する不変多様体理論。John Wiley & Sons。ISBN 0-582-06781-2。

• PlanetMathの StableManifoldTheorem 。