異時点間の代替の弾力性

経済学において、異時点間の代替の弾力性（異時点間の代替の弾力性、EIS、IES ）は、消費の成長率が実質金利にどの程度反応するかを測る指標である。^[1]実質金利が上昇すると、貯蓄の利回りが上昇するため現在の消費は減少する可能性がある。しかし、家計はより豊かになったと感じてすぐに消費しようと決めるため、現在の消費が増加する可能性もある。現在の消費に対する正味の影響は、異時点間の代替の弾力性である。^[2]

一般的に、EIS を定義する方法は 2 つあります。1 つ目は、EIS を効用関数から導出された関数として抽象的に定義し、それを弾力性として解釈する方法です。2 つ目は、EIS を弾力性として明示的に導出する方法です。2 つの方法では通常、同じ定義が生成されます。

消費レベルを表す効用関数 が与えられると、EIS は と定義されます。この定義は相対的リスク回避度の逆数であることに注意してください。 ${\displaystyle u(c)}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u'(c)}{cu''(c)}}}$$

逆 CRRA 効用として理解できる効用関数の族を定義できます。$${\displaystyle u_{\sigma }(c)={\begin{cases}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}(c^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-1){\text{if }}\sigma \neq 1\\\ln c\quad {\text{if }}\sigma =1\end{cases}}}$$

各 に対して、効用関数のEIS は一定です。通常の経済応用では、エージェントはリスクを好まないと想定されるため、 制約があります。${\displaystyle \sigma \neq 0}$${\displaystyle u_{\sigma}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma >0}$

この図では、 のにつれて効用曲線がより直線的になっていることがわかります。これは、リスク中立的なエージェントがよりスムーズな結果をもたらすギャンブルを好まないのと同様に、エージェントが時間の経過に伴って消費を平滑化しようとしないことを示しています。 ${\displaystyle \sigma \to \infty }$

導出は離散時間と連続時間で異なります。CRRA 効用の場合、2 つのアプローチで同じ答えが得られることがわかります。以下の関数形式では、消費による効用は時間的に加算的に分離可能であると想定しています。

生涯総効用は次のように表される。

${\displaystyle U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})}$

この設定では、総実質金利は次の条件で与えられます。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Qu'(c_{t})=Q\beta Ru'(c_{t+1})}$

今日投資された金額には効用単位のコストがかかるため、現在の総利子率 （は純利子率）で貯蓄すると、将来まさにその量の効用単位を生み出す必要があります（利回りが高ければ、エージェントはより多く貯蓄することでより豊かになることができます）。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Qu'(c_{t})}$${\displaystyle R=1+r}$${\displaystyle r}$

総利子率を解くと、

${\displaystyle R={\frac {u'(c_{t})}{\beta u'(c_{t+1})}}}$

ログでは、

${\displaystyle \ln(R)=\ln(1+r)=-\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

小さい（対数はパーセンテージの変化に非常に近い） 場合、${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r\approx -\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

異時点間の代替の弾力性は、純金利のパーセント上昇あたりの消費成長のパーセント変化として定義されます。

${\displaystyle {\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{dr}}}$

上記の対数方程式に代入すると、この定義は限界効用成長に対する消費成長の弾力性に相当することがわかります。

${\displaystyle -{\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{d\ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}}$

ただし、エージェントが最適化しており、時間的に分離可能な効用を持っていると仮定すると、どちらの定義も正しいことになります。

期間内の消費の効用は次のように与えられるものと する。${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}.}$

この効用関数はCRRA効用関数のファミリーに属しているので 、 ${\displaystyle u'(c_{t})=c_{t}^{-\sigma }.}$

${\displaystyle \ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]=-\sigma \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right].}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}$

したがって、上記の式を適用すると

${\displaystyle -{\frac {\partial \ln(c_{t+1}/c_{t})}{\partial \ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.}$

生涯の総効用は次のように表される。

${\displaystyle U=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})dt}$

ここで、は の略記、は（瞬間）時刻 t における消費の効用、は時間割引率です。まず、相対的リスク回避の尺度（モデルに不確実性やリスクがない場合でも有用です）を次のように 定義します。${\displaystyle c_{t}}$${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle u(c(t))}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle RRA=-{\frac {d(u'(c_{t}))}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u''(c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}}$

異時点間の代替の弾力性は次のように定義される。

${\displaystyle EIS=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial ({\dot {u}}'(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (u''(c_{t}){\dot {c}}_{t}/u'(c_{t}))}}={\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{\frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}}$

効用関数がCRRAタイプの場合: ${\displaystyle u(c)}$

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$（特別な場合） ${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle u(c)=\ln(c)}$

異時点間の代替弾力性は で与えられます。一般に、θ の値が低い (異時点間の弾力性が高い) ということは、消費の伸びが実質金利の変化に非常に敏感であることを意味します。θ が 1 の場合、消費の伸び率は実質金利の変化に 1 対 1 で反応します。θ が高いということは、消費の伸びが鈍感であることを意味します。 ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$

ラムゼー成長モデルでは、異時点間の代替の弾力性によって、定常状態への調整速度と移行中の貯蓄率の挙動が決まります。弾力性が高い場合、消費の大きな変化は消費者にとってそれほどコストがかからず、その結果、実質金利が高い場合、消費者は収入の大部分を貯蓄することになります。弾力性が低い場合、消費平準化の動機は非常に強く、このため、消費者は実質金利が高い場合、貯蓄を少しだけして消費を多く行います。

弾力性に関する経験的推定値はさまざまです。困難さの一部は、ミクロ経済学の研究が集計データを使用するマクロ経済学の研究とは異なる結論に達するという事実に起因しています。169件の公表された研究のメタ分析では、平均弾力性は0.5であると報告されていますが、国によって大きな違いもあります。^[3]