稲田条件

マクロ経済学において、稲田条件は日本の経済学者稲田健一にちなんで名付けられ、^[1]関数の形状に関する仮定であり、通常は生産関数または効用関数に適用されます。新古典派成長モデルの生産関数が稲田条件を満たす場合、経済成長経路の安定性が保証されます。この条件自体は宇沢弘文によって導入されました。^[2]

連続的に微分可能な関数（ただし）が与えられた場合、条件は次のようになります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right\}}$${\displaystyle Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} _{+}\right\}}$

1. 関数の値は0です。${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0}$
2. 関数はに対して凹である、すなわちヘッセ行列は負半正定値でなければならない。^[3]経済的には、これは投入に対する限界収益が正、すなわち であるが、減少、すなわち${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}>0}$${\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}^{2}<0}$
3. 一次導関数の極限は0に近づくにつれて正の無限大になる：つまり、最初の入力単位の効果が最大となる。${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=+\infty }$${\displaystyle x_{i}}$
4. が正の無限大に近づくにつれて、第1導関数の極限はゼロになります。つまり、無限単位の使用に近づくと、1単位の追加入力の効果は0になります。${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

財間の代替の弾力性は生産関数に対して と定義され、ここで は技術的代替の限界率である。稲田条件は、構成要素間の代替の弾力性が漸近的に1に等しいことを意味していることがわかる（ただし、生産関数は必ずしも漸近的にコブ・ダグラス、つまりこの条件が成り立つ一般的な生産関数である必要はない）。 ^{[4] [5]}${\displaystyle f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial \log(x_{i}/x_{j})}{\partial \log MRTS_{ji}}}}$${\displaystyle MRTS_{ji}({\bar {z}})={\frac {\partial f({\bar {z}})/\partial z_{j}}{\partial f({\bar {z}})/\partial z_{i}}}}$

確率的新古典派成長モデルでは、生産関数がゼロで稲田条件を満たさない場合、ショックが十分に不安定であれば、あらゆる実行可能な経路は確率1でゼロに収束する。^[6]

• バロ、ロバート J. ;サラ・イ・マーティン、ザビエル(2004)。経済成長 (第 2 版)。ロンドン: MIT 出版。pp. 26–30。ISBN 0-262-02553-1。
• ガンドルフォ、ジャンカルロ（1996年）。経済ダイナミクス（第3版）。ベルリン：シュプリンガー。pp.176-178。ISBN 3-540-60988-1。
• ロマー、デイビッド(2011)。「ソロー成長モデル」。上級マクロ経済学(第 4 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。pp. 6–48。ISBN 978-0-07-351137-5。