メルテンス安定平衡

ゲーム理論において、メルテンスの安定性は非協力ゲームの結果を予測するために使用される解の概念である。安定性の暫定的な定義は、有限数のプレイヤーと戦略を持つゲームに対して、エロン・コールバーグとジャン＝フランソワ・メルテンス^[1]によって提案された。その後、メルテンス^{[2] [3]は}より強力な定義を提案し、それはスリハリ・ゴビンダンとメルテンス^[4]によってさらに詳しく述べられた。この解の概念は現在、メルテンスの安定性、または単に安定性と呼ばれている。

ゲーム理論で使用されるナッシュ均衡の他の改良^[5]と同様に 、安定性は、望ましい特性を持つナッシュ均衡の集合のサブセットを選択します。安定性は他の改良よりも強い基準を適用し、より望ましい特性が満たされることを保証します。

改良は、許容性、後方帰納法、前方帰納法の議論に動機付けられることが多い。2人プレイのゲームでは、プレイヤーの許容される決定ルールとは、他のプレイヤーによって弱く支配される戦略を一切使用しないルールである（戦略的優位性を参照）。後方帰納法は、プレイヤーの最適な行動は、いずれにせよ、そのプレイヤーと他のプレイヤーのその後の行動が最適であると予測すると仮定する。サブゲーム完全均衡と呼ばれる改良は、後方帰納法の弱いバージョンを実装し、次第に強いバージョンとしては、順次均衡、完全均衡、準完全均衡、適切な均衡がある。前方帰納法は、プレイヤーの最適な行動は、いずれにせよ、そのプレイヤーの観察と一致する限り、他のプレイヤーの過去の行動が最適であると推定すると仮定する。前向き誘導^[6]は、情報セットにおけるプレイヤーの信念が、その情報に到達できるようにする他のプレイヤーの最適戦略にのみ確率を割り当てるという順次均衡によって満たされる。

コールバーグとメルテンスはさらに、解決概念は、拡張形式ゲームとしての戦略的状況の多くの同等の表現のどれが使用されるかに依存しないという不変性原理を満たす必要があることを強調した。したがって、解決概念は、すべてのプレーヤーの利得が他の純粋戦略の混合によって再現できるため冗長な純粋戦略を排除した後に得られる縮小された正規形ゲームにのみ依存するべきである。メルテンス^{[7] [8]}はまた、解決概念はプレーヤーの選好の順序特性のみに依存するべきであり、ゲームに、元のプレーヤーの実行可能な戦略と利得に影響を与えない行動をする無関係なプレーヤーが含まれているかどうかに依存すべきではないというスモールワールド原理の重要性も強調した。

コールバーグとメルテンスは、これらの特性のすべてが単一のナッシュ均衡を選択する解決概念から得られるわけではないことを例を挙げて実証した。そのため、彼らは解決概念はナッシュ均衡の集合の閉じた連結部分集合を選択すべきであると提案した。^[9]

• 許容性と完全性: 安定した集合内の各均衡は完全であり、したがって許容可能です。
• 後方誘導と前方誘導: 安定セットには、ゲームの正規形の適切な均衡が含まれます。この均衡は、同じ正規形を持つ完全なリコールを持つすべての拡張形式ゲームで準完全な均衡、したがって連続的な均衡を誘導します。安定セットのサブセットは、弱支配戦略とセット内のすべての均衡で劣った応答である戦略を繰り返し排除しても残ります。
• 不変性とスモールワールド：ゲームの安定集合は、元のプレイヤーの実行可能な戦略と報酬を維持しながら、そのゲームが組み込まれているより大きなゲームの安定集合の投影である。^[10]
• 分解とプレイヤーの分割。2 つの独立したゲームの積の安定セットは、それらの安定セットの積です。安定セットは、プレイヤーをエージェントに分割しても影響を受けません。そのため、ゲーム ツリーを通るパスには、2 つのエージェントのアクションは含まれません。

完全な想起と一般的な報酬を持つ2人用ゲームの場合、安定性はこれらの特性のうちの3つに相当します。安定したセットは非劣勢戦略のみを使用し、準完全な均衡を含み、より大きなゲームへの埋め込みの影響を受けません。^[11]

安定集合は、プレイヤーの戦略を完全に混合した戦略に摂動させることによって得られる摂動ゲームの空間上のナッシュ均衡のグラフにおける閉じた連結近傍からの射影マップの本質性によって数学的に定義されます。この定義では、すべての近傍ゲームが近傍均衡を持つこと以上のことが求められます。本質性はさらに、射影マップが境界に変形しないことを要求し、これによりナッシュ均衡を定義する固定点問題の摂動が近傍解を持つことが保証されます。これは明らかに、上記のすべての望ましい特性を得るために必要です。

メルテンスは、ホモロジーやコホモロジーに使用される係数モジュールに応じて、いくつかの正式な定義を提供しました。

正式な定義には何らかの表記法が必要です。 与えられたゲームについて、 をプレイヤーの混合戦略の単体の積とします。 各 について、をその位相境界とし、 をその位相境界 とします。 について、を任意の純粋戦略の最小確率 とします。任意の について、摂動ゲームを、各プレイヤーの戦略セットがにおけるのと同じであるが、戦略プロファイル からのペイオフがプロファイル からのペイオフであるゲームと定義します。が の均衡である場合に、 が の摂動均衡であるとします。を上の摂動均衡対応のグラフとします。つまり、 グラフはが の摂動均衡であるようなペアの集合です。 について、は の対応する均衡です。 から への自然な射影マップによって表します。について、、について とします。最後に、 は整数係数の チェフコホモロジーを指します。${\displaystyle G}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$${\displaystyle P_{\delta }=\{\,\epsilon \tau \mid 0\leq \epsilon \leq \delta ,\tau \in \Sigma \,\}}$${\displaystyle \partial P_{\delta}}$${\displaystyle \eta \in P_{1}}$${\displaystyle {\bar {\eta }}}$${\displaystyle \eta \in P_{1}}$${\displaystyle G(\eta )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma =(1-{\bar {\eta }})\tau +\eta }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle G(\eta )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle G(\eta )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in P_{1}\times \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle G(\eta )}$${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \tau (\eta ,\sigma )\equiv (\sigma -\eta )/(1-{\bar {\eta }})}$${\displaystyle G(\eta )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle E\subseteq {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E_{0}=\{\,(0,\sigma )\in E\,\}}$${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$${\displaystyle (E_{\delta },\partial E_{\delta })=p^{-1}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\cap E}$${\displaystyle {\check {H}}}$

以下は、Mertens の定義の中で最も包括的なバージョンであり、*-安定性と呼ばれます。

*-安定集合の定義:のに対して次の 2 つの特性を持つ 場合、 は *-安定集合です${\displaystyle S\subseteq \Sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E_{0}=\{\,0\,\}\times S}$

• 連結性:内ののすべての近傍に対して、その集合には内の の近傍となる閉包を持つ連結成分が存在します。${\displaystyle V}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V\setminus \partial E_{1}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E}$
• コホモロジー本質性:は、ある に対してゼロ以外になります。${\displaystyle p^{*}:{\check {H}}^{*}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\to {\check {H}}^{*}(E_{\delta },\partial E_{\delta })}$${\displaystyle \delta >0}$

コホモロジーやホモロジーにおける本質性がホモトピーに緩和されると、より弱い定義が得られる。これは主に分解特性のより弱い形式が異なる。^[12]