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有限ゲーム（ファウンドゲーム[1]またはウェルファウンドゲーム[2]と呼ばれることもある）は、有限回数の手で終わることが保証されている2人用ゲームである。有限ゲームは、有限回数のターンで終わることが保証されている限り、無限の数の可能性や無制限の数の手を持つことができる。[3]
正式な定義
ウィリアム・ツヴィッカーは、ゲームGが以下の5つの条件を満たす場合、ゲームGは完全有限であると定義した。 [4]
- 2 人のプレーヤーIとIIが交互に動き、I が先攻となります。各プレーヤーは、相手の動きを完全に把握しています。
- 偶然性はありません。
- 同点はありません（ Gのプレイが完了すると、勝者は 1 人になります）。
- すべてのプレイは有限回の移動後に終了します。
- Gのプレイのどの時点でも、次の動きの合法的な可能性は有限個しかありません。
例
- 三目並べ
- チェス[5]
- チェッカーズ
- ポーカー
- プレイヤー1が任意の数字を選択して即座に勝利するゲーム（これは無限の可能性を持つ有限ゲームの例です）[3]
- プレイヤー1が任意の数字Nを指定し、その後N回の手番が経過し、何も起こらずにプレイヤー1が勝利するゲーム（これは手番数が無制限の有限ゲームの例です）[3]
スーパーゲーム
スーパーゲームは、ウィリアム・ツヴィッカーによって発明された有限ゲームの変形です。ツヴィッカーは、スーパーゲームを次のルールを持つものと定義しました。
「最初の動きとして、私は任意の完全に有限なゲームをG（サブゲームと呼ぶ）と名付ける。その後、プレイヤーはGをプレイし、Gがプレイされている間、 IIはIの役割を果たす。サブゲームのプレイの勝者は、スーパーゲームのプレイの勝者と宣言される。」[4]
ツヴィッカーは、スーパーゲームは完全有限ゲームの特性1～4を満たすが、特性5は満たさないと指摘している。彼はこのタイプのゲームをある程度有限であると定義している。[4]
ハイパーゲームのパラドックス
ハイパーゲームはスーパーゲームと同じルールを持ちますが、最初の動きである程度有限なゲームに名前を付けることができるという点が異なります。ハイパーゲームは、ラッセルのパラドックスやカンターのパラドックスのような自己参照的、集合論的パラドックスである「ハイパーゲームパラドックス」と密接に関連しています。[2]
ハイパーゲームのパラドックスは、「ハイパーゲームはある程度有限か？」という質問に答えようとすることから生じます。Zwicker が指摘しているように、このパラドックスは条件 1 - 4 を満たしており、スーパーゲームと同様にある程度有限です。[2] しかし、ハイパーゲームがある程度有限なゲームである場合、両方のプレイヤーがハイパーゲームをサブゲームとして永遠に選択することで、プレイは無限に進行します。この無限は特性 4 に違反しているように思われ、ハイパーゲームはある程度有限ではありません。これがパラドックスです。[1]
参考文献
- ^ ab Bernardi, Claudio; d'Agostino, Giovanna (1996 年 10 月). 「ハイパーゲームパラドックスの翻訳: 関係の基礎要素の集合に関する考察」. Journal of Philosophical Logic . 25 (5): 545–557. doi :10.1007/BF00257385. S2CID 12745108.
- ^ abc 「Self-Reference」。スタンフォード哲学百科事典。スタンフォード大学。2017年8月31日。 2020年3月2日閲覧。
- ^ abc 「Hypergame」。コーネル大学。 2020年3月2日閲覧。
- ^ abc Zwicker, William (1987年7月). 「ゲームでゲームをする: ハイパーゲームのパラドックス」.アメリカ数学月刊誌. 94 (6). アメリカ数学協会: 507–514. doi :10.2307/2322840. JSTOR 2322840.
- ^ 「ゲーム理論」。ブリタニカ百科事典。