M平衡

M 均衡は、ゲーム理論における集合値解の概念であり、完全な最大化 (「間違いなし」) と完全な信念 (「驚きなし」) という合理的選択の仮定を緩和する。この概念は、有限かつ離散的な戦略を持つ任意の標準形式ゲームに適用できる。M 均衡は、Jacob K. Goeree と Philippos Louis によって初めて導入された。^[1]

実験ゲーム理論の膨大な研究は、古典的なゲーム理論の基礎であるナッシュ均衡からの体系的な逸脱を記録してきました。^[2]ナッシュ均衡に対する経験的裏付けが不足していたため、ナッシュ自身は純粋数学の研究に戻りました。^[3]ナッシュと共に1994年のノーベル賞を受賞したゼルテンも同様に、「ゲーム理論は定理を証明するためのものであり、ゲームをプレイするためのものではない」と結論付けました。^[4] M均衡は、経験的に関連性のあるゲーム理論を求める欲求によって動機付けられました。

M 均衡は、古典的なゲーム理論の基礎となる 2 つの主要な仮定、完全最大化と合理的期待を、順序単調性 (プレイヤーの選択確率は、プレイヤーの信念に基づく期待される報酬と同じ順位になる) と順序一貫性 (プレイヤーの信念は、選択と同じ期待される報酬の順位を生み出す) というより弱い概念に置き換えることによってこれを実現します。

M均衡は、合理的期待を課すことによって導かれ、長い間経済学を支配してきた不動点からは導かれない。代わりに、M均衡を特徴付けるために使用される数学的機構は半代数幾何学である。興味深いことに、この機構の一部はナッシュ自身によって開発された。^{[5] [6] [7] M均衡を}半代数集合として特徴付けると、数学的に正確で経験的に検証可能な予測が可能になる。

M 平衡は次の 2 つの条件に基づいています。

• 順序単調性:選択確率は、プレイヤーの信念に基づいて期待される報酬と同じ順位にランク付けされます。これは、「完全な最大化」という仮定に代わるものです。
• 順序一貫性:プレイヤーの信念は、選択と同じ期待される報酬の順位付けをもたらします。これは、合理的期待または完全信念の仮定に代わるものです。

および はそれぞれプレイヤーの選択プロファイルと信念プロファイルの連結を表し、および はプレイヤーの順位対応と利益関数の連結を表すものとします。プレイヤーの信念に基づく期待されるペイオフのプロファイルを と書き、信念が正しい場合、つまり の場合の期待されるペイオフのプロファイルを と書きます。可能な選択プロファイルの集合は で、可能な信念プロファイルの集合は です。 ${\displaystyle \sigma ^{c}}$${\displaystyle \sigma ^{b}}$${\displaystyle ランク}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi (\sigma ^{b})}$${\displaystyle \pi (\sigma ^{c})}$${\displaystyle \sigma _{i}^{b}=\sigma ^{c}}$${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle \Sigma =\Pi _{i\in N}\Sigma _{i}}$${\displaystyle \Sigma ^{n}}$

定義:最大の空でない集合の閉包であり、次の条件を満たす 場合、 M 均衡を形成すると言います。${\displaystyle ({\overline {M^{c}}},{\overline {M^{b}}})\subseteq \Sigma \times \Sigma ^{n}}$${\displaystyle M^{c}}$${\displaystyle M^{b}}$

$${\displaystyle rank(\sigma ^{c})\subseteq rank(\pi (\sigma ^{b}))=rank(\pi (\sigma ^{c}))}$$

すべてについて、。 ${\displaystyle \sigma^{c}\in M^{c}}$${\displaystyle \sigma^{b}\in M^{b}}$

一般的に、M 平衡は次の特性を満たすことが示されます。

1. M均衡は正の尺度を有する${\displaystyle \Sigma \times \Sigma ^{n}}$
2. M個の均衡は一意のランクベクトルによって「色付け可能」である
3. ナッシュ均衡は、M均衡の境界点として生じる。

M 均衡の数は一般に偶数または奇数で、ナッシュ均衡の数より少ない、等しい、または多い場合があります。また、どの M 均衡にも、0 個、1 個、または複数のナッシュ均衡が含まれる場合があります。重要なことは、どの M 均衡選択セットの測度も制限されており、プレーヤーの数と可能な選択肢の数に応じて指数関数的に減少することです。

驚くべきことに、M均衡は、量子応答均衡を含む固定点に基づくさまざまなパラメトリックモデルを「最小限に包み込む」。^[1]しかし、QREとは異なり、M均衡はパラメータフリーで計算が容易であり、均質で正しい信念の合理的期待条件を課しません。

色つきM均衡集合の内部は、行動的に安定した選択と信念から構成される。プロファイルは、ゲーム内の小さな摂動がその均衡の性質を破壊しない場合、行動的に安定している。したがって、M均衡は、ゲームを摂動させた後でもM均衡のままである場合、行動的に安定している。行動の安定性は、戦略的安定性の概念を強化したものである。^{[1] [8]}

• 限定合理性
• 行動ゲーム理論