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ゼロサムゲームとは、ゲーム理論と経済理論において、2つの競合する主体が関与する状況の数学的表現であり、その結果、一方が有利になり、もう一方が同等の損失を被るというものである。 [1]言い換えれば、プレイヤー1の利益はプレイヤー2の損失に等しく、結果としてゲームの利益の純改善はゼロとなる。[2]
参加者の総利益を合計し、総損失を差し引くと、その合計はゼロになります。したがって、ケーキを切るとき、より大きな部分を取った場合、他の人が取れるケーキの量は、取った人の量が増えるのと同程度に減りますが、すべての参加者がケーキの各単位を平等に評価する場合、ゼロサムゲームになります。日常生活におけるゼロサムゲームの他の例としては、ポーカー、チェス、スポーツ、ブリッジなどがあり、1人が得をして別の人が負けるため、すべてのプレーヤーの純利益はゼロになります。[3]市場や金融商品では、先物契約やオプションもゼロサムゲームです。[4]
対照的に、非ゼロ和は、相互作用する当事者の総利益と損失がゼロより小さいか大きい状況を表します。ゼロ和ゲームは厳密に競争的なゲームとも呼ばれ、非ゼロ和ゲームは競争的または非競争的のいずれかになります。ゼロ和ゲームは、線形計画法の双対性と密接に関連するミニマックス定理、[5]またはナッシュ均衡で解決されることが最もよくあります。囚人のジレンマは、古典的な非ゼロ和ゲームです。[6]
意味
ゼロサム特性（一方が利益を得るともう一方が損失を被る）とは、ゼロサム状況の結果はどれもパレート最適であることを意味する。一般的に、すべての戦略がパレート最適なゲームはコンフリクトゲームと呼ばれる。[7] [8]
ゼロサムゲームは、各結果の合計が常にゼロになる定和ゲームの具体的な例です。[9]このようなゲームは分配的であり、統合的ではありません。つまり、交渉によってパイを大きくすることはできません。
一人の意思決定者の利益（または損失）が必ずしも他の意思決定者の損失（または利益）につながらない状況は、非ゼロ和と呼ばれます。[10]したがって、バナナが余っている国が他の国とリンゴの余剰を取引し、取引から双方が利益を得る場合、非ゼロ和の状況になります。その他の非ゼロ和ゲームは、プレーヤーの利益と損失の合計が、開始時よりも多くなる場合もあれば、少なくなる場合もあります。
ゼロサムゲームにおけるパレート最適利得の考え方は、一般化された相対的利己的合理性基準、すなわち「相手を罰する基準」を生み出します。この基準では、両方のプレイヤーが常に、少ないよりも多い方を好むのではなく、自分にとって有利なコストで相手の利得を最小化しようとします。「相手を罰する基準」は、ゼロサムゲーム（戦争ゲーム、チェスなど）と非ゼロサムゲーム（プーリング選択ゲームなど）の両方で使用できます。[11]ゲーム内のプレイヤーは、自分の利益を最大化したいという単純な欲求を持ち、相手はそれを最小化したいと考えています。[12]
解決
2 人のプレイヤーによる有限ゼロ和ゲームでは、プレイヤーが混合戦略を実行できる場合、ゲームには常に 1 つの均衡解が存在します。ナッシュ均衡、ミニマックス、マキシミンというさまざまなゲーム理論的 解の概念はすべて同じ解をもたらします。これは純粋戦略には当てはまらないことに注意してください。
例
ゲームのペイオフ マトリックスは、便利な表現です。右または上に示した 2 人のプレイヤーによるゼロサム ゲームを例として考えてみましょう。
ゲームの進行順序は次のようになります。最初のプレイヤー (赤) は、2 つのアクション 1 または 2 のうち 1 つを秘密裏に選択します。2 番目のプレイヤー (青) は、最初のプレイヤーの選択を知らずに、3 つのアクション A、B、または C のうち 1 つを秘密裏に選択します。その後、選択内容が明らかにされ、各プレイヤーのポイント合計は、それらの選択に対する報酬に応じて影響を受けます。
例: 赤がアクション 2 を選択し、青がアクション B を選択します。報酬が割り当てられると、赤は 20 ポイントを獲得し、青は 20 ポイントを失います。
この例のゲームでは、両方のプレイヤーがペイオフ マトリックスを知っており、ポイント数を最大化しようとします。赤は次のように推論できます。「アクション 2 では、最大 20 ポイント失う可能性があり、20 ポイントしか勝てません。アクション 1 では、10 ポイントしか失うことはありませんが、最大 30 ポイント勝てます。したがって、アクション 1 の方がはるかに良さそうです。」同様の推論で、青はアクション C を選択します。両方のプレイヤーがこれらのアクションを実行した場合、赤は 20 ポイントを獲得します。青が赤の推論とアクション 1 の選択を予測した場合、青はアクション B を選択して 10 ポイントを獲得できます。赤がこのトリックを予測してアクション 2 を実行した場合、赤は 20 ポイントを獲得します。
エミール・ボレルとジョン・フォン・ノイマンは、確率がこの難問の解決策となるという根本的な洞察を持っていました。2 人のプレーヤーは、取るべき明確な行動を決定する代わりに、それぞれの行動に確率を割り当て、次に、これらの確率に従って行動を選択するランダム デバイスを使用します。各プレーヤーは、対戦相手の戦略とは無関係に、予想される最大ポイント損失を最小化するように確率を計算します。これにより、各プレーヤーの最適な戦略に関する線形計画問題が導き出されます。このミニマックスメソッドは、2 人プレーヤーによるゼロサム ゲームすべてについて、おそらく最適な戦略を計算できます。
上記の例では、赤は確率1でアクション1を選択することがわかります。4/7そして確率でのアクション 23/7、青は確率0、を割り当てる必要があります。4/7、および3/7 3つのアクションA、B、Cを実行します。赤が勝ちます20/7 1試合あたり平均ポイント。
解決する
2 人のプレイヤーによるゼロサム ゲームのナッシュ均衡は、線形計画問題を解くことで見つけることができます。ゼロサムゲームにペイオフ マトリックスMがあり、要素M i , jは、最小化プレイヤーが純粋戦略i を選択し、最大化プレイヤーが純粋戦略j を選択した場合に得られるペイオフです(つまり、ペイオフを最小化しようとするプレイヤーは行を選択し、ペイオフを最大化しようとするプレイヤーは列を選択します) 。Mのすべての要素が正であると仮定します。ゲームには少なくとも 1 つのナッシュ均衡があります。ナッシュ均衡は、次の線形計画を解いてベクトルu を見つけることで見つけることができます (Raghavan 1994、p. 740) 。
最小化:
以下の制約が適用されます:
u ≥ 0
M u ≥ 1。
最初の制約は、uベクトルの各要素が非負でなければならないこと、2 番目の制約は、M uベクトルの各要素が少なくとも 1 でなければならないことです。結果として得られる u ベクトルの場合、その要素の合計の逆数がゲームの値になります。uにその値を掛けると確率ベクトルが得られ、最大化プレイヤーが可能な各純粋戦略を選択する確率がわかります。
ゲーム マトリックスに正の要素がすべて含まれていない場合は、すべての要素に正になるのに十分な大きさの定数を各要素に追加します。これにより、その定数分だけゲームの値が増加し、均衡の均衡混合戦略には影響しません。
最小化プレイヤーの均衡混合戦略は、与えられた線形計画の双対を解くことによって見つけることができます。あるいは、上記の手順を使用して、Mの転置と否定(正になるように定数を追加) である修正されたペイオフ マトリックスを解き、結果のゲームを解くことによっても見つけることができます。
線形計画法の解がすべて見つかった場合、それらはゲームのすべてのナッシュ均衡を構成することになります。逆に、線形計画法は変数の変更によって上記の式の形にすることで2人プレイのゼロサムゲームに変換することができ、そのようなゲームは一般に線形計画法と同等です。[13]
普遍的な解決策
ゼロサムゲームを回避することがプレイヤーにとってある程度の確率で選択できる行動である場合、回避は常にゼロサムゲームにおける少なくとも 1 人のプレイヤーにとって均衡戦略である。ポーカーのように、プレイ開始後にゼロゼロ引き分けが不可能または信頼できない 2 人プレイのゼロサムゲームでは、プレイを回避する以外にナッシュ均衡戦略は存在しない。ゼロサムゲーム開始後に信頼できるゼロゼロ引き分けがあったとしても、回避戦略よりも優れているわけではない。この意味で、ゲーム開始の有無に関する 2 人プレイのゼロサムゲームすべてにおいて、最適選択計算における報酬の配分が優先されることは興味深い。[14]
社会心理学のサブフィールドからの最も一般的または単純な例は、 「社会的罠」の概念です。場合によっては、個人の利益を追求することでグループの集団的幸福を高めることができますが、他の状況では、すべての当事者が個人の利益を追求すると、相互に破壊的な行動につながります。
コープランドのレビューでは、n人プレイヤーの非ゼロ和ゲームは(n+1)人プレイヤーのゼロ和ゲームに変換できることが指摘されており、このゲームでは、架空のプレイヤーと示されるn+1人目のプレイヤーは、他のn人プレイヤーの利益の合計の負数(全体的な利益/損失)を受け取る。[15]
ゼロサム3人ゲーム
ゼロサム3人ゲームではプレイヤー間に多様な関係があることは明らかであり、ゼロサム2人ゲームでは、1人のプレイヤーが勝ったものは必然的にもう1人のプレイヤーが負け、その逆もまた同様である。したがって、常に絶対的な利害対立があり、それは3人ゲームでも同様である。[16]ゼロサム3人ゲームにおけるプレイヤーの特定の動きはそのプレイヤーには明らかに有益であるが、他の両方のプレイヤーには不利益となるか、一方に利益をもたらし、もう一方の対戦相手には不利益となる可能性がある。[16]特に、2人のプレイヤー間の利害の平行性は協力を望ましいものにする。プレイヤーがさまざまな方針の中から選択できることが起こり得る。つまり、自分の行動を調整して他のプレイヤーと利害の平行性に入るか、その逆か、他の2人のプレイヤーのどちらとどの程度そのような平行性を築きたいかを選択できる。[16]左の図は、ゼロサム3人ゲームの典型的な例を示している。プレイヤー 1 が防御を選択し、プレイヤー 2 と 3 が攻撃を選択した場合、両者とも 1 ポイントを獲得します。同時に、プレイヤー 1 は他のプレイヤーにポイントを奪われるため 2 ポイントを失います。プレイヤー 2 と 3 の利益が平行していることは明らかです。
実際の例
飽和市場における格安航空会社の経済的利益 - 純利益かゼロサムゲームか[17]
調査によると、格安航空会社の香港市場参入により、6億7,100万ドルの収益がもたらされ、2億9,400万ドルの流出が生じたという。
そのため、新しいモデルを導入する際には、代替効果を考慮する必要があり、経済の漏出と注入につながるため、新しいモデルの導入には注意が必要です。たとえば、空港を出発する新しい航空会社と到着する新しい航空会社の数が同じであれば、開催都市への経済貢献はゼロサムゲームになる可能性があります。香港にとって、香港の海外旅行者の消費は収入ですが、反対の都市の香港住民の消費は流出です。また、新しい航空会社の導入は、既存の航空会社にマイナスの影響を与える可能性もあります。
したがって、新しい航空モデルが導入される場合には、そのモデルによって生じる経済の流入と流出、および移転の影響を考慮し、あらゆる側面から実現可能性テストを実施する必要がある。
金融市場におけるゼロサムゲーム
デリバティブ取引はゼロサムゲームであると考えられる。取引で一方が得たドルは他方が失うため、純資産移転はゼロとなる。[18]
オプション契約（買い手が、指定された満期日までに指定された行使価格で売り手から原資産を購入する権利を提供するデリバティブ契約を購入する契約）は、ゼロサムゲームの一例です。先物契約（買い手が、指定された日に指定された価格で売り手から原資産を購入するデリバティブ契約を購入する契約）もゼロサムゲームの一例です。[19]これは、これらの契約の基本原則が2者間の合意であり、一方の当事者が得た利益は、もう一方の当事者が被った損失と一致する必要があるためです。
満期日前に原資産の価格が上昇した場合、買い手はオプション/先物契約を行使/終了することができます。買い手の利益と対応する売り手の損失は、その時点の権利行使価格と原資産の価値の差になります。したがって、純資産移転はゼロです。
2つの異なる金融商品からのキャッシュフローの交換を伴うスワップもゼロサムゲームと見なされます。 [20]標準的な金利スワップを考えてみましょう。これは、企業Aが固定金利を支払い、変動金利を受け取り、それに応じて企業Bが変動金利を支払い、固定金利を受け取るというものです。金利が上昇すると、企業Aは利益を得て、企業Bは金利差（変動金利-固定金利）によって損失を被ります。金利が下落すると、企業Aは損失を被り、企業Bは金利差（固定金利-変動金利）によって利益を得ます。
デリバティブ取引はゼロサムゲームだと考えられるかもしれませんが、これは絶対的な真実ではないことを覚えておくことが重要です。金融市場は複雑かつ多面的であり、さまざまな活動にさまざまな参加者が関与しています。一部の取引は、一方から他方への単純な富の移転につながる可能性がありますが、市場全体が純粋に競争的というわけではなく、多くの取引が重要な経済的機能を果たしています。
株式市場はプラスサムゲームの好例ですが、しばしば誤ってゼロサムゲームと分類されます。これはゼロサム誤謬です。株式市場のあるトレーダーが保有資産の価値を増やすことができるのは、別のトレーダーが保有資産の価値を減らす場合のみであるという認識です。[21]
株式市場の主な目的は買い手と売り手をマッチングさせることですが、実勢価格は需要と供給を均衡させる価格です。株価は一般的に、買収発表、予想を上回る利益、ガイダンスの改善など、将来の期待の変化に応じて変動します。[22]
たとえば、C 社が D 社を買収する契約を発表し、投資家が買収によって相乗効果が生まれ、C 社の収益性が増加すると信じる場合、C 社株の需要が増加します。このシナリオでは、C 社株の既存の保有者全員が利益を享受しますが、他のプレーヤーに測定可能な損失が発生することはありません。
さらに、長期的には、株式市場はプラスサムゲームです。経済成長が起こると、需要が増加し、生産量が増加し、企業が成長し、企業評価が上昇し、市場における価値の創造と富の増加につながります。
複雑
ロバート・ライトは著書『ノンゼロ：人間の運命の論理』の中で、社会がより複雑になり、専門化され、相互依存的になるにつれて、社会はますます非ゼロサム的になると 理論づけています。
拡張機能
1944年、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンは、 n人のプレイヤーによる非ゼロ和ゲームはn + 1人のプレイヤーによるゼロ和ゲームと同等であり、( n + 1)番目のプレイヤーが全体の利益または損失を表すことを証明した。[23]
誤解
ゼロサムゲーム、特にその解法は、ゲーム理論の批評家によって誤解されることが多く、通常はプレイヤーの独立性と合理性、および効用関数の解釈に関して誤解される[さらなる説明が必要]。さらに、「ゲーム」という言葉は、モデルがレクリエーションゲームにのみ有効であることを意味するものではない。[5]
政治はゼロサムと呼ばれることがある[24] [25] [26]。これは、膠着状態という概念が一般的な用法では「ゼロサム」であると認識されているためである。しかし、政治とマクロ経済学は保存されたシステムを構成しないため、ゼロサムゲームではない。[要出典]
ゼロサム思考
心理学において、ゼロサム思考とは、ある状況がゼロサムゲームのようなもので、ある人の利益が別の人の損失に等しいという認識を指します。
参照
参考文献
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- ^ 「ゼロサムゲーム | ゼロサムゲームの定義」Dictionary.com 。 2017年3月8日閲覧。
さらに読む
- プロスポーツのトレーディング戦略の文脈におけるゼロサムゲームの概念の誤り、シリーズPardon the Interruption (2010-09-23) ESPN 、トニー・コーンハイザーとマイケル・ウィルボンが制作、ビル・シモンズがパフォーマンス
- ゲーム理論ハンドブック – 第 2 巻、ゼロ和 2 人ゲーム の章、(1994) Elsevier Amsterdam、Raghavan、TES 著、Aumann および Hart 編集、pp. 735–759、 ISBN 0-444-89427-6
- 権力：その形態、基盤、用途（1997年）トランザクション出版社、デニス・ロング著、ISBN 978-1-56000-822-4
外部リンク
- Elmer G. Wiens によるゼロサム ゲームをオンラインでプレイします。
- ゲーム理論とその応用 – 心理学とゲーム理論に関する総合的なテキスト。(第 2 版の目次と序文。)
- プレイ可能なゼロサムゲームとその混合戦略ナッシュ均衡。
- ポジティブサムゲーム