コピュラ（統計）

確率論と統計学において、コピュラとは、各変数の周辺確率分布が区間 [0, 1] で一様である多変量累積分布関数である。コピュラは、ランダム変数間の依存関係 (相互相関) を記述/モデル化するために使用される。 [ 1 ]コピュラの名前^{は、1959 年に応用数学者}Abe Sklarによって導入され、ラテン語の「リンク」または「結びつき」に由来しており、言語学の文法コピュラと似ているが無関係である。コピュラは、定量的金融において、テールリスクをモデル化して最小化するために広く使用されており^[2]、ポートフォリオ最適化アプリケーションにも使用されている。^[3]

スカラーの定理は、任意の多変量結合分布は、単変量周辺分布関数と変数間の依存構造を記述するコピュラ で記述できると述べています。

コピュラは、周辺値とコピュラを別々に推定することでランダム ベクトルの分布を簡単にモデル化して推定できるため、高次元の統計アプリケーションでよく使用されます。多くのパラメトリック コピュラ ファミリが利用可能で、通常は依存性の強さを制御するパラメータがあります。以下に、いくつかの一般的なパラメトリック コピュラ モデルの概要を示します。

2 次元コピュラは、数学の他の分野では、パーミュトンや二重確率測度という名前で知られています。

ランダムベクトルを考える。その周辺分布が連続的であるとする、つまり周辺CDFが連続関数であるとする。各成分に確率積分変換を適用すると、ランダムベクトルは ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]}$

${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)}$

区間[0, 1]上に 一様に分布する周辺分布を持つ。

のコピュラは、の結合累積分布関数として定義されます。 ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].}$

コピュラC には の成分間の依存構造に関するすべての情報が含まれますが、周辺累積分布関数には の周辺分布に関するすべての情報が含まれます。 ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

これらの手順の逆は、多変量確率分布の一般的なクラスから擬似ランダムサンプルを生成するために使用できます。つまり、コピュラ関数からサンプルを生成する手順が与えられている場合、必要なサンプルは次のように構築できます。 ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

一般化された逆関数は、連続であると仮定されているので、ほぼ確実に問題ありません。さらに、コピュラ関数の上記の式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

確率論的に言えば、Cが一様周辺を持つ単位立方体上のd次元ランダムベクトルの結合累積分布関数である場合、はd次元コピュラである。^[4]${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

解析的に言えば、はd次元コピュラである。 ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$引数の1つがゼロの場合、コピュラはゼロになります。
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$、コピュラは、1つの引数がuで、他の引数が1の場合、 uに等しい。
• C はd非減少です。つまり、各超長方形に対して、 Bの C 体積は非負です。 ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_ {i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

どこで。${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

たとえば、2 変量の場合、であり、すべての および に対して である場合、は 2 変量コピュラです。 ${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

スカラーの定理は、アベ・スカラーにちなんで名付けられ、コピュラの応用の理論的基礎を提供する。^{[5] [6]}スカラーの定理は、あらゆる多変量累積分布関数が

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

ランダムベクトルは、その周辺分布とコピュラで表現できます。実際、 ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

多変量分布が密度を持ち、この密度が利用可能であれば、次の式も成り立ちます。 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

ここでコピュラの密度です。 ${\displaystyle c}$

この定理は、 が与えられた場合、コピュラは 上で一意であり、 は周辺累積分布関数の範囲の直積である、とも述べています。これは、周辺が連続している場合、コピュラが一意であることを意味します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$${\displaystyle F_{i}}$

逆もまた真です。コピュラと周辺分布が与えられた場合、周辺分布を持つd次元累積分布関数が定義されます。 ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle F_{i}(x)}$${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$${\displaystyle F_{i}(x)}$

コピュラは主に時系列が定常^[7]かつ連続している場合に機能します。^[8]したがって、非常に重要な前処理ステップは、時系列内の自己相関、傾向、季節性をチェックすることです。

時系列が自己相関している場合、変数セット間に存在しない依存関係が生成され、不正確なコピュラ依存構造が生じる可能性があります。^[9]

フレシェ・ヘフディング定理（モーリス・ルネ・フレシェとワシリー・ヘフディング^[10]に由来）は、任意のコピュラと任意のに対して次の境界が成り立つことを述べています。 ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

関数Wはフレシェ・ヘフディング下限と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

関数Mはフレシェ・ヘフディング上限と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

上限は明確です。Mは常にコピュラであり、共単調なランダム変数に対応します。

下限は点ごとに明確であり、つまりu を固定すると、となるコピュラが存在する。ただし、W は2 次元でのみコピュラであり、その場合は反単調なランダム変数に対応する。 ${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

2次元、つまり2変数の場合、フレシェ・ヘフディング定理は次のように述べている。

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

コピュラのいくつかのファミリーが記述されています。

ガウスコピュラは、単位超立方体 上の分布です。これは、確率積分変換を使用して、上の多変量正規分布から構築されます。 ${\displaystyle [0,1]^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

与えられた相関行列 に対して、パラメータ行列を持つガウスコピュラは次のように表される。 ${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

ここで、は標準正規分布の逆累積分布関数であり、は平均ベクトルがゼロで共分散行列が相関行列に等しい多変量正規分布の結合累積分布関数である。コピュラ関数には単純な解析式はないが、上限または下限があり、数値積分を使用して近似することができる。^{[11] [12]}密度は次のように表される^[13]${\displaystyle \Phi ^{-1}}$${\displaystyle \Phi _{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

ここで、は単位行列です。 ${\displaystyle I}$

アルキメデス コピュラは、コピュラの結合クラスです。最も一般的なアルキメデス コピュラは、明示的な式を許容しますが、これはガウス コピュラなどでは不可能です。実際には、アルキメデス コピュラは、依存性の強さを制御する 1 つのパラメーターのみを使用して、任意の高次元で依存性をモデル化できるため、人気があります。

コピュラCは、次の表現が許される場合、アルキメデス的コピュラと呼ばれる^[14]。

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{-1}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

ここで、は連続で、厳密に減少する凸関数であり、は何らかのパラメータ空間内のパラメータであり、はいわゆる生成関数であり、は次のように定義されるその擬似逆関数である。 ${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi ^{-1}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

さらに、 Cの上の式は、 がに対して d-単調である場合に限り、のコピュラを生じます。^[15] つまり、 が回微分可能であり、導関数が ${\displaystyle \psi ^{-1}}$${\displaystyle \psi ^{-1}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

すべてのおよびに対して、 は非増加かつ凸です。 ${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

以下の表は、最も有名な二変量アルキメデスのコピュラと、それに対応する生成元を示しています。すべてが完全に単調であるわけではありません。つまり、すべてに対してd単調であるか、特定のものに対してのみd単調です。 ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \theta \in \Theta }$

統計学の応用では、多くの問題が次のように定式化できる。1つは、あるランダムベクトルに適用された応答関数の期待値である。^[18]このランダムベクトルのCDFを と表記すると、関心のある量は次のように表される。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

がコピュラモデルによって与えられる 場合、すなわち、${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

この期待は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

コピュラCが絶対連続である場合、つまりCの密度がcである場合、この式は次のように書ける。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

そして、各周辺分布が密度を持つ場合、さらに次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

コピュラと周辺値がわかっている場合（または推定されている場合）、この期待値は次のモンテカルロ アルゴリズムによって近似できます。

1. コピュラCからサイズnのサンプルを抽出する${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. 逆周辺累積分布関数を適用して、設定によりサンプルを生成する。${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. 経験値で近似する：${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

多変量データを研究する場合、基礎となるコピュラを調査したい場合があります。観測値があるとします。

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

連続した周辺を持つランダムベクトルから得られる。対応する「真の」コピュラ観測値は ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

しかし、周辺分布関数は通常は知られていない。そのため、経験分布関数を使用して擬似コピュラ観測を構築することができる。 ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

代わりに、擬似コピュラ観測は次のように定義される。

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

対応する経験的コピュラは次のように定義される。

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

擬似コピュラサンプルの成分は と書くこともできます。ここで は観測値の順位です。 ${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$${\displaystyle R_{k}^{i}}$${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

したがって、経験的コピュラは、ランク変換されたデータの経験的分布として見ることができます。

スピアマンのローのサンプルバージョン：^[19]

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

定量的金融では、コピュラはリスク管理、ポートフォリオ管理と最適化、デリバティブの価格設定に適用されます。

前者の場合、コピュラはストレステストや堅牢性チェックを行うために使用されます。これは、極端なダウンサイドイベントが発生する可能性がある「ダウンサイド/危機/パニック体制」（例：2007～2008年の世界的金融危機）で特に重要です。この式は金融市場にも適応され、ローンや債券のプールの損失の確率分布を推定するために使用されました。

下振れ局面では、株式や不動産などのリスクの高い資産に投資していた多くの投資家が、現金や債券などの「より安全な」投資に逃げようとするかもしれない。これは質への逃避効果としても知られており、投資家は短期間でリスクの高い資産のポジションを大量に手放す傾向がある。その結果、下振れ局面では、株式間の相関は上昇局面よりも下落局面の方が大きくなり、経済に壊滅的な影響を及ぼす可能性がある。^{[22] [23]}たとえば、逸話的に、株式市場で1日で数億ドルの損失が発生したという金融ニュースの見出しをよく目にするが、同じ規模で同じ短期間に株式市場がプラスになったという報道はほとんど目にしない。

コピュラは、多変量確率モデルの限界と依存構造を別々にモデル化できるようにすることで、下振れ相場の影響を分析するのに役立ちます。たとえば、株式市場を、利益を最大化するためにそれぞれ独自の戦略で取引する多数のトレーダーで構成される市場として考えてみましょう。各トレーダーの個別的な行動は、限界をモデル化することで説明できます。ただし、すべてのトレーダーが同じ取引所で取引しているため、各トレーダーの行動は他のトレーダーの行動と相互作用効果を持ちます。この相互作用効果は、依存構造をモデル化することで説明できます。したがって、コピュラを使用すると、投資家が取引行動や決定を群集行動する傾向があるため、下振れ相場では特に興味深い相互作用効果を分析できます。(エージェントベースの計算経済学も参照してください。ここでは、価格がさまざまな市場参加者、つまりエージェントの相互作用から生じる 創発現象として扱われます。)

この式のユーザーは、単純なバージョンがその目的には不十分であると認識されているにもかかわらず、単純なコピュラを使い続ける「評価文化」を作り出したとして批判されてきた。^{[24] [25]}そのため、以前は、大規模次元のスケーラブルなコピュラモデルでは、相関が上昇または下降レジームで異なる相関の非対称性を考慮しない楕円形の依存構造（ガウスコピュラとスチューデントtコピュラ）のモデリングしかできなかった。しかし、つるコピュラ^[26]（ペアコピュラとも呼ばれる）の開発により、大規模次元のポートフォリオの依存構造を柔軟にモデリングできるようになった。^{[27]クレイトン標準つるコピュラは、極端な下降イベントの発生を考慮しており、}ポートフォリオ最適化やリスク管理アプリケーション にうまく適用されている。このモデルは、極端な下方相関の影響を軽減することができ、ガウス分布やスチューデントt分布などのスケーラブルな楕円依存コピュラと比較して、統計的および経済的パフォーマンスが向上します。^[28]

リスク管理アプリケーション用に開発された他のモデルとしては、パニックコピュラがあります。パニックコピュラは、パニック体制がポートフォリオの損益分布に与える影響を分析するために、限界分布の市場推定と組み合わせられます。パニックコピュラは、モンテカルロシミュレーションによって作成され、各シナリオの確率の再重み付けが行われます。^[29]

デリバティブの価格設定に関しては、コピュラ関数を用いた依存関係モデリングが金融リスク評価や保険数理分析の分野で広く利用されている。例えば、債務担保証券（CDO）の価格設定などである。^[30]ガウスコピュラをクレジットデリバティブに適用する方法論が、 2008～2009年の世界的金融危機の原因の1つであると考える人もいる。^{[31] [32] [33]} David X. Li § CDOs and Gaussian copulaを参照。

このような認識にもかかわらず、金融業界内では、危機前に、ガウスコピュラやコピュラ関数全般の限界、特に依存性ダイナミクスの欠如に対処しようとする試みが文書化されていた。ガウスコピュラは、依存性が分散共分散行列を使用してのみモデル化されるため、楕円形の依存性構造しか許容しないという欠点がある。^[28] この方法論は、金融市場が非対称の依存性を示し、資産間の相関が景気回復時と比較して景気後退時に大幅に増加するため、依存性が進化することを考慮していないという限界がある。したがって、ガウスコピュラを使用したモデリング手法では、極端なイベントの表現が不十分である。^{[28] [34]}コピュラの限界のいくつかを修正するモデルを提案する試みがあった。^{[34] [35] [36]}

CDOに加えて、コピュラはマルチアセット デリバティブ商品を分析するための柔軟なツールとして他の資産クラスにも適用されてきました。クレジット以外で最初にこのようなアプリケーションが使用されたのは、バスケット構成要素のボラティリティスマイルを考慮したバスケットインプライドボラティリティサーフェスをコピュラを使用して構築することだった[ ^37] 。それ以来、コピュラは、ボラティリティスマイルが存在するマルチアセットオプションの価格設定とリスク管理^[38]、株式デリバティブ、外国為替デリバティブ、債券デリバティブで人気を博しています。

最近、コピュラ関数は、高速道路橋の信頼性分析のためのデータベース定式化や、土木工学におけるさまざまな多変量シミュレーション研究、 ^[39]風力および地震工学の信頼性、^[40]機械および海洋工学^[41]にうまく適用されています。研究者は、交通の流れを全体的に形作る個々のドライバーの行動間の相互作用を理解するために、交通分野でもこれらの関数を試しています。

コピュラは、競合する故障モードを持つ機械部品の複雑なシステムの 信頼性解析に使用されています。 ^[42]

コピュラは、裾依存性を分析する保証データ分析に使用されている。 ^[43]

コピュラは、実際の燃焼器で一般的な乱流部分予混合燃焼をモデル化するために使用されます。^{[44] [45]}

コピュラは医学の分野で多くの用途があります。例えば、

1. コピュラは磁気共鳴画像（MRI）の分野で、例えば画像を分割したり^[46]、統合失調症の研究で画像遺伝学のグラフィカルモデルの空白を埋めたり^[47]、正常患者とアルツハイマー病患者を区別したりするために使用されています 。^[48]
2. コピュラは、 EEG信号に基づく脳研究の分野で、例えば昼寝中の眠気の検出^[49] 、瞬間等価帯域幅（IEBW）の変化の追跡^{[50] 、}アルツハイマー病の早期診断のための同期の導出^[51]、EEGチャネル間の振動活動の依存性の特徴付け^{[52] 、時間変動エンベロープを使用してEEGチャネルのペア間の依存性を捉える方法の信頼性の評価[53]}などに利用されてきました。コピュラ関数は、神経科学におけるニューロン依存性^[54]やスパイク数の分析にうまく適用されてきました。^[55]
3. コピュラモデルは腫瘍学の分野で開発されており、例えば、遺伝子型、表現型、経路を共同でモデル化して細胞ネットワークを再構築し、特定の表現型と複数の分子特性（変異や遺伝子発現の変化など）との相互作用を特定しています。Baoら^[56]はNCI60癌細胞株データを使用して、臨床表現型の予測因子として共同で機能する分子特性のいくつかのサブセットを特定しました。提案されたコピュラは、癌治療から病気の予防に至るまでの生物医学研究に影響を与える可能性があります。コピュラは、大腸内視鏡画像から大腸病変の組織学的診断を予測したり、^[57]癌のサブタイプを分類したりするためにも使用されています。^[58]
4. コピュラベースの解析モデルは、心臓や心血管疾患の分野で開発されており、例えば心拍数（HR）の変動を予測するために使用されます。心拍数（HR）は心拍数と密接に関連しているため、運動の強度や負荷の程度を監視するための最も重要な健康指標の1つです。したがって、正確な短期HR予測技術は、人間の健康に対する効率的な早期警告を提供し、有害なイベントを減らすことができます。Namazi（2022）^[59]は、 HRを予測するために新しいハイブリッドアルゴリズムを使用しました。

SSAとコピュラベースの方法の組み合わせは、地球の向きのパラメータを予測するための新しい確率論的ツールとして初めて適用されました。^{[60] [61]}

コピュラは水文気候データの理論的および応用的分析の両方で使用されてきました。理論的研究では、例えば世界のさまざまな地域における気温と降水量の依存関係をより深く理解するために、コピュラに基づく方法論が採用されました。^{[9] [62] [63]}応用研究では、例えば農業干ばつ^[64]や気温と降水量の極端な変動が植生の成長に及ぼす共同影響を調べるために、コピュラに基づく方法論が採用されました。^[65]

コピュラは気候や天気に関する研究で広く使われてきました。^{[66] [67]}

コピュラは、空間ネットワーク内および単一の場所における時間的な太陽放射照度の変動を推定するために使用されてきた。^{[68] [69]}

経験的コピュラを使用すると、小さなデータセットの依存関係構造全体を保存しながら、ベクトルと定常時系列の大規模な合成トレースを生成することができます。^[70]このような経験的トレースは、さまざまなシミュレーションベースのパフォーマンス研究に役立ちます。^[71]

コピュラは電子整流モーターの製造における品質ランク付けに使用されてきた。^[72]

コピュラは、周辺分布を使用せずに依存構造を表すため重要です。コピュラは金融分野で広く使用されていますが、信号処理での使用は比較的新しいものです。コピュラは、無線 通信の分野でレーダー信号の分類、リモートセンシングアプリケーションでの変化検出、医療におけるEEG 信号処理に使用されています。このセクションでは、コピュラ密度関数を取得するための簡単な数学的導出と、関連する信号処理アプリケーションでのコピュラ密度関数のリストを示す表を示します。

コピュラは活動銀河核（AGN）の核電波輝度関数を決定するために使用されてきたが^[73] 、これはサンプルの完全性の問題から従来の方法では実現できない。

任意の2つの確率変数XとYに対して、連続結合確率分布関数は次のように表される。

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

ここで、およびは それぞれランダム変数XとYの周辺累積分布関数です。 ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

コピュラ分布関数はSklarの定理^{[74] [75]}を用いて次のように定義できる。 ${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

ここで、 およびは周辺分布関数、 は結合分布関数、です。 ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

が 2 回微分可能であると仮定して、結合確率密度関数 (PDF) と結合累積分布関数 (CDF) およびその偏導関数の関係を使用することから始めます。 ${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

ここで、はコピュラ密度関数、はそれぞれXとYの周辺確率密度関数です。この式には 4 つの要素があり、そのうち 3 つの要素がわかっていれば、4 番目の要素を計算できます。たとえば、次のように使用できます。 ${\displaystyle c(u,v)}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• 2つのランダム変数間の結合確率密度関数が分かっており、コピュラ密度関数が分かっており、2つの周辺関数のうちの1つが分かっている場合、もう1つの周辺関数を計算することができる。
• 2つの周辺関数とコピュラ密度関数がわかっている場合、2つのランダム変数間の結合確率密度関数を計算することができます。
• 2 つの周辺関数と 2 つのランダム変数間の結合確率密度関数がわかっている場合は、コピュラ密度関数を計算できます。

信号処理の分野では、さまざまな二変量コピュラ密度関数が重要です。およびは周辺分布関数であり、およびは周辺密度関数です。統計信号処理のためのコピュラの拡張と一般化により、指数分布、ワイブル分布、ライス分布の新しい二変量コピュラが構築されることが示されています。^[76] Zengら^[77]は、信号処理におけるこれらのコピュラのアルゴリズム、シミュレーション、最適選択、および実際のアプリケーションを紹介しました。 ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• カップリング（確率）

• コピュラ入門の標準的な参考書。すべての基本的な側面を網羅し、最も人気のあるコピュラのクラスを要約し、コピュラに関連する重要な定理の証明を提供します。

ロジャー・B・ネルセン（1999）「コピュラ入門」、シュプリンガー。ISBN 978-0-387-98623-4 

• コピュラに関する数学的研究の最新トピックを扱った本:

Piotr Jaworski、Fabrizio Durante、Wolfgang Karl Härdle、Tomasz Rychlik (編集者): (2010): 「統計学におけるコピュラ理論とその応用」講義ノート、Springer。ISBN 978-3-642-12464-8 

• コピュラに関連するサンプリングアプリケーションと確率モデルに関する参考文献は

Jan - Frederik Mai、Matthias Scherer (2012)：コピュラのシミュレーション（確率モデル、サンプリングアルゴリズムとアプリケーション）。World Scientific。ISBN 978-1-84816-874-9 

• コピュラの「発明」に関係する人物、アベ・スクラーによる、コピュラ理論の歴史的発展を扱った論文。

Abe Sklar (1997): 「ランダム変数、分布関数、コピュラ - 過去と未来の個人的な考察」、Rüschendorf, L.、Schweizer, B. および Taylor, M. (編) 『Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes – Monograph Series Number 28)』ISBN 978-0-940600-40-9 

• 金融および保険モデルにおける多変量モデルとコピュラ理論の標準リファレンス

Alexander J. McNeil、Rudiger Frey、Paul Embrechts (2005)「定量的リスク管理:概念、手法、ツール」、Princeton Series in Finance。ISBN 978-0-691-12255-7 

• 「コピュラ」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Copula Wiki: コピュラに興味のある研究者のためのコミュニティポータル。2016-09-11 にWayback Machineでアーカイブされました。
• Copulaシミュレーションおよび推定コードのコレクション
• Excel シミュレーションを使用したコピュラと相関関係の記事
• Jan-Frederik Mai、Matthias Scherer (2012)「コピュラのシミュレーション: 確率モデル、サンプリング アルゴリズム、およびアプリケーション」の第 1 章