区間推定

統計学において、区間推定とは、サンプルデータを使用して、関心のあるパラメータの可能な値の区間を推定することです。これは、単一の値を与える点推定とは対照的です。 ^[1]

区間推定の最も一般的な形式は、信頼区間（頻度主義的方法）と 信用区間（ベイズ法）です。^{[2]あまり一般的ではない形式には、}尤度区間、 信頼区間、 許容区間、予測区間などがあります。非統計的方法では、区間推定はファジー論理から推測できます。

信頼区間は、サンプル データ セットから対象のパラメータ (通常は平均または標準偏差)を推定するために使用されます。信頼区間は、対象のパラメータが下限と上限の範囲内にあるという 100γ% の信頼度があることを示します。信頼区間に関するよくある誤解は、データ セットの 100γ% が境界内または境界の上/下に収まるというものですが、これは許容区間と呼ばれ、以下で説明します。

信頼区間を作成するために使用される方法は複数ありますが、正しい選択は分析するデータによって異なります。既知の分散を持つ正規分布の場合、 z表を使用して、n回の測定のデータ セットからサンプル平均を中心とした 100γ% の信頼水準が得られる区間を作成します。二項分布の場合、信頼区間は、ワルド近似法、ジェフリーズ区間、およびクロッパー-ピアソン区間を使用して近似できます。ジェフリー法は、ポアソン分布の区間を近似するためにも使用できます。^[3]基礎となる分布が不明な場合は、ブートストラップを使用してデータ セットの中央値に関する境界を作成できます。

信頼区間とは対照的に、信用区間では事前の仮定、ベイズ係数を用いた仮定の修正、事後分布の決定が必要となる。事後分布を利用することで、信頼区間では推定値が区間内に含まれることを100γ%確信できるのに対し、信用区間では、関心のあるパラメータが含まれる確率が100γ%であると判断できる。^[4]

${\displaystyle {\text{事後確率}}\ \propto \ {\text{尤度}}\times {\text{事前確率}}}$

事前仮定は区間を構築するためのより多くのデータを提供するのに役立ちますが、信頼区間の客観性を失わせます。事前仮定は事後仮定を通知するために使用されますが、この事前仮定が疑問視されなければ、誤った予測につながる可能性があります。^[5]

信頼区間とは異なり、信用区間の境界は可変です。正しい上限と下限をどこに置くかを決定する方法は複数あります。区間の境界を調整するための一般的な手法には、最高事後密度区間(HPDI)、等尾区間、または平均値付近の区間の中心を選択することなどがあります。

尤度関数の原理を利用して、関心のあるパラメータを推定します。尤度ベースの方法を利用すると、指数平均、ワイブル平均、対数正規平均の信頼区間を求めることができます。さらに、尤度ベースのアプローチでは、標準偏差の信頼区間を求めることができます。尤度関数と将来のランダム変数を組み合わせて予測区間を作成することもできます。^[3]

フィデューシャル推論はデータセットを利用し、ノイズを慎重に除去して分布推定量である一般化フィデューシャル分布 (GFD) を復元します。ベイズの定理を使用しない場合、信頼区間のように事前の仮定はありません。フィデューシャル推論は統計的推論のあまり一般的ではない形式です。逆確率法を開発していた創始者のRA フィッシャーは、このプロセスの妥当性について独自の疑問を抱いていました。フィデューシャル推論は 20 世紀初頭に開発されましたが、20 世紀後半には、この方法は頻度主義やベイズ主義のアプローチよりも劣るものの、統計的推論の歴史的文脈において重要な位置を占めていると考えられていました。しかし、現代のアプローチでは、フィデューシャル区間が一般化フィデューシャル推論 (GFI) に一般化されており、離散データセットと連続データセットの推定に使用できます。^[6]

許容区間は、収集されたデータセットの母集団を使用して、許容限界内で 100γ% 値を含む区間を取得します。許容区間の説明によく使用される例には、製造業が含まれます。このコンテキストでは、既存の製品セットのパーセンテージを評価して、母集団のパーセンテージが許容限界内に含まれるようにします。許容区間を作成する場合、サンプル平均、およびサンプル標準偏差、s を使用して、上限と下限の許容限界で境界を記述できます。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle (l_{b},u_{b})=\mu \pm k_{2}s}$両側区間の場合

両側区間の場合

そして、許容範囲が臨界値の上または下のみに要求される片側区間の場合、

${\displaystyle l_{b}=\mu -k_{1}s}$

${\displaystyle u_{b}=\mu +k_{1}s}$

${\displaystyle k_{i}}$分布と区間推定における辺の数iによって変化する。正規分布では 次のように表される^[7]${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle k_{2}=z_{\alpha /2}{\sqrt {\frac {\nu (1+{\frac {1}{N}})}{\chi _{1-\alpha ,\ぬ }^{2}}}}}$

どこ、

${\displaystyle \chi _{1-\alpha ,\nu }^{2}}$は、確率 で超過される自由度を利用したカイ二乗分布の臨界値です。${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle z_{\alpha /2}}$正規分布から得られる臨界値です。

予測区間は、将来のサンプルを含む区間をある信頼度γで推定します。予測区間は、ベイズと頻度主義の両方のコンテキストで使用できます。これらの区間は通常、回帰データセットで使用されますが、予測区間は、以前のデータの実験的に制御されたパラメータを超える外挿には使用されません。^[8]

ファジー ロジックは、人工知能、医療上の決定、その他の分野で非バイナリ方式で意思決定を処理するために使用されます。一般的に、入力を受け取り、それをファジー推論システムでマッピングし、出力決定を生成します。このプロセスには、ファジー化、ファジー ロジック ルールの評価、および非ファジー化が含まれます。ファジー ロジック ルールの評価では、メンバーシップ関数が非バイナリ入力情報を具体的な変数に変換します。これらのメンバーシップ関数は、システムの不確実性を予測するために不可欠です。

両側区間は、下限 ( ) と上限 ( ) を使用して、信頼度レベル γ で対象のパラメータ Θ を推定します。例としては、ある地理的地域の男性の平均身長や、あるメーカーの特定の机の長さを推定することが挙げられます。これらのケースでは、パラメータの中心値を推定する傾向があります。通常、これは以下の式のような形式で表されます。 ${\displaystyle l_{b}}$${\displaystyle u_{b}}$

${\displaystyle P(l_{b}<\Theta <u_{b})=\gamma }$

両側区間とは異なり、片側区間では信頼度レベル γ を使用して、関心のあるパラメータを γ*100% の確率で予測する最小または最大の境界を構築します。通常、片側区間は、推定値の最小または最大の境界が関心の対象ではない場合に必要です。Θ の最小予測値に関心がある場合、推定値の上限を見つける必要がなくなり、両側の簡略化された形式になります。

${\displaystyle P(l_{b}<\Theta )=\gamma }$

上限を削除して信頼性を維持した結果、下限 ( ) は増加します。同様に、パラメータの推定値の上限のみを見つけることに関心がある場合、上限は減少します。片側区間は、材料製造の品質保証でよく見られるもので、材料の強度 Θ の期待値は、ある信頼性 (100γ%) で特定の最小値 ( ) を上回る必要があります。この場合、製造業者は強度が高すぎる製品を製造することに関心がないため、上限 ( ) はありません。 ${\displaystyle l_{b}}$${\displaystyle l_{b}}$${\displaystyle u_{b}}$

パラメータの統計的有意性を判断するには、データとその収集方法を理解することが最善です。データを収集する前に、サンプリング誤差が統計的変動（ランダム誤差）であり、統計的偏り（系統的誤差）ではないように実験を計画する必要があります。^[9]実験後、区間推定値を作成するための一般的な最初のステップは、さまざまなグラフィカル手法を使用してプロットする探索的分析です。これにより、データセットからのサンプルの分布を判断できます。分布に基づいて誤った仮定で区間境界を作成すると、予測が不正確になります。^[10]

間隔推定値が報告される場合、科学界内外で共通の解釈がなければなりません。ファジー ロジックから導き出された間隔推定値には、アプリケーション固有の意味がさらに多くあります。

一般的に発生する状況では、必要な仮定の確認と妥当性を条件として、使用できる一連の標準手順が存在する必要があります。これは、信頼区間と信用区間の両方に当てはまります。ただし、より新しい状況では、区間推定値をどのように定式化できるかについてのガイダンスが存在する必要があります。この点で、信頼区間と信用区間は同様の立場にありますが、2 つの違いがあります。第 1 に、信用区間は事前情報を容易に処理できますが、信頼区間は処理できません。第 2 に、信頼区間はより柔軟であり、信用区間よりも多くの状況で実際に使用できます。比較すると、信用区間が劣る領域の 1 つは、ノンパラメトリック モデルの処理です。

区間推定手順のパフォーマンスをテストする方法が必要です。これは、多くのそのような手順がさまざまな種類の近似値を含むため、手順の実際のパフォーマンスが主張されているものに近いかどうかを確認する必要があるためです。確率シミュレーションを使用すると、信頼区間の場合はこれが簡単になりますが、事前情報を適切に考慮する必要がある信頼区間の場合は、多少問題があります。信頼区間の確認は、事前情報がない状況で行うことができますが、確認には手順の長期的な頻度特性の確認が含まれます。

セヴェリーニ（1993）は、信頼区間と信頼区間が同様の結果を生み出す条件について議論し、信頼区間の被覆確率と信頼区間に関連する事後確率の両方についても議論している。^[11]

ベイズ統計の一般的なアプローチであり正当化でもある意思決定理論では、区間推定は直接的な関心事ではありません。結果は決定であり、区間推定ではないため、ベイズ意思決定理論家はベイズアクションを使用します。つまり、損失関数の期待損失を、特定の区間ではなく、事後分布全体に関して最小化します。

信頼区間の応用は、不確実性を扱うさまざまな問題を解決するために使用されます。Katz (1975) は、法的手続きで区間推定値を利用することのさまざまな課題と利点を提案しています。^[12]医学研究での使用については、Altmen (1990) が信頼区間の使用と使用に関するガイドラインについて説明しています。^[13]製造業では、製品寿命を推定したり、製品の許容範囲を評価したりするために区間推定値を見つけることもよくあります。Meeker と Escobar (1998) は、将来のランダム変数 (予測区間) の予測を含む、パラメトリック推定とノンパラメトリック推定の下で信頼性データを分析する方法を提示しています。^[14]

• 68–95–99.7 ルール
• アルゴリズム推論
• ベーレンス・フィッシャー問題は、応用可能な統計手法の理論の発展に重要な役割を果たしました。
• カバレッジ確率
• 推定統計
• 帰納法（哲学）
• 誤差の範囲
• 多重比較
• 統計の哲学
• 予測推論
• 統計的干渉

• Kendall, MG および Stuart, A. (1973)。『統計の高度理論』第 2 巻: 推論と関係(第 3 版)。グリフィン、ロンドン。

上記では、第 20 章で信頼区間について説明し、第 21 章では信頼区間とベイズ区間について説明し、3 つのアプローチを比較しています。この研究は、現代の計算集約型手法よりも古いものであることに注意してください。さらに、第 21 章では、ベーレンス-フィッシャー問題についても説明します。

• Meeker, WQ, Hahn, GJ および Escobar, LA (2017)。統計的間隔: 実践者および研究者のためのガイド(第 2 版)。John Wiley & Sons。

• ファジー数学入門 https://web.archive.org/web/20061205114153/http://blog.peltarion.com/2006/10/25/fuzzy-math-part-1-the-theory
• ファジーロジックとは何ですか? https://www.youtube.com/watch?v=__0nZuG4sTw