多 変量安定分布は、単変量 安定分布 の多変量一般化である 多変量 確率分布 です。多変量安定分布は、 安定分布の 周辺間の線形関係を定義します。 [ 説明が必要 ]単変量の場合と同様に、分布はその 特性関数 によって定義されます 。
多変量安定分布は、多変量正規分布 の拡張として考えることもできます 。この 分布には、0 < α ≤ 2の範囲で定義される パラメータ αがあり、 α = 2 の場合は 多変量正規分布と同等です。多変量安定分布には、非対称分布を可能にする追加の歪度パラメータがあり、 多変量正規分布は 対称です。
意味 を の単位球面と する 。 ランダムベクトル は 、 の結合特性関数が [1] であるとき、 多変量安定分布 - と表記される - を持つ。
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
R
d
:
S
= { あなた ∈
R
d
:
|
あなた
|
= 1 }
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\colon \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}}
バツ
{\displaystyle X}
バツ 〜 S （ α 、 Λ 、 δ ）
{\displaystyle X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )}
バツ
{\displaystyle X}
え 経験 （ 私
あなた
T
バツ ） = 経験
{
−
∫
s ∈
S
{
|
あなた
T
s
|
α
+ 私 ν （
あなた
T
s 、 α ）
}
Λ （ d s ） + 私
あなた
T
δ
}
{\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{s\in \mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}}
ここで0 < α < 2であり、
ええ ∈
R
{\displaystyle y\in \mathbb {R} }
ν （ ええ 、 α ） =
{
−
s 私 グ ん
（ ええ ） tan
(
π
α
/
2
)
|
y
|
α
α
≠
1
,
(
2
/
π
)
y
ln
|
y
|
α
=
1.
{\displaystyle \nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\mathbf {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}}
これは本質的にはフェルドハイム[2] の結果であり、任意の安定したランダムベクトルはスペクトル測度 （上の有限測度 ）とシフトベクトル によって特徴付けられるというものである 。
Λ
{\displaystyle \Lambda }
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
δ
∈
R
d
{\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}
投影を用いたパラメータ化 安定したランダム ベクトルを記述する別の方法は、射影を使用することです。任意のベクトル に対して 、射影は、 歪度 、スケール 、 およびシフトを伴う 一変量安定です。X が
任意のに対して で安定している場合、 表記 が使用されます
。これは、射影パラメータ化と呼ばれます。
u
{\displaystyle u}
u
T
X
{\displaystyle u^{T}X}
α
−
{\displaystyle \alpha -}
β
(
u
)
{\displaystyle \beta (u)}
γ
(
u
)
{\displaystyle \gamma (u)}
δ
(
u
)
{\displaystyle \delta (u)}
X
∼
S
(
α
,
β
(
⋅
)
,
γ
(
⋅
)
,
δ
(
⋅
)
)
{\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}
u
T
X
∼
s
(
α
,
β
(
⋅
)
,
γ
(
⋅
)
,
δ
(
⋅
)
)
{\displaystyle u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}
u
∈
R
d
{\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}
スペクトル測定は次のように投影パラメータ関数を決定します。
γ
(
u
)
=
(
∫
s
∈
S
|
u
T
s
|
α
Λ
(
d
s
)
)
1
/
α
{\displaystyle \gamma (u)={\Bigl (}\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }}
β
(
u
)
=
∫
s
∈
S
|
u
T
s
|
α
s
i
g
n
(
u
T
s
)
Λ
(
d
s
)
/
γ
(
u
)
α
{\displaystyle \beta (u)=\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\mathbf {sign} (u^{T}s)\Lambda (ds)/\gamma (u)^{\alpha }}
δ
(
u
)
=
{
u
T
δ
α
≠
1
u
T
δ
−
∫
s
∈
S
π
2
u
T
s
ln
|
u
T
s
|
Λ
(
d
s
)
α
=
1
{\displaystyle \delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{s\in \mathbb {S} }{\tfrac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}}
特別なケース 多変量特性関数が より単純な形をとる特殊なケースがあります 。安定限界関数の特性関数を次のように定義します。
ω
(
y
|
α
,
β
)
=
{
|
y
|
α
[
1
−
i
β
(
tan
π
α
2
)
s
i
g
n
(
y
)
]
α
≠
1
|
y
|
[
1
+
i
β
2
π
s
i
g
n
(
y
)
ln
|
y
|
]
α
=
1
{\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}
等方性多変量安定分布 特性関数は、
スペクトル測度が連続かつ一様であるため、放射状/等方性対称性をもたらします。 [3]
多正規分布の場合 、これは独立した成分に対応しますが、 の場合はそうではありません。等方性は楕円の特殊なケースです（次の段落を参照）。 を 単位行列の倍数として
とるだけです。
E
exp
(
i
u
T
X
)
=
exp
{
−
γ
0
α
|
u
|
α
+
i
u
T
δ
)
}
{\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}}
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2}
α
<
2
{\displaystyle \alpha <2}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
楕円形の多変量安定分布 楕円曲線を描く 多変量安定分布 は 、多変量安定分布の特殊な対称ケースです。X が α 安定で楕円曲線を描く場合 、 シフト ベクトル
( 存在する場合は平均値に等しい) と正定値行列(相関行列に似ていますが、相関の通常の定義は意味をなさない) の結合 特性関数を持ちます。 多変量正規分布 の特性関数との関係に注意してください。これは 、 α = 2のときに得られます 。
E
exp
(
i
u
T
X
)
=
exp
{
−
(
u
T
Σ
u
)
α
/
2
+
i
u
T
δ
)
}
{\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}}
δ
∈
R
d
{\displaystyle \delta \in R^{d}}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
E
exp
(
i
u
T
X
)
=
exp
{
−
(
u
T
Σ
u
)
+
i
u
T
δ
)
}
{\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}}
独立したコンポーネント 周辺分布が と独立である 場合、特性関数は
X
j
∼
S
(
α
,
β
j
,
γ
j
,
δ
j
)
{\displaystyle X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})}
E
exp
(
i
u
T
X
)
=
exp
{
−
∑
j
=
1
m
ω
(
u
j
|
α
,
β
j
)
γ
j
α
+
i
u
T
δ
)
}
{\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}
α = 2のとき、これは再び多変量正規分布に縮減されることに注意してください 。α < 2 のとき、iid の場合と等方性の場合が一致しないことに注意してください。独立成分は離散スペクトル測定の特殊なケースであり (次の段落を参照) 、 スペクトル測定は標準の単位ベクトルによってサポートされます。
離散 スペクトル測度が離散的であり、
特性関数
における質量が
λ
j
{\displaystyle \lambda _{j}}
s
j
∈
S
,
j
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle s_{j}\in \mathbb {S} ,j=1,\ldots ,m}
E
exp
(
i
u
T
X
)
=
exp
{
−
∑
j
=
1
m
ω
(
u
T
s
j
|
α
,
1
)
λ
j
α
+
i
u
T
δ
)
}
{\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}}
線形特性 が d 次元の 場合、 Aは m x d 行列であり
、 AX + bは スケール関数、 歪度関数 、位置関数を持つ m 次元安定 である。
X
∼
S
(
α
,
β
(
⋅
)
,
γ
(
⋅
)
,
δ
(
⋅
)
)
{\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}
b
∈
R
m
,
{\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},}
α
{\displaystyle \alpha }
γ
(
A
T
⋅
)
,
{\displaystyle \gamma (A^{T}\cdot ),}
β
(
A
T
⋅
)
,
{\displaystyle \beta (A^{T}\cdot ),}
δ
(
A
T
⋅
)
+
b
T
.
{\displaystyle \delta (A^{T}\cdot )+b^{T}.}
独立成分モデルにおける推論 最近 [4]では、独立成分モデルを含む線形モデル（または同等の 因子分析 モデル）において閉形式で推論を計算する方法が示されました 。
より具体的には、 が安定した分布 から抽出された iid 観測されない一変量の集合であるとします 。サイズ の既知の線形関係行列 A が与えられた場合 、観測値は 隠れた因子の畳み込みとして分布していると仮定します 。推論タスクは、 線形関係行列 A と観測値が与えられた場合に、 最も可能性の高い を計算することです。このタスクは、閉じた形式で O( n 3 )
で計算できます。
X
i
∼
S
(
α
,
β
x
i
,
γ
x
i
,
δ
x
i
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}}),i=1,\ldots ,n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
Y
i
=
∑
i
=
1
n
A
i
j
X
j
{\displaystyle Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Y
i
=
S
(
α
,
β
y
i
,
γ
y
i
,
δ
y
i
)
{\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Y
i
{\displaystyle Y_{i}}
この構造の応用例としては、 安定した非ガウスノイズによる
マルチユーザー検出が挙げられます。
参照
リソース Mark Veillette の安定配布 matlab パッケージ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 このページのグラフは、Danny Bickson の線形安定モデル推論 Matlab パッケージを使用してグラフ化されています: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable
注記
^ J. Nolan、「多変量安定密度と分布関数: 一般および楕円の場合」、BundesBank Conference、エルトヴィル、ドイツ、2005 年 11 月 11 日。http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html も参照してください。 ^ フェルドハイム、E. (1937)。確率の安定性の練習。博士論文、パリ科学学部、パリ、フランス。 ^ STABLE 5.1 Matlab バージョンのユーザー マニュアル、Robust Analysis Inc.、http://www.RobustAnalysis.com ^ D. Bickson と C. Guestrin。多変量ヘビーテールの線形モデルにおける推論。Neural Information Processing Systems (NIPS) 2010、バンクーバー、カナダ、2010 年 12 月。https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable/
![{\displaystyle \alpha \in (0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dade01a06507996c8330ec68b7c0f7bc305a05)
![{\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{ 2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29648430a3cfd1481108fc22f11b512ab5f8881)
