一般化カイ二乗分布

一般化カイ二乗分布

確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\tilde {\chi}}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)}$
パラメータ	${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$、非心カイ二乗成分の重みのベクトル、非心カイ二乗成分の自由度のベクトル、カイ二乗成分の非心パラメータのベクトル、正規項のスケール、オフセット ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$
サポート	${\displaystyle x\in {\begin{cases}[m,+\infty ){\text{ if }}w_{i}\geq 0,s=0,\\(-\infty ,m]{\text{ if }}w_{i}\leq 0,s=0,\\\mathbb {R} {\text{ else.}}\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle \sum _{j}w_{j}(k_{j}+\lambda _{j})+m}$
分散	${\displaystyle 2\sum _{j}w_{j}^{2}(k_{j}+2\lambda _{j})+s^{2}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left[it\left(m+\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2iw_{j}t}}\right)-{\frac {s^{2}t^{2}}{2}}\right]}{\prod _{j}\left(1-2iw_{j}t\right)^{k_{j}/2}}}}$

確率論と統計学において、一般化カイ二乗分布（じゅうじゅんかいちばん、英: generalized chi-squared distribution）は、多正規変数（正規ベクトル）の2次形式、または異なる正規変数と正規変数の2乗の線形結合の分布である。同様に、これは独立した非心カイ二乗変数と正規変数の線形和でもある。同じ用語が時々使用されるこのような一般化は他にもいくつかあり、そのいくつかはここで説明するファミリーの特殊なケースであり、たとえばガンマ分布である。

一般化カイ二乗変数は複数の方法で記述することができる。1つは、独立した非心カイ二乗変数と標準正規変数の加重和として記述する方法である: ^{[1] [2]}${\displaystyle {{\chi }'}^{2}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)=\sum _{i}w_{ i}{{\chi }'}^{2}(k_{i},\lambda _{i})+sz+m.}$

ここで、パラメータは重み、構成する非心カイ二乗分布の自由度と非心度、および正規分布の係数とです。この重要な特殊なケースには、すべての重みが同じ符号であったり、中心カイ二乗成分があったり、正規分布の項が省略されていたりするものがあります。 ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle m}$${\displaystyle w_{i}}$

非心カイ二乗変数は、異なる平均を持つ正規変数の二乗の合計であるため、一般化カイ二乗変数は、独立した正規変数の二乗の合計と、独立した正規変数、つまり正規変数の二次関数としても定義されます。

もう一つの同等の方法は、これを法線ベクトルの2次形式として定式化することです: ^{[3] [4]}${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {\chi}}=q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$。

ここでは行列、はベクトル、 はスカラーです。これらは、正規ベクトルの平均および共分散行列とともに、分布をパラメータ化します。 ${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

最も一般的なケースでは、次の形式の表現を使用することで共通の標準形式への還元を行うことができます。^[5]

${\displaystyle X=(z+a)^{\mathrm {T} }A(z+a)+c^{\mathrm {T} }z=(x+b)^{\mathrm {T} }D(x+b)+d^{\mathrm {T} }x+e,}$

ここで、D は対角行列であり、x は相関のない標準正規乱数変数のベクトルを表します。

一般化カイ二乗変数または分布は、2 つの方法でパラメータ化できます。1 つ目は、重み、構成する非心カイ二乗の自由度と非心度、および追加された正規項の係数とです。2 つ目は、正規ベクトルの 2 次形式を使用するパラメータ化です。ここで、パラメータは行列、ベクトル、スカラー、および正規ベクトルの 平均と共分散行列です。${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

最初の式のパラメータ（非心カイ二乗、正規分布、定数）は、2番目の式のパラメータ（正規ベクトルの2次形式）で計算できます。^[4]

2番目の式のパラメータ（正規ベクトルの2次形式）は、最初の式のパラメータ（非心カイ2乗、正規分布、定数）に基づいて計算することもできます。^[6]

あるパラメータ セットから別のパラメータ セットに変換する Matlab コードが存在します。

一般化カイ二乗変数の確率密度関数、累積分布関数、逆累積分布関数は単純な閉形式の表現を持たない。しかし、それらを数値的に計算する方法はいくつかある。ルーベン法^[7] 、イムホフ法^[8] 、 IFFT法^[6] 、光線法^[6]、楕円近似^{[6]などである。}

これらの方法のいくつかを実装してPDF、CDF、逆CDFを計算し、乱数を生成する数値アルゴリズム^{[5] [2] [8] [4]}とコンピュータコード（FortranとC、Matlab、R、Python、Julia）が公開されています。

次の表は、さまざまなケースにおける一般化カイ二乗分布のさまざまな部分のCDFとPDFを計算するために使用する最良の方法を示しています。^[6]

一般化カイ二乗は、以下の例のように、通常の統計理論が当てはまらない 場合の統計推定値の分布です。

予測モデルが最小二乗法で近似されているが、残差が自己相関または異分散性のいずれかを持つ場合、二乗和の変化を漸近的に有効な一般化カイ二乗分布に関連付けることで、代替モデルを比較することができます（モデル選択）。 ^[3]

が正規ベクトルである場合、その対数尤度は の二次形式であるため、一般化カイ二乗分布に従います。ある正規分布と別の正規分布の対数尤度比も二次形式であるため、一般化カイ二乗分布に従います。^[4]${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

ガウス判別分析では、多重正規分布からのサンプルは、二次分類器、つまり二次関数である境界（例えば、2つのガウス分布間の尤度比を1に設定することによって定義される曲線）を使用して最適に分離されます。異なるタイプ（偽陽性と偽陰性）の分類エラー率は、この分類器によって定義された二次領域内の正規分布の積分です。これは数学的には正規ベクトルの二次形式を積分することと同等であるため、結果は一般化カイ2乗変数の積分になります。^[4]

次の応用は、信号処理におけるフーリエ解析、確率論における再生理論、無線通信におけるマルチアンテナシステムの文脈で生じます。これらの分野に共通するのは、指数分布変数の合計が重要であることです（または同様に、円対称の中心を持つ複素ガウス変数 の二乗の大きさの合計）。

がk個の独立した、平均0、分散を持つ円対称の中心複素ガウス分布のランダム変数である場合、ランダム変数 ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{i=1}^{k}|Z_{i}|^{2}}$

は、特定の形式の一般化カイ二乗分布を持つ。標準的なカイ二乗分布との違いは、 が複雑で、異なる分散を持つ可能性があること、そしてより一般的な一般化カイ二乗分布との違いは、関連するスケーリング行列Aが対角であることだ。すべてのiに対して の場合、 をでスケールダウン（つまり を乗じる）すると、 はカイ二乗分布（アーラン分布とも呼ばれる）を持つ。 がすべてのiに対して異なる値を持つ場合、 はpdf を持つ^[9]${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle \mu =\sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle {\tilde {Q}}}$${\displaystyle \mu /2}$${\displaystyle 2/\mu }$${\displaystyle \chi ^{2}(2k)}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;k,\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1,j\neq i}^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}}\quad {\text{for }}x\geq 0.}$

の間に繰り返される分散の集合がある場合、それらはそれぞれが特定の分散値を表すM集合に分割されていると仮定します。を各グループの繰り返し回数とします。つまり、m番目の集合には分散を持つ変数が含まれます。 これは、異なる自由度を持つ独立した分布するランダム変数 の任意の線形結合を表します。${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\dots ,r_{M})}$${\displaystyle r_{m}}$${\displaystyle \sigma _{m}^{2}.}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{m=1}^{M}\sigma _{m}^{2}/2*Q_{m},\quad Q_{m}\sim \chi ^{2}(2r_{m})\,.}$

のpdfは^[10]${\displaystyle {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;\mathbf {r} ,\sigma _{1}^{2},\dots \sigma _{M}^{2})=\prod _{m=1}^{M}{\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r} }}{(r_{k}-l)!}}(-x)^{r_{k}-l}e^{-{\frac {x}{\sigma _{k}^{2}}}},\quad {\text{ for }}x\geq 0,}$

どこ

${\displaystyle \Psi _{k,l,\mathbf {r} }=(-1)^{r_{k}-1}\sum _{\mathbf {i} \in \Omega _{k,l}}\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{\sigma _{j}^{2}}}\!-\!{\frac {1}{\sigma _{k}^{2}}}\right)^{-(r_{j}+i_{j})},}$

（ ）のすべての分割の集合から、次のように定義される ${\displaystyle \mathbf {i} =[i_{1},\ldots ,i_{M}]^{T}}$${\displaystyle \Omega _{k,l}}$${\displaystyle l-1}$${\displaystyle i_{k}=0}$

${\displaystyle \Omega _{k,l}=\left\{[i_{1},\ldots ,i_{m}]\in \mathbb {Z} ^{m};\sum _{j=1}^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{ for all }}j\right\}.}$

• 非心カイ二乗分布
• カイ二乗分布

• Davies, RB: 「カイ二乗ランダム変数の線形結合」の Fortran および C ソース コード
• Das, A: 一般化カイ二乗分布の統計、p​​df、cdf、逆cdf、乱数を計算するための MATLAB コード。