スケールパラメータ

確率論と統計学において、スケールパラメータは、確率分布のパラメトリック族の特殊な種類の数値パラメータです。スケールパラメータが大きいほど、分布は 広がります。

確率分布族が、累積分布関数が満たす パラメータs（および他のパラメータθ）が存在するような場合、

${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}$

s はスケールパラメータと呼ばれます。その値によって確率分布の「スケール」または統計的分散が決まるからです。sが大きい場合、分布はより広がり、sが小さい場合、分布はより集中します。

完全なパラメータセットのすべての値に対して確率密度が存在する場合、密度（スケールパラメータのみの関数として）は次式を満たす。

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

ここで、fは密度の標準化されたバージョンの密度、つまり です。 ${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$

スケールパラメータの推定量はスケール推定量と呼ばれます。

パラメータ化された族が位置パラメータを持つ場合、以下のようにわずかに異なる定義がよく使用されます。位置パラメータを、スケールパラメータを と表すと、 が成立することが求められます。ここで はパラメータ化された族の cmd です。^[1]この修正は、非心ガウス分布の標準偏差をスケールパラメータにするために必要です。そうしないと、 を再スケールしたときに平均が変わってしまうためです。ただし、この代替定義は一貫して使用されていません。^[2]${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((xm)/s;1,0,\theta )}$${\displaystyle F(x,s,m,\theta )}$${\displaystyle x}$

について次のように書くことができます。 ${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle g(x)=x/s}$

${\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}$

f は確率密度関数な ので、積分すると 1 になります。

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}$

積分法の 置換規則により、

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}$

これも適切に正規化されます。 ${\displaystyle f_{s}}$

いくつかの分布族は、単にスケールパラメータの逆数である速度パラメータ（または逆スケールパラメータ）を使用する。例えば、スケールパラメータβと確率密度を持つ 指数分布は、

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

速度パラメータλを用いて次のように書くこともできる。

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

• 一様分布は、位置パラメータとスケールパラメータでパラメータ化できます。${\displaystyle (a+b)/2}$${\displaystyle |ba|}$
• 正規分布には、位置パラメータ とスケールパラメータという 2 つのパラメータがあります。実際には、正規分布は分布の分散に対応するスケールの2乗でパラメータ化されることが多いです。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• ガンマ分布は通常、スケール パラメーターまたはその逆数によってパラメーター化されます。${\displaystyle \theta }$
• スケール パラメーターが 1 に等しい分布の特殊なケースは、特定の条件下では「標準」と呼ばれることがあります。たとえば、位置パラメーターが 0 でスケール パラメーターが 1 に等しい場合、正規分布は標準正規分布と呼ばれ、コーシー分布は標準コーシー分布と呼ばれます。

統計は、次の条件を満たす限り、スケールパラメータを推定するために使用できます。

• 場所に依存しない、
• スケールパラメータに応じて線形にスケールし、
• サンプルサイズが大きくなるにつれて収束します。

統計的分散のさまざまな尺度がこれらを満たします。統計をスケール パラメータの一貫した推定値にするには、一般に統計に一定のスケール係数を掛ける必要があります。このスケール係数は、必要なスケール パラメータを統計の漸近値で割って得られる値の理論値として定義されます。スケール係数は、問題の分布によって異なることに注意してください。

例えば、正規分布の標準偏差を推定するために中央絶対偏差（MAD）を使用するには、それに係数を掛ける必要があります。

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$

ここで、Φ ⁻¹は標準正規分布の分位関数（累積分布関数の逆関数）です。（詳細についてはMAD を参照してください。）つまり、MAD は正規分布の標準偏差の一貫した推定値ではありませんが、1.4826... MAD は一貫した推定値です。同様に、平均絶対偏差は、標準偏差の一貫した推定値にするために約 1.2533 を掛ける必要があります。母集団が正規分布に従わない場合は、標準偏差を推定するために異なる係数が必要になります。

• 中心傾向
• 不変推定量
• 位置パラメータ
• ロケーションスケールファミリー
• 平均保存スプレッド
• スケール混合物
• 形状パラメータ
• 統計的分散

• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974)。「VII.6.2スケール不変性」。統計理論入門（第 3 版）。ニューヨーク: McGraw-Hill。