中間投票者定理

ダンカン・ブラックによって開発された政治学と社会選択理論における中位有権者定理は、有権者と候補者が一次元のスペクトルに沿って分布し、有権者が単一のピークを持つ好みを持っている場合、多数決に適合する任意の投票方法では、中位有権者が好む候補者が選出されるということを述べています。

この定理は、1948年にダンカン・ブラックによって初めて提唱されました。^[1]彼は、投票が政治的決定を含む決定の結果をどのように決定するかに関して、経済理論に大きなギャップがあると書いています。ブラックの論文は、経済学が投票システムをどのように説明できるかについての研究を引き起こしました。1957年、アンソニー・ダウンズは著書『民主主義の経済理論』で中位投票者定理を詳しく説明しました。^[2]

関連する主張は以前（1929年）にハロルド・ホテリングによってなされており、彼は代表民主主義の政治家は中位有権者の視点に収斂すると主張した。 ^[3]これは彼の経済競争モデルに基づくものである。^{[3] [4]しかし、この主張は極めて単純化された投票モデルに依存しており、中位有権者の特性を満たす制度に部分的にしか適用できない。二大政党制であっても、}順位選択投票（RCV）や小選挙区制のような制度にはまったく適用できない。^{[5] [6] [注 1]}

中位有権者定理によれば、次元選挙では、中位有権者に最も近い候補者が多数派に好まれる（コンドルセ）候補者、つまり、他のすべての候補者よりも大多数の有権者が好む候補者である。

「1 次元」選挙では、候補者と投票者の意見は 1 次元のスペクトルに沿って分布し、投票者は候補者を近接度でランク付けします。つまり、投票者に最も近い候補者が第一候補、次に近い候補者が第二候補、というように順位付けされます。中間投票者定理によれば、中間投票者「M」に最も近い意見を持つ候補者「C」が、コンドルセ基準を満たす方法を使用して実施されるすべての選挙でコンドルセ勝者になります。特に、候補者が 2 人だけの場合、多数決システムがコンドルセ基準を満たします。複数の候補者による投票の場合、いくつかの方法がそれを満たします。

証明スケッチ:中間層の投票者をマーリーンとする。彼女に最も近い候補者が彼女の第一優先票を獲得する。この候補者がチャールズであり、彼が彼女の左側にいると仮定する。マーリーンと彼女の左側にいるすべての投票者 (定義により有権者の過半数) は、チャールズを彼の右側にいるすべての候補者よりも好み、マーリーンと彼女の右側にいるすべての投票者 (これも過半数) はチャールズを彼の左側にいるすべての候補者よりも好む。 ∎

• 好みは近い順に並べられるという仮定は、単に好みが単峰性であるというだけのものに緩和することができる。^[7]
• 意見が実数直線に沿っているという仮定は、より一般的な位相を許容するために緩和することができる。^[8]
• 空間 / 価数モデル:各候補者は空間内の位置に加えて価数(魅力) を持ち、投票者i が候補者j をv _j  –  d _ijの降順でランク付けするここで、 v _jはj の価数、 d _{ij は}iからjまでの距離です。この場合も、中央投票者定理が適用されます。つまり、コンドルセ方式では、中央投票者が投票した候補者が選出されます。

1 次元空間モデルのもとで、常に中間投票者に最も近い候補者を選出する投票方法は、「1 次元における中間投票者特性」を備えていると言えます。中間投票者定理を要約すると、すべてのコンドルセ法は 1 次元における中間投票者特性を備えていると言えます。

コンドルセ法はこの点では独特ではないことが判明した。クームズ法はコンドルセ法と整合的ではないが、それでも1つの次元で中央投票者の性質を満たしている。^[9]承認投票は、戦略的投票のいくつかのモデルにおいて同じ性質を満たしている。

投票者の分布のすべてに対して単一の一意の「中央値」はもはや存在しないため、中央投票者定理を1 次元以上の空間モデルに完全に一般化することは不可能です。ただし、いくつかの限定された条件下では、同様の定理を証明することは可能です。

この表はコンドルセ侯爵が示した選挙の例を示しており、彼はこれがボルダカウントに問題があると結論付けています。^{[10] ： 90} 左側のコンドルセの勝者はAで、Bより41:40、Cより60:21で好まれています。ボルダの勝者はBです。しかし、ドナルド・サーリは2次元でボルダカウント（コンドルセの勝者ではない）が中心に最も近い候補者（幾何中央値で決定）を正しく特定する例を構築しています。^[11]

この図は、投票用紙と一致する投票者と候補者の可能な配置を示しており、投票者は単位円の円周上に位置しています。この場合、A の平均絶対偏差は 1.15 ですが、B は 1.09 (C は 1.70) であり、B が空間的勝者となります。

したがって、2 つの異なる空間表現が 2 つの異なる最適な勝者を意味するという点で、選挙は曖昧です。これは、空間モデルに中央値メトリックを採用することで以前に回避しようとした曖昧さです。ただし、中央値メトリックは単一の次元では目的を達成しますが、その特性はより高い次元に完全には一般化されません。

この結果にもかかわらず、中央値投票定理は、ガウス分布など、すべての方向に同じ中央値を持つ回転対称の分布にも適用できます。投票者の分布がすべての方向に一意の中央値を持ち、投票者が候補者を近接順にランク付けする場合は常に、中央値投票定理が適用されます。つまり、中央値に最も近い候補者は、すべてのライバルよりも多数決で選ばれ、1つの次元で中央値投票特性を満たす任意の投票方法で選出されます。^[12]

したがって、全方向中央値を持つ投票者分布の場合、すべての中央値投票方法は、任意の次元の空間で同じ特性を満たします。

すべての方向に中央値を持たない投票者分布を構築するのは簡単です。最も単純な例は、2 番目の図の 1、2、3 のように、直線上にない 3 つの点に限定された分布です。各投票者の位置は、特定の 1 次元投影セットの下で中央値と一致します。A、B、C が候補者の場合、「1」は ABC に投票し、「2」は BCA に投票し、「3」は CAB に投票し、コンドルセ サイクルが形成されます。これが、マッケルヴィー - スコフィールドの定理の主題です。

証明。図を見てください。灰色の円は円上に均一な投票者の分布を表し、M はすべての方向の中央値です。A と B を 2 人の候補者とし、A の方が中央値に近いとします。すると、A を B より上位にランク付けする投票者は、まさに赤い実線の左側 (つまり「A」側) にいる人たちです。A は B よりも M に近いので、中央値もこの線の左側にあります。

さて、M はすべての方向で中位なので、青い矢印で示した方向、つまり赤い実線に垂直な方向の特定のケースでは、1 次元の中位と一致します。したがって、青い矢印に垂直な赤い破線を M に引くと、投票者の半数がこの線の左側に位置すると言えます。しかし、この線自体が赤い実線の左側にあるため、投票者の半数以上が A を B より上位にランク付けすることになります。

唯一の全方向中央値が存在する場合は、それがコンドルセ投票方法の結果を決定します。同時に、幾何中央値は、優先順位選挙の理想的な勝者として識別できると言えます。したがって、この 2 つの関係を知ることが重要です。実際、すべての方向に中央値が存在する場合は常に (少なくとも離散分布の場合)、それは幾何中央値と一致します。

補題. 離散分布がすべての方向に中央値M を持つ場合、 M  に配置されていないデータ ポイントは、 A  –  M  –  A  ' が直線である  という特性を持つM の両側の  バランスの取れたペア ( A、 A ' ) でなければなりません (つまり、図の A  ₀  –  M  –  A  ₂のようではありません)。

証明この結果は1967年にチャールズ・プロットによって代数的に証明された。 ^[13]ここでは2次元における背理法による簡単な幾何学的証明を示す。

逆に、すべての方向でM を中線とする点の集合A _iがあるが、 M  と一致しない点は  バランスの取れたペアになっていないとします。この場合、この集合からMにある点とM の周りのバランスの取れたペアをすべて削除しても、M は  どの方向でも中線であることは変わりません。したがって、M は  全方向の中線のままです。

残っている点の数が奇数の場合、  点の大部分がその片側に位置するような線をMに簡単に引くことができますが、これはMの中央値特性と矛盾します。

数が偶数、たとえば 2 nの場合、任意の点から始めてM の周りを時計回りに順に点A  ₀、A _{1 、... とラベル付けできます (図を参照)。 θ を、} M  – A  _0からM  – A _nまで  の円弧がなす角度とします。次に、図のように θ < 180° の場合、 M を通る赤い破線に似た線を引くことができます  が、その線の大部分はその片側にあり、これもMの中央値の特性と矛盾します 。一方、 θ > 180° の場合は、ほとんどの点が反対側にあるため、同じことが当てはまります。また、 θ = 180° の場合、A  ₀とA _{n は}バランスの取れたペアを形成しますが、これは別の仮定と矛盾します。    

定理。離散分布がすべての方向に中央値M を持つ場合  、それはその幾何中央値と一致する。

証明. 任意の点Pから  バランスの取れたペアのデータ ポイント セット ( A、 A ' ) までの距離の合計は、長さA  –  P  –  A ' の合計です 。この形式の各長さは、直線の場合、 P がM  と一致するときのように、 P上で最小になります。 PからMにある任意のデータ ポイントまでの距離の合計は、 P  とM が一致するときに同様に最小になります。したがって、データ ポイントからP  までの距離の合計は、 P がMと一致するときに最小になります。

関連する観察は、ハロルド・ホテリングによって「最小差別化の原理」として論じられており、「ホテリングの法則」としても知られています。それは、次のことを述べています。

1. 候補者は選挙に勝つという目的のみでイデオロギー的な立場を選択する（実際の信念に基づくものではない）。
2. 中間投票者定理の他のすべての基準が満たされている（つまり、投票者はイデオロギー的距離によって候補者をランク付けする）、
3. 投票システムは中間投票者基準を満たしており、

すると、すべての政治家が中間層の有権者に収束する。特別なケースとして、この法則は、2 人の候補者のうち 2 人が選挙に参加し、それ以上の候補者が選挙に参加することが不可能またはありそうにない場合に適用される。これは、2 つの選択肢の間で単純多数決が成立すればコンドルセ基準が満たされるためである。

この定理は、1929年にホテリングによって初めて説明されました。^[4]実際には、これらの条件は現代のアメリカの選挙には当てはまりませんが、ホテリングの時代（イデオロギー的に多様な政党の閉鎖的な党員集会で選ばれた公に知られていない候補者が候補者だった時代）には当てはまっていた可能性があります。最も重要なことは、政治家が主要政党の候補者に選ばれるためには、しばしば挑戦者や競争者を含む予備選挙で勝たなければならないということです。その結果、政治家は予備選挙と一般選挙の中間層の有権者にアピールすることの間で妥協しなければなりません。同様の効果は、中間層の有権者定理を満たさない 選挙制度（多数決投票、予備選挙を伴う多数決、決選投票を伴う多数決、または順位付け決選投票（RCV））の下では、候補者が中間層の有権者に収束しないことを意味しています。^{[5] [14]}

この定理は、特定の投票システムの最適性（および最適性の限界）を明らかにする点で価値があります。

Valerio Dotti 氏は、より幅広い応用分野を指摘しています。

中央投票者定理は政治経済学の文献で非常に人気がありました。主な理由は、政治プロセスの他の特徴を抽象化して、投票人口のいくつかの特性と政策の結果との関係について検証可能な意味を導き出すために採用できるためです。^[12]

彼はこう付け加えた...

中間層の投票結果は、信じられないほど多様な問題に適用されてきました。例としては、所得格差と再分配政策への政府介入の規模の関係の分析（Meltzer and Richard、1981）、^[15]移民政策の決定要因の研究（Razin and Sadka、1999）、^[16]異なる種類の所得に対する課税の範囲の研究（Bassetto and Benhabib、2006）、^[17]などがあります。

• アローの不可能性定理
• マッケルヴィー・スコフィールドのカオス定理
• 中間メカニズム
• 順位投票
• 中間投票ルール

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• 中間投票者モデル