ローパスフィルター

ローパスフィルタとは、選択したカットオフ周波数よりも低い周波数の信号を通過させ、カットオフ周波数よりも高い周波数の信号を減衰させるフィルタです。フィルタの正確な周波数特性は、フィルタの設計によって異なります。オーディオ用途では、ハイカットフィルタまたはトレブルカットフィルタと呼ばれることもあります。ローパスフィルタは、ハイパスフィルタの補数です。

光学において、ハイパスとローパスは、光の周波数と波長のどちらを指すかによって意味が異なる場合があります。これは、これらの変数が反比例の関係にあるためです。ハイパス周波数フィルタはローパス波長フィルタとして機能し、その逆もまた然りです。このため、混乱を避けるために波長フィルタをショートパスとロングパスと呼ぶのが良い慣習であり、これらはハイパス周波数とローパス周波数に対応します。^{[ 1 ]}

ローパスフィルタには、オーディオで使用されるヒスフィルタなどの電子回路、アナログ-デジタル変換前の信号調整に使用されるアンチエイリアシングフィルタ、データセットを平滑化するデジタルフィルタ、音響バリア、画像のぼかしなど、さまざまな形態があります。金融などの分野で使用される移動平均演算は、ローパスフィルタの一種であり、他のローパスフィルタと同様の信号処理技術で分析できます。ローパスフィルタは、短期的な変動を除去し、長期的な傾向を残すことで、信号をより滑らかにします。

フィルタ設計者は、プロトタイプフィルタとしてローパスフィルタをよく使用します。ローパスフィルタとは、帯域幅とインピーダンスが1のフィルタです。目的のフィルタは、プロトタイプフィルタを目的の帯域幅とインピーダンスに合わせてスケーリングし、目的のバンド形状（ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ）に変換することによって得られます。

例

ローパスフィルタの例は、音響学、光学、電子工学の分野で見られる。

硬い物理的な障壁は、高周波の音を反射する傾向があり、音を伝達する際の音響ローパスフィルターとして機能します。別の部屋で音楽が流れている場合、低音は容易に聞こえる一方、高音は減衰されます。

同じ機能を持つ光フィルターは正しくはローパスフィルターと呼ぶことができるが、混乱を避けるために慣習的にロングパスフィルター（低周波数は長波長）と呼ばれる。 ^{[ 1 ]}

電圧信号用の電子式ローパスRCフィルタでは、入力信号の高周波成分は減衰されますが、RC時定数によって決まるカットオフ周波数以下の周波数帯域ではほとんど減衰しません。電流信号の場合も同様に、抵抗とコンデンサを並列接続した回路で動作します。（詳細は後述の電流分圧器を参照してください。）

電子ローパスフィルターは、サブウーファーやその他のタイプのスピーカーの入力に使用され、効率的に再生できない高音域を遮断します。無線送信機は、他の通信に干渉する可能性のある高調波放射を遮断するためにローパスフィルターを使用します。多くのエレキギターのトーンノブは、音の高音域を減らすために使用されるローパスフィルターです。積分器も、別の時定数ローパスフィルターです。 ^{[ 2 ]}

DSLスプリッタを備えた電話回線は、ローパスフィルタを使用してDSL信号とPOTS信号を分離し（逆の場合はハイパスフィルタを使用）、同じ一対のワイヤ（伝送チャネル）を共有します。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

ローパスフィルターは、アナログシンセサイザーやバーチャルアナログシンセサイザーによって生成されるサウンドの造形においても重要な役割を果たします。減算合成を参照してください。

ローパスフィルタは、サンプリング前のアンチエイリアシングフィルタとして、またデジタル-アナログ変換における再構成のために使用されます。

理想的なフィルターと実際のフィルター

1次（1極）ローパスフィルタのゲイン振幅周波数応答。*電力ゲイン*はデシベルで示されています（つまり、3 dBの低下は追加の ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$ 減衰）。角周波数は、ラジアン毎秒の単位で対数スケールで表示されます。

理想的なローパスフィルタは、カットオフ周波数より高い周波数を完全に除去し、それより低い周波数はそのまま通過させます。その周波数応答は矩形関数であり、ブリックウォールフィルタと呼ばれます。実際のフィルタに存在する遷移領域は、理想的なフィルタには存在しません。理想的なローパスフィルタは、周波数領域で信号を矩形関数で乗算するか、あるいはそれと同等に、時間領域でインパルス応答（ sinc関数）で畳み込むことによって、数学的に（理論的に）実現できます。

しかし、理想的なフィルタは、時間的に無限に広がる信号がなければ実現不可能であり、sinc関数のサポート領域が過去と未来のすべての時間に及ぶため、実際の進行中の信号に対しては一般的に近似する必要があります。したがって、畳み込みを実行するには、フィルタは無限の遅延、または無限の未来と過去に関する知識を持つ必要があります。これは、ゼロが過去と未来に拡張されていると仮定するか、より一般的には、信号を繰り返してフーリエ解析を使用することで、事前に記録されたデジタル信号に対して効果的に実現できます。

リアルタイムアプリケーション向けの実際のフィルタは、無限のインパルス応答を切り捨て、ウィンドウ処理することで有限のインパルス応答を作成し、理想的なフィルタを近似します。このフィルタを適用するには、信号を適度な時間遅延させる必要があり、これにより計算処理は未来を少しだけ「見る」ことができます。この遅延は位相シフトとして現れます。近似精度を高めるには、より長い遅延が必要です。

理想的なローパスフィルタを切り捨てると、ギブス現象によってリンギングアーティファクトが発生しますが、これはウィンドウ関数の選択によって軽減または悪化する可能性があります。実際のフィルタの設計と選択には、これらのアーティファクトを理解し、最小限に抑えることが含まれます。たとえば、sinc 関数を単純に切り捨てると、深刻なリンギングアーティファクトが発生しますが、エッジでより滑らかに減衰するウィンドウ関数を使用することで、これを軽減できます。^[⁵^]

応答時間

ローパスフィルタの時間応答は、単純なローパスRCフィルタの応答を解くことによって求められる。

キルヒホッフの法則を用いると、微分方程式^{[ 6 ]が得られる。}

v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}

ステップ入力応答例

もし私たちが許せば $v_{\text{in}}(t)$ 大きさの階段関数である $V_{i}$ すると、微分方程式の解は^{[ 7 ]となる。}

v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),

どこ $\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}}$ これはフィルタのカットオフ周波数です。

周波数応答

回路の周波数応答を特徴付ける最も一般的な方法は、そのラプラス変換^{[ 6 ]}伝達関数を求めることです。 $H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}$ 微分方程式のラプラス変換を行い、 $H(s)$ 私たちは

H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}

離散時間サンプリングによる差分方程式

上記のステップ入力応答を一定間隔でサンプリングすることにより、離散差分方程式が容易に得られる。 $nT$ どこ $n=0,1,...$ そして $T$ はサンプル間の時間です。連続する2つのサンプルの差を取ると、次のようになります。

v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})

解決する $v_{\rm {out}}(nT)$ 私たちは

v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}

どこ $\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

表記法を用いて $V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)$ そして $v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)$ 、そしてサンプリングした値を代入すると、 $v_{n}=V_{i}$ 差分方程式が得られます

V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}

エラー分析

差分方程式から再構成された出力信号を比較すると、 $V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$ ステップ入力応答に対して、 $v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})$ すると、正確な再構成（誤差0%）が可能であることがわかります。これは、時間不変入力に対する再構成出力です。ただし、入力が時間変動する場合、例えば、 $v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)$ このモデルは入力信号を、持続時間を持つ一連のステップ関数として近似します。 $T$ 再構成された出力信号にエラーが生じる。時間変動入力から生じるエラーは定量化が難しいが、 $T\rightarrow 0$ 。

離散時間実現

多くのデジタルフィルタは、低域通過特性を持つように設計されています。無限インパルス応答フィルタと有限インパルス応答フィルタ、およびフーリエ変換を用いたフィルタは、いずれも広く使用されています。

単純な無限インパルス応答フィルタ

無限インパルス応答ローパスフィルタの効果は、RCフィルタの時間領域における挙動を解析し、そのモデルを離散化することによって、コンピュータ上でシミュレーションすることができる。

右の回路図から、キルヒホッフの法則と静電容量の定義に従って、次の式が成り立つ。

どこ $Q_{c}(t)$ $は時刻t$ におけるコンデンサに蓄えられた電荷である。式Qを式Iに代入すると、 $i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$ 式Vに代入すると、

v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.

この方程式は離散化できます。簡単にするために、入力と出力のサンプルは、時間的に等間隔の時点で取得され、その間隔は $\Delta _{T}$ 時間。 $v_{\text{in}}$ 数列で表される $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ 、そして $v_{\text{out}}$ 数列で表される $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ これらは同じ時点に対応します。これらの置換を行うと、

x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.

項を並べ替えると、漸化式が得られる。

y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.

つまり、この単純なRCローパスフィルタの離散時間実装は指数加重移動平均である。

{\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha

定義により、平滑化係数は範囲内です $0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1$ $α$ の式は、サンプリング周期で表した等価時定数 $RCを与える。$ $\Delta _{T}$ 平滑化係数 $α$ 、

RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).

思い出すと

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

それで

RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},

$α$ と $f_{c}$ は、

\alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

そして

f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.

$α$ = 0.5の場合、 RC時定数はサンプリング周期に等しくなります。 $\alpha \;\ll \;0.5$ RC はサンプリング間隔よりもかなり大きく、 $\Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC$ 。

フィルタの再帰関係は、入力サンプルと直前の出力に基づいて出力サンプルを決定する方法を提供する。以下の擬似コードアルゴリズムは、一連のデジタルサンプルに対するローパスフィルタの効果をシミュレートする。

// 入力サンプルに基づいて、RC ローパスフィルタの出力サンプルを返します。 // 時間間隔dtと時定数RC関数lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := dt / (RC + dt) y[1] := α * x[1] iが2からnまで y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] yを返す

n個の出力それぞれを計算するループは、以下のようにリファクタリングできます。

iが2からnまで y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

つまり、あるフィルタ出力から次のフィルタ出力への変化は、前の出力と次の入力の差に比例します。この指数平滑化特性は、連続時間システムで見られる指数減衰と一致します。予想どおり、時定数RCが 増加すると、離散時間平滑化パラメータは $\alpha$ 減少し、出力サンプル $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ 入力サンプルの変化に対する反応が遅い $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ システムはより大きな慣性を持つ。このフィルタは無限インパルス応答（IIR）単極ローパスフィルタである。

有限インパルス応答

有限インパルス応答フィルタは、理想的な急峻カットオフ低域通過フィルタのsinc関数の時間領域応答を近似するように構築できます。歪みを最小限に抑えるには、有限インパルス応答フィルタは、無限の信号に対して無限の数の係数が作用します。実際には、時間領域応答は時間的に切り捨てる必要があり、多くの場合、簡略化された形状になります。最も単純なケースでは、移動平均を使用して、方形時間応答を得ることができます。^{[ 8 ]}

フーリエ変換

非リアルタイムフィルタリングの場合、ローパスフィルタを実現するために、通常は信号全体をループ信号として扱い、フーリエ変換を行い、周波数領域でフィルタリングした後、逆フーリエ変換を行います。時間領域フィルタリングアルゴリズムのO(n ^{2 )と比較して、必要な演算回数はO(n log(n))のみです。}

これはリアルタイムで行うことも可能です。その場合、信号を十分に遅延させて、より短い重複するブロックに対してフーリエ変換を実行します。

連続時間実現

\displaystyle \omega _{0}=1} — カットオフ周波数における、1次から5次までのバターワース低域通過フィルタのゲインのグラフ $\omega _{0}=1$ なお、傾きは20 n dB/decadeであり、 nはフィルタ次数です。

フィルタ回路には様々な種類があり、それぞれ周波数変化に対する応答が異なります。フィルタの周波数応答は一般的にボード線図で表され、カットオフ周波数と周波数ロールオフ率によって特徴づけられます。いずれの場合も、カットオフ周波数では、フィルタは入力電力を半分、つまり3dB減衰させます。したがって、フィルタの次数は、カットオフ周波数よりも高い周波数における追加減衰量を決定します。

例えば、一次フィルタは、周波数が2倍になるたび（1オクターブ上がるたび）に信号振幅を半分に減らします（つまり、電力は4分の1、つまり6 dB減少します）。より正確には、高周波数の極限では、電力ロールオフは10倍ごとに20 dBに近づきます。一次フィルタの振幅ボード線図は、カットオフ周波数より下では水平線、カットオフ周波数より上では対角線のように見えます。また、2つの直線領域の間を滑らかに遷移する「ニーカーブ」が2つの境界にあります。一次ローパスフィルタの伝達関数に極だけでなく零点もある場合、ボード線図は再び平坦になり、高周波の最大減衰値に達します。このような効果は、例えば、1極フィルタの周囲に入力信号がわずかに漏れることによって生じます。この1極1零点フィルタは、依然として一次ローパスフィルタです。極零点図とRC回路を参照してください。
2次フィルタは、高周波をより急峻に減衰させます。このタイプのフィルタのボード線図は、1次フィルタのものと似ていますが、減衰がより速い点が異なります。たとえば、2次バターワースフィルタでは、周波数が2倍になるたびに信号振幅が元のレベルの4分の1に減少します（つまり、電力は 1オクターブあたり12 dB、または10倍あたり40 dBずつ減少します）。他の全極2次フィルタは、Q値に応じて初期減衰率が異なる場合がありますが、最終的には1オクターブあたり12 dBという同じ減衰率に近づきます。1次フィルタと同様に、伝達関数の零点によって高周波漸近線が変化する場合があります。RLC回路を参照してください。
$3次以上のフィルタも同様に定義されます。一般に、 n$ 次全極フィルタの最終的な電力減衰率は、1オクターブあたり $6n$ dB（10倍あたり $20n$ dB）です。

バターワースフィルタでは、水平線を右方向に、対角線を左上方向に延長すると（関数の漸近線）、水平線より3 dB低いカットオフ周波数で交差します。バターワースフィルタ、チェビシェフフィルタ、ベッセルフィルタなど、さまざまな種類のフィルタは、それぞれ異なる形状のニーカーブを持っています。多くの2次フィルタには「ピーク」または共振があり、このピークで周波数応答が水平線より上になります。

「低域」と「高域」の意味、つまりカットオフ周波数は、フィルタの特性によって異なります。「ローパスフィルタ」という用語は、単にフィルタの応答特性の形状を指しているにすぎません。ローパスフィルタよりも低い周波数でカットオフするハイパスフィルタを構築することも可能です。両者の違いは、その応答特性にあります。電子回路は、マイクロ波周波数（1GHz以上）からそれ以上の周波数まで、あらゆる周波数範囲に対応できるように設計できます。

ラプラス表記法

連続時間フィルタは、そのインパルス応答のラプラス変換を用いて記述することも可能であり、複素平面におけるラプラス変換の極と零点のパターンを考慮することで、フィルタのすべての特性を容易に解析できる。（離散時間の場合も同様に、インパルス応答のZ変換を考慮することができる。）

例えば、1次ローパスフィルタは、ラプラス領域における連続時間伝達関数によって次のように表すことができます。

H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}

ここで、Hは伝達関数、sはラプラス変換変数 (複素角周波数)、τはフィルタ時定数である。 $\alpha$ はカットオフ周波数、Kは通過帯域におけるフィルタのゲインです。カットオフ周波数は時定数と次の関係にあります。

\alpha ={1 \over \tau }

電子ローパスフィルター

一次受動

RCフィルター

単純なローパスフィルタ回路は、負荷と直列に接続された抵抗と、負荷と並列に接続されたコンデンサで構成されます。コンデンサはリアクタンスを示し、低周波信号を遮断し、代わりに負荷を通過させます。高周波ではリアクタンスが低下し、コンデンサは実質的に短絡として機能します。抵抗と容量の組み合わせによって、フィルタの時定数が決まります。 $\tau \;=\;RC$ （ギリシャ文字のタウで表される）。ブレーク周波数（ターンオーバー周波数、コーナー周波数、カットオフ周波数とも呼ばれる、単位はヘルツ）は、時定数によって決定される。

f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}

または同等に（ラジアン毎秒）：

\omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}

この回路は、コンデンサが抵抗器を通して充電または放電するのに必要な時間を考慮することで理解できます。

低周波数では、コンデンサが入力電圧とほぼ同じ電圧まで充電されるのに十分な時間がある。
高周波では、入力信号の方向が切り替わる前にコンデンサが充電できる量はごくわずかです。出力の上下動は、入力信号の上下動のほんの一部に過ぎません。周波数が2倍になると、充電できる量は半分になります。

この回路を理解するもう一つの方法は、特定の周波数におけるリアクタンスの概念を用いることです。

直流電流（DC）はコンデンサを通過できないため、DC入力はマークされた経路から流れ出なければなりません。 $V_{\mathrm {out} }$ （コンデンサを取り外すのと同様の効果）。
交流電流（AC）はコンデンサを非常によく流れ、まるで導線を流れるのとほぼ同じくらいよく流れるため、AC入力はコンデンサを通って流れ出し、実質的に接地へと短絡する（コンデンサを単なる導線に置き換えた場合と同様）。

コンデンサは（上記のブロックやパス流体の説明のように）「オン／オフ」の二択ではありません。コンデンサは、この二つの極端な状態の間で変化しながら動作します。この変化は、ボード線図と周波数応答によって示されます。

RLフィルター

抵抗・インダクタ回路、すなわちRLフィルタは、電圧源または電流源によって駆動される抵抗器とインダクタで構成される電気回路である。一次RL回路は、1つの抵抗器と1つのインダクタで構成され、最も単純なタイプのRL回路である。

一次RL回路は、最も単純なアナログ無限インパルス応答電子フィルタの一つです。これは、電圧源によって直列に接続された抵抗器とインダクタ、または電流源によって並列に接続されたインダクタで構成されます。

二次受動

RLCフィルター

RLC回路（R、L、Cの文字は異なる順序でも可）は、抵抗器、インダクタ、コンデンサを直列または並列に接続した電気回路です。RLCという名称は、それぞれ抵抗、インダクタンス、静電容量を表す電気記号であることに由来します。この回路は電流の調和振動子を形成し、LC回路と同様に共振します。抵抗器の存在による主な違いは、回路に誘起された振動は、電源によって継続されない限り、時間とともに減衰していくことです。この抵抗器の効果は減衰と呼ばれます。抵抗器の存在は、共振周波数のピーク値をいくらか低下させます。実際の回路では、抵抗器が明示的に部品として含まれていなくても、ある程度の抵抗は避けられません。理想的な純粋なLC回路は、理論上の抽象化です。

この回路には多くの用途があります。さまざまなタイプの発振回路で使用されています。もう1つの重要な用途は、ラジオ受信機やテレビなどのチューニングで、周囲の電波から狭い周波数範囲を選択するために使用されます。この役割では、この回路は同調回路と呼ばれることがよくあります。RLC回路は、バンドパスフィルタ、バンドストップフィルタ、ローパスフィルタ、またはハイパスフィルタとして使用できます。RLCフィルタは2次回路として記述され、回路内の任意の電圧または電流は、回路解析で2次微分方程式で記述できます。

標準形式の2次ローパスフィルタ

伝達関数 $H_{LP}(f)$ 2次ローパスフィルタの特性は周波数の関数として表すことができる。 $f$ 式1に示すように、2次ローパスフィルタの標準形は次のようになります。

H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)

この方程式では、 $f$ は周波数変数です。 $f_{c}$ カットオフ周波数は、 $f_{FSF}$ は周波数スケーリング係数であり、 $Q$ は品質係数です。式1は、カットオフ値以下、カットオフ値付近、カットオフ値以上の3つの動作領域を表しています。各領域において、式1は次のように簡略化されます。

$f\ll f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx K$ 回路はゲイン係数で乗算された信号を通過させる。 $K$ 。
${\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}$ : $H_{LP}(f)=jKQ$ 信号は90°位相シフトされ、品質係数によって変更されます。 $Q$ 。
$f\gg f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}$ 信号は180°位相がずれ、周波数比の二乗で減衰します。この動作については、Jim Karki が「Active Low-Pass Filter Design」（Texas Instruments、2023 年）で詳しく説明しています。^{[ 9 ]}

周波数以上の減衰を伴う $f_{c}$ 2のべき乗で増加する最後の式は、2次ローパスフィルタを表します。周波数スケーリング係数 $f_{FSF}$ これは、フィルタのカットオフ周波数を、前述の定義に従うようにスケーリングするために使用されます。

高次パッシブフィルタ

高次の受動フィルタも構築可能です（3次フィルタの例については図を参照）。

3次ローパスフィルタ（カウアー型）。例えば、C ₂ =4/3ファラッド、R ₄ =1オーム、L ₁ =3/ 2ヘンリー、L ₃ =1/2ヘンリーの場合、フィルタはカットオフ周波数ω _c =1のバターワースフィルタになります。

第一反応活性

アクティブローパスフィルタは、アクティブ素子を追加することで、通過帯域内でゲインを調整できるアクティブフィルタを実現します。

図に示す演算増幅器回路において、カットオフ周波数（ヘルツ単位）は次のように定義される。

f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}