リスク回避

曲率が高いほど${\displaystyle u(c)}$リスク回避度が高いほど、期待効用関数は一意に定義されない（アフィン変換を除いてのみ定義される）ため、の2階微分だけではなく、これらの変換に関して一定に保たれる尺度が必要となる。${\displaystyle u(c)}$。そのような指標の一つに、経済学者のケネス・アローとジョン・W・プラットにちなんで名付けられたアロー・プラット絶対リスク回避度（ARA ） ^{[ 6 ] [ 7 ]}があり、絶対リスク回避係数とも呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle A(c)=-{\frac {u''(c)}{u'(c)}}}$

どこ${\displaystyle u'(c)}$そして${\displaystyle u''(c)}$は、 に関する1階および2階微分を表す。${\displaystyle c}$の${\displaystyle u(c)}$例えば、${\displaystyle u(c)=\alpha +\beta ln(c),}$それで${\displaystyle u'(c)=\beta /c}$そして${\displaystyle u''(c)=-\beta /c^{2},}$それから${\displaystyle A(c)=1/c.}$どのように${\displaystyle A(c)}$依存しない${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta ,}$したがって、アフィン変換${\displaystyle u(c)}$変更しないでください。

以下の表現はこの用語に関連しています。

• 指数関数的効用関数の形式${\displaystyle u(c)=1-e^{-\alpha c}}$絶対的リスク回避度が一定である（CARA）という点で独特である。${\displaystyle A(c)=\alpha }$cに関して定数である。
• 双曲線絶対リスク回避（HARA）は、実務で一般的に使用される最も一般的な効用関数のクラスです（具体的には、CRRA（一定相対リスク回避、下記参照）、CARA（一定絶対リスク回避）、および二次効用はすべてHARAを示し、数学的に扱いやすいためよく使用されます）。効用関数がHARAを示すのは、その絶対リスク回避が双曲線である場合です。

${\displaystyle A(c)=-{\frac {u''(c)}{u'(c)}}={\frac {1}{ac+b}}}$

この微分方程式の解（効用関数が示す挙動に影響を与えない加法的および乗法的定数項を省略した場合）は以下のとおりです。

${\displaystyle u(c)={\frac {(c-c_{s})^{1-R}}{1-R}}}$

どこ${\displaystyle R=1/a}$そして${\displaystyle c_{s}=-b/a}$.注意すると、${\displaystyle a=0}$これはCARAです。${\displaystyle A(c)=1/b=const}$、そして${\displaystyle b=0}$これはCRRA（下記参照）です。${\displaystyle cA(c)=1/a=const}$^{[ 8 ]}を参照。

• 絶対リスク回避度（DARA/IARA）の減少/増加は、以下の場合に発生します。${\displaystyle A(c)}$減少/増加している。上記のARAの定義を用いると、DARAについては次の不等式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\partial A(c)}{\partial c}}=-{\frac {u'(c)u'''(c)-[u''(c)]^{2}}{[u'(c)]^{2}}}<0}$

そしてこれは、${\displaystyle u'''(c)>0}$したがって、DARAは効用関数が正に歪んでいることを示唆している。つまり、${\displaystyle u'''(c)>0}$^{[ 9 ]}同様に、IARA は逆方向の不等式で導出することができ、負に歪んだ効用関数を許容するが、必須ではない (${\displaystyle u'''(c)<0}$DARAユーティリティ関数の例は次のとおりです。${\displaystyle u(c)=\log(c)}$、 と${\displaystyle A(c)=1/c}$、 その間${\displaystyle u(c)=c-\alpha c^{2},}$${\displaystyle \alpha >0}$、 と${\displaystyle A(c)=2\alpha /(1-2\alpha c)}$これは、IARAを示す二次効用関数を表すことになる。

• 実験的および経験的証拠は、絶対的リスク回避の低下とほぼ一致している。^{[ 10 ]}
• いくつかの実証研究が想定してきたこととは異なり、プリンシパル・エージェント関係におけるリスク分担を研究する場合、富はリスク回避の適切な代理変数ではない。${\displaystyle A(c)=-{\frac {u''(c)}{u'(c)}}}$DARAまたはIARAのいずれにおいても富に対して単調であり、CARAの場合には富に対して一定であるが、絶対的リスク回避の代理変数として富に依存する契約上のリスク共有のテストは通常​​特定されない。^{[ 11 ]}

アロー・プラットの相対的リスク回避度（RRA）または相対的リスク回避係数は次のように定義される^{[ 12 ]。}

${\displaystyle R(c)=cA(c)={\frac {-cu''(c)}{u'(c)}}}$。

^{単位が$ −1}であるARAとは異なり、RRAは無次元量であるため、普遍的に適用できます。絶対リスク回避と同様に、対応する用語として定常相対リスク回避（CRRA）および減少/増加相対リスク回避（DRRA/IRRA）が使用されます。この尺度の利点は、 cが変化するにつれて効用関数がリスク回避からリスク愛好に変化する場合でも、つまり効用がすべてのcに対して厳密に凸/凹ではない場合でも、依然としてリスク回避の有効な尺度であることです。定常RRAは減少ARAを意味しますが、その逆は必ずしも真ではありません。定常相対リスク回避の具体的な例として、効用関数${\displaystyle u(c)=\log(c)}$これはRRA = 1を意味します。

異時点間選択問題では、異時点間代替の弾力性を相対的リスク回避係数から切り離すことはしばしば困難である。等弾性効用関数

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\rho }-1}{1-\rho }}}$

一定の相対的リスク回避を示す${\displaystyle R(c)=\rho }$および異時点間代替の弾力性${\displaystyle \varepsilon _{u(c)}=1/\rho }$。 いつ${\displaystyle \rho =1,}$ロピタルの定理を用いると、これは対数効用u ( c ) = log cの場合に単純化され、貯蓄に対する所得効果と代替効果が正確に相殺されることが示される。

時間とともに変化する相対的リスク回避を考慮することができる。^{[ 13 ]}

リスク回避の変化の最も直接的な影響は、1つのリスク資産と1つのリスクフリー資産で構成されるポートフォリオを形成する文脈で生じます。^{[ 6 ] [ 7 ]}投資家が資産の増加を経験した場合、絶対リスク回避に比例してリスク資産に投資する資産の総額を減らし、相対リスク回避に比例してポートフォリオに占めるリスク資産の割合を減らします。したがって、経済学者は、非現実的な行動的影響を示すため、絶対リスク回避の増加を示す効用関数を使用することを避けます。

金融経済学のあるモデルでは、相対的リスク回避度の増加は、家計の貨幣保有が経済全体に与える影響を増大させる。言い換えれば、相対的リスク回避度が高ければ高いほど、貨幣需要ショックが経済に与える影響は大きくなる。^{[ 14 ]}

現代のポートフォリオ理論では、リスク回避は、投資家が追加のリスクを受け入れるために必要な追加の期待報酬として測定されます。投資家がリスク回避的である場合、複数の不確実な資産に投資しますが、不確実なポートフォリオの予測収益が不確実でないポートフォリオの予測収益よりも大きい場合にのみ、投資家は前者を好みます。^{[ 1 ]}ここでは、リスクと収益のスペクトルが重要であり、これは主にこの種のリスク回避から生じます。ここでは、リスクは投資収益の標準偏差、つまり分散の平方根として測定されます。高度なポートフォリオ理論では、さまざまな種類のリスクが考慮されます。これらは、n 番目の中心モーメントのn 乗根として測定されます。リスク回避に使用される記号は A または A _nです。

${\displaystyle A={\frac {dE(c)}{d\sigma }}}$

${\displaystyle A_{n}={\frac {dE(c)}{d{\sqrt[{n}]{\mu _{n}}}}}$

フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの効用定理は、リスク回避が行為者の効用関数にどのように影響するかを示すために用いられる別のモデルである。期待効用関数の拡張であるフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンモデルは、リスク回避を追加の変数としてではなく、公理として含んでいる。^{[ 15 ]}

ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンは、著書『ゲーム理論と経済行動』の中でこのモデルを初めて提唱した。^{[ 15 ]}基本的に、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、個人は資産の期待金銭価値ではなく、自身の期待効用を最大化しようとすると仮説を立てた。^{[ 16 ]}この意味での期待効用を定義するにあたり、二人は選好関係に基づく関数を開発した。そのため、個人の選好が4つの主要な公理を満たす場合、異なる結果をどのように重み付けするかに基づく効用関数を導き出すことができる。^{[ 17 ]}

このモデルをリスク回避に適用すると、この関数は、個人の勝ち負けの選好が期待効用関数にどのように影響するかを示すために使用できます。たとえば、20,000ドルの貯蓄を持つリスク回避的な個人に、30%の勝率で100,000ドルを賭ける選択肢が与えられた場合、貯蓄を失うことを恐れて賭けないかもしれません。しかし、これは従来の期待効用モデルでは意味を成しません。

${\displaystyle EU(A)=0.3(\$100,000)+0.7(\$0)}$

${\displaystyle EU(A)=\$30,000}$

${\displaystyle EU(A)>\$20,000}$

フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンモデルはこのシナリオを説明できる。選好関係に基づくと、特定の効用${\displaystyle u}$どちらの結果にも割り当てることができます。すると、関数は次のようになります。

${\displaystyle EU(A)=0.3u(\$100,000)+0.7u(\$0)}$

リスク回避型の人にとって、${\displaystyle u}$ これは、個人が2万ドルの貯蓄をそのままにしておくことを、潜在的に資産を10万ドルに増やすためにすべてを賭けるよりも好むことを意味する値に等しい。したがって、リスク回避的な個人の関数は次のようになる。

${\displaystyle EU(A)\prec \$20,000(貯蓄)}$

学校や遊び場などの子ども向けサービスは、リスク回避型の計画の焦点となっており、子どもたちは本来享受できたはずの活動から恩恵を受けることができなくなっている。多くの遊び場には衝撃吸収マットが設置されている。しかし、これらは頭を直接打った場合に子どもの命を救うことを目的としているだけで、本来の目的を達成していない。^{[ 29 ]}マットは高価であるため、他の方法で利用者に利益をもたらすための資源が少なくなり（例えば、子どもの家の近くに遊び場を建設し、そこへ向かう途中の交通事故のリスクを減らすなど）、人工的な表面を信頼して、子どもたちがより危険な行為を試みる可能性があると主張する人もいる。幼児教育アドバイザーのシーラ・セージは、「常に非常に安全な場所にいる子どもは、自分で問題を解決できる子どもではない。子どもにはある程度のリスクを取ることが必要だ…そうすれば、状況から抜け出す方法を知ることができる」と述べている。^{[ 30 ]}

学生を被験者としてテレビ番組「ディール・オア・ノー・ディール」のゲームをプレイさせた実験研究では、人々は典型的な行動実験室の匿名性よりも注目を浴びる環境の方がリスク回避的であることがわかりました。実験室での実験では、被験者は行動実験で一般的に用いられる標準的なコンピュータ化された実験室環境で意思決定を行いました。注目を浴びる実験では、被験者は生の観客、ゲームショーの司会者、ビデオカメラを含む模擬ゲームショー環境で選択を行いました。^{[ 31 ]}これに沿って、投資家の行動に関する研究では、投資家は電話ベースの取引からオンライン取引に切り替えた後、ますます投機的に取引するようになり^{[ 32 ] [ 33 ]}、投資家は中核的な投資を従来のブローカーに預け、資産のごく一部をオンラインでの投機に使う傾向があることがわかりました。^{[ 34 ]}