双曲線的な絶対的リスク回避

金融、経済、意思決定理論において、双曲的絶対リスク回避（HARA）^{[1] ：p.39、   [2] ：p.389、   [3] [4] [5] [6]は、数学的にモデル化したり経験的予測を得たりするのに特に便利な}リスク回避 のタイプを指します。これは具体的には、フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの効用関数の特性を指し、フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの効用関数は、通常、最終的な富（または何らかの関連変数）の関数であり、富の結果に対する意思決定者の満足度を表します。富の最終的な結果は、ランダム変数と意思決定の両方によって影響を受けます。意思決定者は、効用関数の 期待値を最大化するように意思決定（たとえば、ポートフォリオの配分など）を行うものと想定されています。

HARA 効用関数の注目すべき特殊なケースとしては、二次効用関数、指数効用関数、等弾性効用関数などがあります。

効用関数が双曲的絶対的リスク回避を示すのは、リスク許容 度（絶対的リスク回避の逆数）が富Wの線形関数である場合のみである。 ${\displaystyle T(W)}$ ${\displaystyle A(W)}$

${\displaystyle T(W)={\frac {1}{A(W)}}={\frac {W}{1-\gamma }}+{\frac {b}{a}},}$

ここで、A ( W ) は – U " ( W ) / U '( W )と定義されます。効用関数U ( W ) はこの特性を持ち、したがって次の形式を持つ場合にのみ HARA 効用関数となります。

${\displaystyle U(W)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {aW}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }}$

富とパラメータには制約があり、かつ となります。与えられたパラメータ化に対して、この制約により、の場合にW の下限が決まり、の場合にWの上限が決まります。 → 1 の極限ケースでは、ロピタルの法則により、効用関数は富に対して線形になります。 が 0 に近づく極限ケースでは、効用関数は対数になります。 ${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b+{\frac {aW}{1-\gamma }}>0.}$${\displaystyle \gamma <1}$${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle U(W)={\text{log}}(aW+b)}$

絶対的リスク回避度は、 （T '( W ) > 0と同等）減少しており、これはが有限で1未満の場合にのみ発生します。これは、投資可能な資金が増えるほど、投資家がリスク資産に投資する資金が増えることを意味するため、経験的に妥当なケースであると考えられます。 が正または負の無限大に近づくにつれて、絶対的リスク回避度は一定になり、 が1より大きく有限である場合に、絶対的リスク回避度が増加するという特にありそうもないケースが発生します。^[2]${\displaystyle A'(W)<0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

相対的リスク回避度はR ( W )= WA ( W )と定義され、 の場合は増加し、 の場合は減少し、 の場合は一定です。したがって、相対的リスク回避度は、 b > 0（ の場合）の場合は増加し、b = 0の場合は一定、b < 0（ の場合）の場合は減少します。^[2]${\displaystyle R'(W)>0}$${\displaystyle R'(W)<0}$${\displaystyle R'(W)=0}$${\displaystyle \gamma \neq 1}$${\displaystyle -\infty <\gamma <1}$

• 効用が線形（リスク中立の場合）となるのは、次の場合です。${\displaystyle \gamma =1}$
• 効用は、次の場合、二次関数となります（絶対リスク回避が増加するため、ありそうにないが数学的には非常に扱いやすいケース） 。${\displaystyle \gamma =2}$
• 絶対リスク回避度が一定である指数効用関数は、b = 1 の場合に発生し、負の無限大になります。${\displaystyle \gamma }$
• かつ の場合、電力効用関数が発生します。${\displaystyle \gamma <1}$${\displaystyle a=1-\gamma }$

• さらに、b = 0の場合、相対リスク回避度が一定である等弾性効用関数のより特殊なケースが発生します。

• 対数効用関数はが 0 に近づくにつれて発生します。${\displaystyle a=1}$${\displaystyle \gamma }$

• さらにb = 0の場合、相対リスク回避度が1に等しい一定のケース、つまりU ( W ) = log( W )が発生します。

すべての投資家が同じ指数を持つHARA効用関数を持っている場合、リスクフリー資産が存在する場合、2ファンドの貨幣分離定理が成立します。^[7]すべての投資家は、他のすべての投資家と同じ割合で利用可能なリスク資産を保有し、投資家のポートフォリオ行動は、リスク資産の集合ではなく、リスクフリー資産で保有されているポートフォリオの割合に関してのみ互いに​​異なります。

さらに、投資家がHARA効用関数を持ち、リスクフリー資産が利用可能である場合、投資家のリスクフリー資産とすべてのリスク資産に対する需要は初期の富に対して線形になります。^[7]

資本資産価格モデルでは、すべての投資家が同じ指数を持つHARA効用関数を持つ場合に限り、利用可能な資産とは無関係に、個々の投資家の効用関数と富のレベルに依存する代表投資家効用関数が存在する。代表効用関数は富の分配に依存し、代表効用関数を持つ単一の投資家がいるかのように市場行動を記述することができる。^[1]

状態依存証券の完全なセットでは、均衡における証券価格が初期の資産保有の分布に依存しないための十分な条件は、すべての投資家が、期間の初めの消費と期間の終わりの消費の間の同一の指数と同一の時間選好率を持つHARA効用関数を持っていることです。^[8]

離散時間動的ポートフォリオ最適化の文脈では、HARA効用下では、リスクフリー資産があり、資産収益の連続独立性がある場合、最適ポートフォリオ選択には部分的近視眼が伴う。つまり、現在の期間の最適なポートフォリオを見つけるためには、将来のリスクフリー収益以外の資産収益に関する将来の分布情報を知る必要はない。^[3]

資産収益が時間を通じて独立かつ同一に分布し、リスクのない資産の場合、リスク資産の割合は投資家の残存寿命とは無関係である。^{[1] ：ch.11}

資産収益の進化がブラウン運動によって記述され、時間の経過とともに独立かつ同一に分布し、リスクのない資産がある場合、唯一の最適な投資信託の需要に対する明示的な解を得ることができ、その需要は初期の資産に対して線形である。^[2]

• HARA 効用による消費節約問題の閉形式解