等弾性ユーティリティ

経済学では、効用に関する等弾性関数（等弾性効用関数、またはべき乗効用関数とも呼ばれる）は、消費や意思決定者が関心を持つその他の経済変数の観点から効用を表すために使用されます。等弾性効用関数は、双曲型絶対リスク回避の特殊なケースであると同時に、相対リスク回避が一定である唯一の効用関数のクラスであるため、CRRA効用関数とも呼ばれます。統計学では、同じ関数はボックス-コックス変換と呼ばれます。

それは

${\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\eta }-1}{1-\eta }}&\eta \geq 0,\eta \neq 1\\ \ln(c)&\eta =1\end{ケース}}}$

ここで、は消費、関連する効用、 はリスク回避的なエージェントにとって正の定数です。 ^[1]目的関数の加法定数項は最適な決定に影響を与えないため、分子の –1 は省略されることがあります（ただし、の極限ケースと数学的な一貫性を保ちたい場合は、–1 を残す必要があります。以下の特殊なケースを参照してください）。この族にはべき関数と対数関数の両方が含まれるため、べき対数効用と呼ばれることもあります。^[2]${\displaystyle c}$${\displaystyle u(c)}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \ln(c)}$

状況にリスクが伴う場合、効用関数はフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数として見られ、パラメータは相対的なリスク回避の度合いとなります。 ${\displaystyle \eta}$

等弾性効用関数は、双曲型絶対リスク回避(HARA) 効用関数の特殊なケースであり、潜在的なリスクを含む、または含まない分析で使用されます。

経済学と金融の文献では、 の真の値に関してかなりの議論があります。 の非常に高い値（一部のモデルでは最大50）^{[3] が}資産価格の動向を説明するために必要ですが、ほとんどの実験では、 が1よりわずかに大きい値でより一貫した動向が記録されています。たとえば、GroomとMaddison（2019）は、 の値が英国で1.5であると推定しました^[4] 。一方、Evans（2005）は、OECD加盟20か国でその値が約1.4であると推定しました^[5] 。所得の効用は、主観的幸福度調査を使用して推定することもできます。Layardら（2008）は、国内および国際的なそのような調査を6つ使用して、1.19から1.34の間の値を見つけ、合計推定値は1.19でした^{[6] 。}${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta}$

この効用関数は、相対的リスク回避度が一定であるという特徴がある。数学的には、これは が定数、具体的にはであることを意味する。理論モデルでは、これは意思決定が規模の影響を受けないという含意を持つことが多い。例えば、1つの無リスク資産と1つのリスク資産の標準モデルでは、相対的リスク回避度が一定であれば、リスク資産に最適に配置された富の割合は、初期の富のレベルとは無関係である。^{[7] [8]}${\displaystyle -c\cdot u''(c)/u'(c)}$${\displaystyle \eta}$

• ${\displaystyle \eta =0}$:効用はcに関して線形であるため、これはリスク中立性に対応します。
• ${\displaystyle \eta =1}$:ロピタルの法則により、 の極限は1になる:${\displaystyle u(c)}$${\displaystyle \ln c}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 1}{\frac {c^{1-\eta }-1}{1-\eta }}=\ln(c)}$

これは、の場合に極限値u ( c ) = ln c を使用する慣例を正当化します。${\displaystyle \eta =1}$

• ${\displaystyle \eta}$→ : これは無限のリスク回避のケースです。${\displaystyle \infty}$

• 等弾性関数
• 一定の代替弾力性
• 指数関数的効用
• リスク回避

• Wakker, PP (2008)「電力（CRRA）ユーティリティファミリーの特性の説明」Health Economics、17: 1329–1344。
• 等弾性効用を伴う消費節約問題の閉形式解