異なるリスクプロファイルに対する指数効用関数 経済学 と 金融 において 、 指数的効用は 効用関数 の特定の形式であり、 リスク （不確実性と呼ばれることもある）が存在する場合に便利であるため 、いくつかの状況で使用され、その場合には 期待効用 が最大化されます。正式には、指数的効用は次のように表されます。
あなた （ ｃ ） =
{
（ 1 −
e
− 1つの ｃ
）
/
1つの
1つの ≠ 0
ｃ
1つの = 0
{\displaystyle u(c)={\begin{cases}(1-e^{-ac})/a&a\neq 0\\c&a=0\\\end{cases}}}
ｃ
{\displaystyle c}
は、消費など、経済意思決定者がより多くを好む変数であり、 は リスク選好の度合い（ リスク回避 の場合は 、 リスク中立の場合は 、 リスク追求 の場合は）を表す定数です。 リスク回避 のみが許容される状況では 、式は と簡略化されることがよくあります 。
1つの
{\displaystyle a}
1つの > 0
{\displaystyle a>0}
1つの = 0
{\displaystyle a=0}
1つの < 0
{\displaystyle a<0}
あなた （ ｃ ） = 1 −
e
− 1つの ｃ
{\displaystyle u(c)=1-e^{-ac}}
上記の関数の加法項 1 は数学的には無関係であり、 c の非負値の範囲で関数の範囲を 0 から 1 の間に保つという美的特徴のためだけに (場合によっては) 含まれることに注意してください 。この項が無関係である理由は、効用の期待値を最大化することは、 選択変数に対して の期待値を最大化することと同じ結果をもたらすためです 。効用の期待値 (効用関数自体ではなく) は、 の基数 ではなく 順序で 解釈されるため、期待される効用値の範囲と符号は重要ではありません。
あなた （ ｃ ） = （ 1 −
e
− 1つの ｃ
）
/
1つの
{\displaystyle u(c)=(1-e^{-ac})/a}
あなた （ ｃ ） = −
e
− 1つの ｃ
/
1つの
{\displaystyle u(c)=-e^{-ac}/a}
指数効用関数は、双曲線型絶対リスク回避 効用関数
の特殊なケースです。
リスク回避特性 指数的効用は、 絶対リスク回避度が一定であること (CARA) を意味し、絶対リスク回避度係数は定数に等しくなります。
−
あなた ″
（ ｃ ）
あなた ′
（ ｃ ）
= 1つの 。
{\displaystyle {\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.}
例えば、 1つのリスク資産と1つの無リスク資産の標準モデル [1] [2] では、この特徴は、リスク資産の最適な保有は初期の富のレベルとは無関係であることを意味します。したがって、限界的には、追加の富はすべて無リスク資産の追加保有に割り当てられます。この特徴は、指数的効用関数が非現実的であると考えられる理由を説明しています。
数学的な扱いやすさ 一定の 相対的 リスク回避度 (CRRA) を示す等 弾性効用 の方が (絶対的リスク回避度が減少する他の効用関数と同様に) より妥当であると考えられていますが、指数効用は多くの計算で特に便利です。
消費例 たとえば、消費 c が労働供給 x とランダム項 の関数であるとします : c = c ( x ) + 。指数効用の下では、 期待効用は 次のように表されます:
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
え
（ あなた （ ｃ ） ） =
え
[ 1 −
e
− 1つの （ ｃ （ x ） + ϵ ）
] 、
{\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}
ここでEは 期待値 演算子である。 正規分布の ノイズ、すなわち
ε 〜 いいえ （ μ 、
σ
2
） 、
{\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}
E( u ( c ))は、次の事実を使って簡単に計算できる。
え
[
e
− 1つの ε
] =
e
− 1つの μ +
1つの
2
2
σ
2
。
{\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}} 。}
したがって
え
（ あなた （ ｃ ） ） =
え
[ 1 −
e
− 1つの （ ｃ （ x ） + ϵ ）
] =
え
[ 1 −
e
− 1つの ｃ （ x ）
e
− 1つの ε
] = 1 −
e
− 1つの ｃ （ x ）
え
[
e
− 1つの ϵ
] = 1 −
e
− 1つの ｃ （ x ）
e
− 1つの μ +
1つの
2
2
σ
2
。
{\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E} }[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}
マルチアセットポートフォリオの例 最終資産 W の期待指数効用を最大化する ポートフォリオ配分問題 を考える 。
え
[ −
e
− 1つの わ
]
{\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}
わ =
x ′
r + （
わ
0
−
x ′
け ） ⋅
r
ふ
{\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}
ここで、プライム記号は ベクトルの 転置を 示し、は 初期資産、 xは n個の リスク資産 に配分された量の列ベクトル、 r は n個の資産の 確率的 収益 の ランダムベクトル 、 k は1のベクトル（ リスクフリー資産に配分された量も同様）、 r f はリスクフリー資産の既知のスカラー収益です。さらに、確率ベクトル r が 正規分布に従う と仮定します。すると、期待効用は次のように表すことができます。
わ
0
{\displaystyle W_{0}}
わ
0
−
x ′
け
{\displaystyle W_{0}-x'k}
え
[ −
e
− 1つの わ
] = −
え
[
e
− 1つの [
x ′
r + （
わ
0
−
x ′
け ） ⋅
r
ふ
]
] = −
e
− 1つの [ （
わ
0
−
x ′
け ）
r
ふ
]
え
[
e
− 1つの ⋅
x ′
r
] = −
e
− 1つの [ （
わ
0
−
x ′
け ）
r
ふ
]
e
− 1つの ⋅
x ′
μ +
1つの
2
2
σ
2
{\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}
ここで、 はベクトル r の平均ベクトルであり、は 最終富の分散である。これを最大化することは、最小化することと同等である。
μ
{\displaystyle \mu}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
e
1つの
r
ふ
（
x ′
け ） − 1つの ⋅
x ′
μ +
1つの
2
2
σ
2
、
{\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},}
これは、
x ′
（ μ −
r
ふ
⋅ け ） −
1つの 2
σ
2
。
{\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.}
r の 共分散行列を V と 表すと 、最終的な富の分散 は と表すことができます。したがって、リスク資産に配置する量の選択ベクトル x に関して、次の値を最大化したいと考えています 。
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
x ′
五 x
{\displaystyle x'Vx}
x ′
（ μ −
r
ふ
⋅ け ） −
1つの 2
⋅
x ′
五 x 。
{\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}
これは行列計算 における簡単な問題であり 、その解は
x
∗
=
1 1つの
五
− 1
（ μ −
r
ふ
⋅ け ） 。
{\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}
このことから、(1) リスク資産の保有量 x *は初期資産 W 0の影響を受けないという非現実的な性質、(2)リスク回避パラメータ a が大きいほど各リスク資産の保有量が少なくなる （直感的に予想される通り）ことがわかります。このポートフォリオの例は、指数的効用の2つの重要な特徴、すなわち同時正規性の下での扱いやすさと、一定の絶対リスク回避という特徴による現実性の欠如を示しています。
参照
参考文献
^ Arrow, KJ (1965). リスク回避の理論 . ヘルシンキ: Yrjo Jahnssonin Saatio. Essays in the Theory of Risk Bearing 、Markham Publ. Co.、シカゴ、1971、90–109 に再録。 ^ Pratt, JW (1964). 「中小企業と大企業におけるリスク回避」 Econometrica . 32 (1–2): 122–136. doi :10.2307/1913738. JSTOR 1913738.
![{\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc75ea065bb871a86233084d32fbe74f65b311c)
![{\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}} 。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ba7e25ff14c6996dcaad9fdf275f5d35f7b7dd)
![{\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E} }[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f154e08101c857db67724f3b91d4c10c21d05db)
![{\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdb9f6d343152a89738448773b71eed9c86d57e)
![{\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28690e8987612f54a50f88d9cd5428327b55f00)
