平均保存スプレッド

確率と統計において、平均保存スプレッド（MPS）^[1]とは、ある確率分布Aから別の確率分布Bへの変化であり、Bは、平均（期待値）を変えずに、Aの確率密度関数または確率質量関数の1つ以上の部分を拡散することによって形成される。したがって、平均保存スプレッドの概念は、リスクの度合いに応じて、等平均ギャンブル（確率分布）の確率的順序付けを提供する。この順序付けは部分的であり、つまり、2つの等平均ギャンブルのうち、どちらかが他方の平均保存スプレッドであるとは限らないことを意味する。分布Aは、BがAの平均保存スプレッドである場合に、Bの 平均保存収縮であると言われる。

平均保存スプレッドによるギャンブルのランキングは、2 次確率優位性によるギャンブルのランキングの特殊なケースです。つまり、平均が等しいという特殊なケースです。B が A の平均保存スプレッドである場合、A は B に対して 2 次確率優位です。Aと B の平均が等しい場合は その逆が当てはまります。

B が A の平均保存スプレッドである場合、B の分散は A よりも高く、A と B の期待値は同一になります。ただし、分散は完全な順序付けであるのに対し、平均保存スプレッドによる順序付けは部分的であるため、逆は一般には当てはまりません。

この例は、平均保存スプレッドを持つために、確率マスのすべてまたは大部分が平均から離れる必要はないことを示しています。^[2] A が、およびに対して各結果 で 等しい確率を持つものとします。また、B が、、、および に対して各結果で等しい確率を持つものとします。ここで、B は、1% の確率のチャンクを 198 から 100 に移動し、49 の確率チャンクを 198 から 200 に移動し、次に 1 つの確率チャンクを 202 から 300 に移動し、49 の確率チャンクを 202 から 200 に移動することで、A から構築されています。この 2 つの平均保存スプレッドのシーケンスは、確率マスの 98% が平均 (200) に移動したという事実にもかかわらず、それ自体が平均保存スプレッドです。 ${\displaystyle 1/100}$${\displaystyle x_{Ai}}$${\displaystyle x_{Ai}=198}$${\displaystyle i=1,\dots ,50}$${\displaystyle x_{Ai}=202}$${\displaystyle i=51,\dots ,100}$${\displaystyle 1/100}$${\displaystyle x_{Bi}}$${\displaystyle x_{B1}=100}$${\displaystyle x_{Bi}=200}$${\displaystyle i=2,\dots ,99}$${\displaystyle x_{B100}=300}$

およびをギャンブル A および B に関連付けられたランダム変数とします。このとき、B が A の平均保存拡散となるのは、すべての値の に対して となるランダム変数 に対しての場合のみです 。ここで は「の分布が と等しい(つまり、「 と同じ分布を持つ」)」という意味です。 ${\displaystyle x_{A}}$${\displaystyle x_{B}}$${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E(z\mid x_{A})=0}$${\displaystyle x_{A}}$${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$

平均保存スプレッドは、A と B の累積分布関数 とによって定義することもできます。Aと B の平均が等しい場合、B が A の平均保存スプレッドであるためには、すべての実数 に対して、マイナス無限大から の領域がマイナス無限大から の領域より小さいか等しいことが必要です。ただし、ある では厳密な不等式となります。 ${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

これら両方の数学的定義は、平均が等しい場合の 2 次確率優位性の定義を再現します。

B が A の平均保存スプレッドである場合、凹型効用を持つすべての期待効用最大化者によって A が好まれることになります。逆もまた成り立ちます。A と B の平均が等しく、凹型効用を持つすべての期待効用最大化者によって A が好まれる場合、B は A の平均保存スプレッドです。

• 確率的順序付け
• リスク（統計）
• スケールパラメータ

• マスコレル、A.、ウィンストン、MD、グリーン、JR（1995）。ミクロ経済理論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 197–199。ISBN 0-19-510268-1– Google ブックス経由。