センターマニホールド

進化システムの数学において、中心多様体の概念はもともと退化した平衡の安定性を決定するために開発されました。その後、中心多様体の概念は数学的モデリングの基礎となることが認識されました。

中心多様体は、興味深い動作が中心多様体上で発生するため分岐理論において重要な役割を果たします。また、マイクロスケールの長時間ダイナミクスが、粗いスケールの変数を含む比較的単純な中心多様体に引き付けられることが多いため、マルチスケール 数学においても重要な役割を果たします。

土星の環は、中心多様体の幾何学的形状を多くとらえています。環の中の塵粒子は潮汐力の影響を受け、その特徴は「圧縮と伸張」です。この力は、粒子の軌道を環の中に圧縮し、環に沿って粒子を伸張し、環の半径の小さな変化を無視します。圧縮方向は安定多様体を定義し、伸張方向は不安定多様体を定義し、中立方向は中心多様体です。

土星の環は幾何学的には正確ですが、物理的な中心多様体とは 1 つの大きな違いがあります。ほとんどの力学系と同様に、環内の粒子は2 次法則に従います。軌道を理解するには、位置と速度/運動量変数をモデル化して、位相空間と呼ばれる接線多様体構造を与える必要があります。物理的に言えば、土星の環系の安定、不安定、中立多様体は、粒子の位置の座標空間を分割するのではなく、位相空間を類似して分割します。

中心多様体は、典型的には鞍点の集合として振る舞う。位置と速度のペアの中には、中心多様体に向かって進むものもあれば、中心多様体から遠ざかるものもある。小さな摂動によって、それらはランダムに押し出され、しばしば中心多様体から押し出される。しかし、中心多様体における不安定性に対する劇的な反例があり、ラグランジュのコヒーレント構造と呼ばれる。ボールの力を受けない剛体ダイナミクス全体が中心多様体である。 ^[1]

より洗練された例として、リーマン面の接バンドル上のアノソフフローが挙げられます。この場合、接空間は不安定バンドルと安定バンドルの 3 つの部分に非常に明確かつ正確に分割され、その間に中立多様体が挟まれます。

動的システムの中心多様体は、そのシステムの平衡点に基づいています。平衡の中心多様体は、急速に減少したり指数関数的に増加したりしない近くの軌道で構成されます。

数学的には、動的システムの平衡点を研究する際の最初のステップは、システムを線形化し、その固有値と固有ベクトルを計算することです。負の実部を持つ固有値に対応する固有ベクトル（および一般化固有ベクトルがある場合はそれ）は、安定した固有空間の基底を形成します。正の実部を持つ固有値に対応する（一般化）固有ベクトルは、不安定な固有空間を形成します。

代数的に、平衡点x ^*を中心に線形化された力学系とします。ヤコビ行列( D f )( x ^* )は、 3 つの主要な部分空間を定義します。 $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x} }$$

• 固有値が次を満たす一般化固有ベクトルによって張られる中心部分空間（より一般的には^[2]）。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}$ ${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$
• 固有値が（より一般的には）を満たす一般化固有ベクトルによって張られる安定部分空間。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda <0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$
• 不安定な部分空間、すなわち、固有値が（より一般的には）を満たす一般化固有ベクトルによって張られる空間。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

アプリケーションによっては、中心安定、中心不安定、サブ中心、低速、高速サブスペースなど、線形化方程式の 他の不変サブスペースが重要になる場合があります。

平衡点が双曲型（つまり、線形化のすべての固有値の実部がゼロでない）である場合、ハートマン・グロブマン定理は、これらの固有値と固有ベクトルが平衡点付近のシステムのダイナミクスを完全に特徴付けることを保証します。しかし、平衡点が実部がゼロの固有値を持つ場合、対応する（一般化された）固有ベクトルは中心固有空間を形成します。線形化を超えて、動的システムにおける非線形性または強制による摂動を考慮すると、中心固有空間は近くの中心多様体に変形します。^[3]

実部だけがゼロになるのではなく、固有値が正確にゼロになる場合（ボールの場合のように）、対応する固有空間はより具体的には遅い多様体を生み出します。中心（遅い）多様体上の動作は一般に線形化によって決定されないため、構築が難しい場合があります。

同様に、システム内の非線形性や強制力は、安定な固有空間と不安定な固有空間を近くの 安定多様体と近くの不安定な多様体に摂動させます。^{[4]これらの3種類の多様体は}、不変多様体 の3つのケースです。

線形化システムに対応して、非線形システムには不変多様体があり、それぞれは非線形システムの軌道の集合から構成されます。^[5]

• 安定部分空間に接し、同じ次元を持つ不変多様体は安定多様体です。
• 不安定多様体は不安定部分空間と同じ次元であり、不安定部分空間に接しています。
• 中心多様体は、中心部分空間と同じ次元を持ち、中心部分空間に接します。よくあることですが、中心部分空間の固有値が、実部だけがゼロではなく、すべて正確にゼロである場合、中心多様体はしばしば低速多様体と呼ばれます。

中心多様体存在定理は、右辺関数が（回連続的に微分可能）である場合、すべての平衡点において、少なくとも1つの^[6]が存在する有限サイズの近傍が存在することを述べています。${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r}$

• 唯一の安定多様体、${\displaystyle C^{r}}$
• 唯一の不安定多様体、${\displaystyle C^{r}}$
• そして（必ずしも一意ではない）中心多様体。${\displaystyle C^{r-1}}$

応用例では、非線形座標変換を正規形に変換することで、これら3つの多様体を明確に分離することができます。^[7]

不安定多様体が存在しない場合には、中心多様体がモデリングに関連することが多い。中心多様体出現定理によれば、近傍に留まるシステムのすべての解が指数関数的に急速に中心多様体上の何らかの解に近づくように近傍を選択できる。式では、何らかの速度βに対してである。^[8]この定理は、さまざまな初期条件に対して、システム全体の解が比較的低次元の中心多様体上の解に指数関数的に急速に減少することを主張している。 ${\displaystyle {\textbf {y}}(t)}$$${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{ as }}\quad t\to \infty }$$

3 番目の定理である近似定理は、 などの不変多様体の近似表現が、残差に対するシステムの微分方程式を として満たす場合、不変多​​様体は によって同じオーダーの誤差、つまりに近似されると主張しています。 ${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$${\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}$${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$

しかし、チューブやチャネル内の分散などの一部の応用では、無限次元の中心多様体が必要となる。 ^[9] 最も一般的で強力な理論は、オールバッハとワナーによって開発された。 ^{[10] [11] [12]}彼らは、潜在的に無限次元の安定多様体、不安定多様体、中心多様体を持つ、無限次元の非自律的な動的システムを扱った。さらに、彼らは多様体の定義を一般化し、中心多様体は となる固有値に関連付けられ、安定多様体は となる固有値に関連付けられ、不安定多様体は となるようにした。彼らは、非線形座標変換によって、これらの多様体の存在と中心多様体の出現を証明した。 ${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)}$${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

ポチェとラスムッセンは、このような無限次元の非自律系に対応する近似定理を確立した。 ^[13]

上で述べた既存の理論はすべて、特定の与えられた問題の不変多様体特性を確立しようとするものである。特に、与えられたシステムの不変多様体を近似する多様体を構築する。別のアプローチは、与えられたシステムを近似するシステムの正確な不変多様体を構築することである。これは逆理論と呼ばれる。その目的は、理論をより広範囲のシステムに有効に適用し、有効領域の誤差とサイズを推定することである。 ^{[14] [15]}

このアプローチは、数値モデリングにおいて確立された後方誤差解析と類似しています。

平衡の安定性はその多様体の「安定性」と相関しているので、中心多様体の存在は中心多様体上のダイナミクスに関する疑問を提起します。これは中心多様体の縮小によって分析され、いくつかのシステムパラメータ μ と組み合わせることで分岐の概念につながります。

低速多様体に関する Wikipedia のエントリには、さらに多くの例が示されています。

システムを検討する

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}$

原点における不安定多様体はy軸であり、安定多様体は自明な集合 {(0, 0)} である。安定多様体上にない任意の軌道は、何らかの実定数Aに対して の形の方程式を満たします。したがって、任意の実数Aに対して、 x > 0の曲線 と負のx軸 (原点を含む)をつなぎ合わせることで中心多様体を作成できます。 ^[16]さらに、すべての中心多様体はこの潜在的な非一意性を持っていますが、非一意性は変数の非物理的な複素数値でのみ発生することがよくあります。 ${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$

もう 1 つの例は、中心多様体が遅延微分方程式のパラメータで発生するホップ分岐をどのようにモデル化するかを示しています。厳密に言えば、遅延によりこの DE は無限次元になります。 ${\displaystyle a\approx 4}$ ${\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}$

幸いなことに、次元を有限に保つ次のトリックによって、このような遅延を近似することができます。中間変数 とを 使用して、時間遅延変数を定義し、近似します。 ${\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}$${\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}$${\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}$${\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}$

臨界値に近いパラメータについては、遅延微分方程式は次のように近似される。 ${\displaystyle a=4+\alpha }$

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}$

複素振幅 とその複素共役に関して、中心多様体は ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle {\bar {s}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}$

そして中心多様体上の発展は

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}$

この発展は、原点が に対して線形に不安定であることを示していますが、3次の非線形性により、古典的なホップ分岐の場合と同様に、近くのリミットサイクルが安定化されます。 ${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}$

• 不変多様体
• 安定した多様体
• ラグランジアンコヒーレント構造
• 通常双曲不変多様体

• Jack Carr (編)。「中心多様体」。Scholarpedia。
• チコーネ、カルメン（2010）。応用を伴う常微分方程式。応用数学テキスト（第2版）。ニューヨーク、NY：シュプリンガー。ISBN 978-0-387-35794-2。
• グッケンハイマー、ジョン、ホームズ、フィリップ（1997）、非線形振動、動的システム、ベクトル場の分岐、応用数学科学、第42巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90819-9、訂正第5刷。

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