閉包（トポロジー）

位相幾何学では、位相空間内の点のサブセットSの閉包は、 S内のすべての点とSのすべての極限点から構成されます。Sの閉包は、 Sとその境界の和集合として定義することも、S を含むすべての閉集合の共通部分として定義することもできます。直感的には、閉包はS内にあるか、 Sに「非常に近い」すべての点と考えることができます。 Sの閉包内にある点は、 Sの閉包点です。閉包の概念は、多くの点で内部の概念と双対です。

ユークリッド空間のサブセットとして、を中心とするすべての開球に の点(この点はそれ自身でもよい) が含まれる場合、は の閉包点です。${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

この定義は、距離空間の任意の部分集合に一般化されます。完全に表現すると、距離 を持つ距離空間は、任意の に対して、距離(が許される )が存在する場合、の閉包点です。これを別の方法で表現すると、距離 が下限である場合、は の閉包点です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$${\displaystyle \inf}$

この定義は、「開いた球」または「球」を「近傍」に置き換えることで位相空間に一般化されます。 を位相空間のサブセットとすると、のすべての近傍に の点が含まれる場合、 は閉包点またはの付着点です(この場合も、に対してが許されます)。^[1]この定義は、近傍が開いている必要があるかどうかに依存しないことに注意してください。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle s\in S}$

集合 の閉包点の定義は、集合 の極限点の定義と密接に関連しています。2 つの定義の違いは微妙ですが重要です。つまり、集合 の極限点の定義では、 のすべての近傍に自体以外のの点が含まれていなければなりません。つまり、 の各近傍には明らかに がありますが、が の極限点であるためにはと等しくないの点も含まれている必要があります。定義において、の極限点はの閉包点よりも厳しい条件を持ちます。集合のすべての極限点の集合はの導出集合と呼ばれます。集合 の極限点は、集合の クラスター点または集積点とも呼ばれます。${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

したがって、すべての極限点は閉包点ですが、すべての閉包点が極限点であるわけではありません。極限点ではない閉包点は孤立点です。言い換えると、点がの孤立点とは、その点が の元であり、 の近傍にその点以外の の点が存在しない点のことです。[ 2 ^]${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

与えられた集合と点に対して、 がの閉包点となるのは、 がの元であるか、 がの極限点である場合（あるいはその両方である場合）に限ります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

によって表される、あるいは(が理解されていれば)によって表される位相空間の部分集合の閉包(ただし、と の両方が文脈から明らかな場合はまたは(さらに、はと大文字で表記されることもある)) は、次の同等の定義のいずれかを使用して定義できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$${\displaystyle S{}^{-}}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、閉包点の集合である。${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、そのすべての極限点を伴う集合である。（ の各点はの閉包点であり、 の各極限点も の閉包点である。）^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$を含むすべての閉集合の共通部分である。${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、以下を含む最小の閉集合である。${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、その境界の和集合である。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、に収束するネット（値）が存在するすべての集合である。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

集合の閉包には以下の性質がある。^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は の閉じたスーパーセットです。${\displaystyle S}$
• 集合が閉じている場合、かつその場合のみ。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• が次の部分集合である場合${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• が閉集合である場合、 が含まれるのは、が含まれる場合のみである。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

時には上記の2番目または3番目の性質が位相閉包の定義として採用され、他の種類の閉包に適用した場合でも意味を持ちます（下記参照）。^[5]

第一可算空間（距離空間など）において、は、 内のすべての収束する点のシーケンスのすべての極限の集合です。一般的な位相空間の場合、このステートメントは、「シーケンス」を「ネット」または「フィルター」（位相におけるフィルターの記事で説明されているように） に置き換えても当てはまります。${\displaystyle \operatorname {cl} S}$${\displaystyle S.}$

これらのプロパティは、「closer」、「superset」、「intersection」、「contains/including」、「smallest」、「closed」を「interior」、「subset」、「union」、「contained in」、「largest」、「open」に置き換えた場合にも満たされることに注意してください。この件の詳細については、以下の closure 演算子を参照してください。

3 次元空間の球を考えてみましょう。この球によって暗黙的に 2 つの関心領域が作成されます。球自体とその内部 (開いた 3球と呼ばれます) です。球の内部と表面を区別すると便利なので、開いた 3 球 (球の内部) と閉じた 3 球 (開いた 3 球の閉包、つまり開いた 3 球に表面を加えたもの (球自体の表面)) を区別します。

位相空間では:

• 任意の空間では、。言い換えれば、空集合の閉包はそれ自身です。${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$
• あらゆる空間で${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

与えることと標準（メトリック）トポロジー： ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• が実数のユークリッド空間である場合、 となります。言い換えると、のサブセットとしての集合の閉包は です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,1]}$
• がユークリッド空間である場合、有理数集合の閉包は空間全体であり、が に稠密であると言う。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• が複素平面である場合、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• がユークリッド空間の有限部分集合である場合、（一般的な位相空間の場合、この性質はT ₁公理と同等である。）${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

実数の集合には、標準的なトポロジー以外のトポロジーを配置することができます。

• が下限位相を備えている場合、${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• すべての集合が閉じている（開いている）離散位相を考えると、${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• 空集合とそれ自身だけが閉じた（開いた）集合である自明な位相を考えると、${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

これらの例は、集合の閉包が基礎となる空間の位相に依存することを示しています。最後の 2 つの例は、次の特殊なケースです。

• 任意の離散空間では、すべての集合は閉じている（また開いている）ので、すべての集合はその閉包に等しい。
• 任意の非離散空間 では、唯一の閉集合は空集合とそれ自身であるため、空集合の閉包は空集合であり、のすべての空でない部分集合に対して が成り立ちます。言い換えると、非離散空間のすべての空でない部分集合は稠密です。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

集合の閉包は、どの空間で閉包を取るかによっても異なります。たとえば、が有理数集合で、ユークリッド空間によって誘導される通常の相対位相を持つ場合、は で閉じていると同時に開いています。これは、もその補集合も を含むことができないためです。は の下限になりますが、は無理数なのでには含められません。したがって、 には境界要素が に含まれないため、明確に定義された閉包はありません。ただし、代わりに を実数集合 と定義し、同じ方法で区間 を定義すると、その区間の閉包は明確に定義され、 以上のすべての実数からなる集合になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

集合 上の閉包作用素は、の冪集合を自身に写像したもので、クラトフスキー閉包公理 を満たす。位相空間が与えられた場合、位相閉包はに部分集合を写すことで定義される関数を誘導する。この関数では、 または という表記が代わりに使用される。逆に、 が集合 上の閉包作用素である場合、閉集合をを満たす部分集合と定義することで位相空間が得られる（したがって、これらの部分集合の 内の補集合は位相の開集合を形成する）。 ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S^{-}}$${\displaystyle \mathbb {c} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$${\displaystyle X}$

閉包演算子は内部演算子と双対であり、次のよう に表される。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

そしてまた

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

したがって、閉包作用素の抽象理論とクラトフスキー閉包公理は、集合をその補集合に置き換えることによって、内部作用素の言語に容易に翻訳することができる。${\displaystyle X.}$

一般に、閉包演算子は交差と交換しません。ただし、完全な距離空間では次の結果が成り立ちます。

部分集合が で閉じている場合、かつその場合に限ります。具体的には、 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• 空集合の閉包は空集合である。
• それ自体の閉鎖は${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• 集合の交差の閉包は常に集合の閉包の交差の部分集合です (ただし、等しい必要はありません)。
• 有限個の集合の和集合では、和集合の閉包と閉包の和集合は等しくなります。ゼロ集合の和集合は空集合であり、したがってこの文には、空集合の閉包に関する前述の文が特別なケースとして含まれています。
• 無限個の集合の和集合の閉包は必ずしも閉包の和集合と等しい必要はありませんが、常に閉包の和集合の スーパーセットになります。
  • したがって、2 つの閉集合の和集合が閉じているのと同じように、閉包は 2 項和集合にわたって分配されます。つまり、 ですが、無限個の閉集合の和集合が必ずしも閉じているとは限らないのと同じように、閉包は必ずしも無限個の和集合にわたって分配されるわけではありません。つまり、が無限のときは可能です。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$${\displaystyle I}$

かつが のサブスペースである場合（つまりがを誘導するサブスペース位相を備えている場合）、 で計算されるの閉包はの共通部分および で計算されるの閉包に等しくなります。 ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

がの稠密な部分集合であることは、 がの部分集合であることに限ります。が の真部分集合である 可能性は、例えばと を取ります。${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

が のサブセットである必要はなく、のみが常に保証されます。この 場合、 この包含は厳密になる可能性があります (たとえば、通常の位相、および^{[証明 1]}を考えてみましょう)。ただし、がの開サブセットに発生する場合は、等式が保持されます (との関係に関係なく)。 ${\displaystyle S,T\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$${\displaystyle S=(0,\infty )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

その結果、 が の任意の開被覆でが任意の部分集合である場合、 が成り立ちます。 なぜなら、 （ただし、 はすべて によって誘導される部分空間位相を備えている）すべての に対して が成り立つからです。 この等式は、 が多様体 で、開被覆内の集合が座標チャート の領域である場合に特に役立ちます。言葉で言えば、この結果は、任意の部分集合の における閉包は、の任意の開被覆の集合において「局所的に」計算でき、その後で結合できることを示しています。 このように、この結果は、部分集合がで閉じている場合、かつそれが「 で局所的に閉じている」場合に限るというよく知られた事実の類似物と見なすことができます。つまり、 が の任意の開被覆である場合、がで閉じている場合、かつそれがすべての に対してで閉じている場合に限るということです。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

位相空間間の関数が連続であるためには、共域のすべての閉部分集合の原像が領域内で閉じている必要がある。これは、明示的には、が閉部分集合であるときはいつでも、が閉であることを意味する。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y.}$

閉包演算子の用語では、 は、すべての部分集合に対して である場合に限り連続です。 つまり、部分集合の閉包に属する任意の要素が、の の閉包に必ず属する場合です。ある点がの場合に部分集合に近いと宣言すると、この用語によって、連続性のわかりやすい英語による説明が可能になります。 は、すべての部分集合に対して に近い点を に近い点に写像する場合に限り連続です。したがって、連続関数は、点と集合の間の「近さ」関係を（順方向に）保存する関数とまったく同じです。関数が連続であるのは、点が集合に近いときはいつでも、その点の像がその集合の像に近い場合です。同様に、が固定された特定の点で連続である場合に限り、 が部分集合に近いときはいつでもに近い場合です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

関数が（強く）閉写像であるための必要十分条件は、が の閉部分集合であるときはいつでもがの閉部分集合となることである。 閉包演算子の観点では、が（強く）閉写像であるための必要十分条件 は、すべての部分集合に対して が であるということである。同様に、が（強く）閉写像であるための必要十分条件は、すべての閉部分集合に対してが であるということである。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(C)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$${\displaystyle A\subseteq X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$${\displaystyle C\subseteq X.}$

閉包演算子は、次のように普遍矢印の観点から定義できます。

集合のべき集合は、が の部分集合である場合に、オブジェクトが部分集合で射が包含写像である半順序圏として実現できる。さらに、上の位相は包含関手を持つのサブカテゴリである。固定された部分集合を含む閉じた部分集合の集合は、コンマカテゴリと同一視できる。このカテゴリ (これも半順序) には、初期オブジェクトが存在する。したがって、包含によって与えられるからへの普遍的な矢印が存在する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I:T\to P.}$${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

同様に、 を含むすべての閉集合はに含まれる開集合に対応するので、の内部を終端オブジェクトとするに含まれる開部分集合の集合としてカテゴリを解釈することができる。${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$${\displaystyle A.}$

閉包のすべての特性は、この定義と上記のカテゴリのいくつかの特性から導き出すことができます。さらに、この定義は、すべてが普遍的な矢印の例であるため、位相閉包と他の種類の閉包（たとえば代数閉包）との類似性を明確にします。

• 付着点 – 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点
• 閉包代数 – 代数構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉じた正則集合、その内部の閉包に等しい集合
• 導来集合（数学）  – 集合のすべての極限点の集合
• 内部（位相）  – 与えられた集合の最大の開集合
• 集合の極限点 – 位相空間のクラスター点Pages displaying short descriptions of redirect targets

• ベイカー、クランプ W. (1991)、トポロジー入門、Wm. C. ブラウン出版社、ISBN 0-697-05972-3
• クルーム、フレッド H. (1989)、位相幾何学の原理、サンダース大学出版、ISBN 0-03-012813-7
• ジェミニャーニ、マイケル C. (1990) [1967]、初等位相学（第 2 版）、ドーバー、ISBN 0-486-66522-4
• ホッキング、ジョン G.; ヤング、ゲイル S. (1988) [1961]、トポロジー、ドーバー、ISBN 0-486-65676-4
• クラトフスキー、K. (1966)、トポロジー、第1巻、アカデミック・プレス
• パーヴィン、ウィリアム J. (1965)、一般位相幾何学の基礎、アカデミック プレス
• シューベルト、ホルスト（1968）、トポロジー、アリン＆ベーコン
• Zălinescu, Constantin (2002 年 7 月 30 日)。一般ベクトル空間における凸解析。リバーエッジ、ニュージャージー、ロンドン: World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。

• 「集合の閉包」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]