イジングモデル

物理学者エルンスト・イジングとヴィルヘルム・レンツにちなんで名付けられたイジングモデル（またはレンツ・イジングモデル）は、統計力学における強磁性の数学的モデルである。このモデルは、2つの状態（+1または-1）のいずれかを取ることができる原子「スピン」の磁気双極子モーメントを表す離散変数で構成される。スピンはグラフ、通常は格子（局所構造がすべての方向に周期的に繰り返される）に配置され、各スピンが隣接するスピンと相互作用できるようにする。一致する隣接スピンは、一致しない隣接スピンよりもエネルギーが低くなる。システムは最低エネルギーに向かう傾向があるが、熱がこの傾向を乱すため、異なる構造相が生じる可能性がある。このモデルにより、相転移を現実の単純化されたモデルとして識別できる。2次元正方格子イジングモデルは、相転移を示す最も単純な統計モデルの1つである。^[1]

イジング模型は物理学者ヴィルヘルム・レンツ （1920）によって発明され、彼はそれを学生のエルンスト・イジングに問題として与えた。1次元のイジング模型は、1924年の学位論文でイジング（1925）によって単独で解決された。^{[2]この模型には相転移がない。2次元正方格子のイジング模型ははるかに難しく、ずっと後になって}ラース・オンサーガー（1944）によって初めて解析的記述が与えられた。この模型は通常、転送行列法 によって解決されるが、より量子場の理論に関連した異なるアプローチも存在する。

4 次元を超えると、イジング モデルの相転移は平均場理論によって記述されます。1970 年代後半には、より大きな次元のイジング モデルもさまざまなツリー トポロジーに関して研究され、最終的には、任意の分岐比を持つ閉じたケイリー ツリー、つまりツリー ブランチ内の任意の大きな次元に対する、ゼロ フィールドで時間に依存しない Barth (1981) モデルの正確な解が得られました。このモデルの解は、消えない長距離スピン間相関と最近傍スピン間相関とともに、新しい珍しい相転移動作を示し、その可能性のある用途の 1 つとして大規模ニューラル ネットワークに関連していると考えられています。

外部場のないイジング問題は、組み合わせ最適化によって解決できるグラフ 最大カット（Max-Cut）問題として同等に定式化できます。

次元格子を形成する、各格子サイトのセットと隣接するサイト (たとえばグラフ)について考えます。各格子サイトには、サイトのスピンを表す離散変数 があります。スピン構成 は、各格子サイトへのスピン値の割り当てです。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k\in \Lambda }$${\displaystyle \sigma_{k}}$${\displaystyle \sigma _{k}\in \{-1,+1\}}$${\displaystyle {\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }}$

隣接する2つのサイトには相互作用があります。また、サイトには相互作用する外部磁場があります。配置のエネルギーはハミルトニアン関数で与えられます。${\displaystyle i,j\in \Lambda }$ ${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle j\in \Lambda }$ ${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle {\sigma }}$

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},}$$

ここで、最初の合計は隣接するスピンのペア（各ペアは1回ずつカウントされます）についてです。この表記は、サイトとが最も近い隣接サイトであることを示しています。磁気モーメントは で与えられます。上記のハミルトニアンの第2項の符号は、電子の磁気モーメントがそのスピンと反平行であるため、実際には正であるべきですが、慣例的に負の項が使用されていることに注意してください。^[3]配置確率は、温度の逆数を持つボルツマン分布で与えられます 。 ${\displaystyle \langle ij\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta \geq 0}$

$${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},}$$

ここで、正規化定数 ${\displaystyle \beta =1/(k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}}$$

は分配関数である。スピンの 関数（「観測可能」）は次のように表される。${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )}$$

の期待値（平均）値。 ${\displaystyle f}$

構成確率は、（平衡状態で）システムが構成の状態にある確率を表します。 ${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$

ハミルトニアン関数の各項のマイナス符号は慣例となっている。この符号規則を用いると、イジングモデルは相互作用の符号に従って分類することができる。i 、jのペア に対して、${\displaystyle H(\sigma )}$

すべての相互作用が強磁性であるか、またはすべてが反強磁性である場合、そのシステムは強磁性または反強磁性と呼ばれます。元のイジング モデルは強磁性であり、現在でも「イジング モデル」は強磁性イジング モデルを意味すると想定されることがよくあります。

強磁性イジングモデルでは、スピンは整列しようとします。つまり、隣接するスピンが同じ符号である構成の確率が高くなります。反強磁性モデルでは、隣接するスピンは反対の符号を持つ傾向があります。

H (σ)の符号規則は、スピン サイトj が外部フィールドとどのように相互作用するかも説明します。つまり、スピン サイトは外部フィールドと一列に並ぼうとします。

イジングモデルは、格子と相互作用する外部場がない場合、つまり格子Λ内の すべてのjに対してh  = 0の場合によく検討される。この簡略化を用いると、ハミルトニアンは

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

外部磁場がどこでもゼロ、つまりh  = 0 のとき、イジングモデルはすべての格子サイトでスピンの値を切り替える際に対称になります。ゼロ以外の磁場はこの対称性を破ります。

もう一つの一般的な単純化は、すべての最近傍 ⟨ ij ⟩ が同じ相互作用強度を持つと仮定することです。この場合、Λ内のすべてのi、  j のペアに対してJ _ij = Jと設定できます。この場合、ハミルトニアンは次のようにさらに単純化されます。

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

重み付き無向グラフ G の頂点集合 V(G)のサブセット S は、グラフ G の S とその相補サブセット G\S へのカットを決定します。カットのサイズは、S と G\S 間のエッジの重みの合計です。最大カットサイズは、S を変化させた場合、少なくとも他のカットのサイズになります。

グラフG上の外部場のないイジングモデルの場合、ハミルトニアンはグラフの辺E(G)上の次の和となる。

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$。

ここで、グラフの各頂点 i はスピン値 をとるスピンサイトです。与えられたスピン構成は、頂点の集合を2 つの-依存サブセット、つまりスピンが上向きのものとスピンが下向きのものに分割します。2つの相補的な頂点サブセットとを接続する -依存のエッジの集合を と で表します。重み付き無向グラフ G を二分するカットのサイズは次のように定義できます。 ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V(G)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V^{+}}$${\displaystyle V^{-}}$${\displaystyle \delta (V^{+})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V^{+}}$${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$${\displaystyle \delta (V^{+})}$

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

ここで、 はエッジの重みを表し、スケーリング 1/2 は同じ重みが二重にカウントされることを補正するために導入されます。 ${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$

アイデンティティ

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

ここで、第1項の合計は に依存しないので、を最小化することはを最小化することと同義である。このように辺の重みを定義すると、外部場のないイジング問題は、カットサイズ を最大化するグラフ最大カット問題 ^[4]に変換され、これは次のようにイジングハミルトニアンと関係している。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

このモデルについて尋ねるべき統計的な質問の多くは、スピンの数が多いという限界にあります。

• 典型的な構成では、スピンのほとんどは +1 または -1 ですか、それとも均等に分割されていますか?
• 任意の位置iでのスピンが 1 の場合、位置jでのスピンも 1 である確率はどれくらいでしょうか?
• βが変化すると相転移は起こりますか？
• 格子 Λ 上で、+1 スピンの大きなクラスターの形状のフラクタル次元はどれくらいですか?

イジングモデルで最も研究されているケースは、 d次元格子上の並進不変な強磁性ゼロ場モデル、すなわち、 Λ =  Z ^d、J _ij  = 1、h  = 0 です。

1924年の博士論文で、イジングはd = 1の場合のモデルを解きました 。これは、各サイトが左と右の隣接サイトとのみ相互作用する線形水平格子と考えることができます。1次元では、解は相転移を許しません。^[5]つまり、任意の正のβに対して、相関⟨σ _i σ _j ⟩は| i  −  j |で指数関数的に減少します。 $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

そして、システムは無秩序です。この結果に基づいて、彼はこのモデルはどの次元でも位相挙動を示さない と誤って結論付けました^{[要出典] 。}

イジングモデルは、2次元以上で 秩序相と無秩序相の間で相転移を起こします。つまり、βが小さい場合、システムは無秩序ですが、βが大きい場合、システムは強磁性秩序を示します。

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

これは1936年にルドルフ・パイエルスによって初めて証明され、^[6]現在パイエルスの議論と呼ばれるものを用いて証明されました。

磁場のない2次元正方格子上のイジング模型は、ラース・オンサガー （1944年）によって解析的に解かれた。オンサガーは、イジング模型の相関関数と自由エネルギーは、相互作用しない格子フェルミオンによって決定されることを示した。オンサガーは、 2次元模型の自発磁化の式を1949年に発表したが、導出は示さなかった。ヤン（1952年）は、オンサガーの研究に直接応えて1951年にセゲが証明したフレドホルム行列式の極限式を使用して、この式の最初の公開された証明を与えた。^[7]

イジングスピン相関（一般的な格子構造の場合）に対して、いくつかの相関不等式が厳密に導出されており、これにより数学者は臨界状態と臨界状態以外の両方でイジングモデルを研究できるようになりました。

格子上の 任意のスピンと部分集合が与えられたとき、次の不等式が成り立つ。${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,}$$

どこ。 ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle =\langle \prod _{j\in A}\sigma _{j}\rangle }$

の場合、特殊なケースの結果になります。 ${\displaystyle B=\emptyset }$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

これは、イジング強磁性体上のスピンが正に相関していることを意味します。これを直接応用すると、任意のスピンセットの磁化は任意の結合定数セットに対して増加します。 ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$${\displaystyle J_{B}}$

サイモン・リーブ不等式^[8]は、 （例えば箱の境界から切り離された） 任意の集合に対して、${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .}$$

この不等式はイジング模型の相転移の鋭さを証明するために使用できる。^[9]

この不等式は、イジング模型の表現を含む正相関パーコレーションモデルの一種に対して初めて証明された。これは、パーコレーション論（イジング模型を特別なケースとして含む）を用いて平面ポッツ模型の臨界温度を決定するのに用いられる。 ^[10]

デモクリトスが原子論を支持する論拠の 1 つは、氷が溶けて水になったり、水が蒸気に変わったりするなど、物質に見られる明確な相境界は原子によって自然に説明できるというものでした^[要出典]。彼の考えは、原子スケールの特性の小さな変化が、全体の動作の大きな変化につながるというものでした。他の人々は、物質は本質的に連続的であり、原子的ではなく、物質の大規模な特性は基本的な原子特性に還元できないと考えていました。

化学結合の法則は、19世紀の化学者にとって原子が実在するものであるということを明らかにしたが、物理学者の間では、20世紀初頭まで議論が続いた。原子論者、特にジェームズ・クラーク・マクスウェルとルートヴィヒ・ボルツマンは、ハミルトンのニュートンの法則の定式化を大規模システムに適用し、原子の統計的挙動が室温の気体を正しく記述することを発見した。しかし、古典的な統計力学は、液体と固体、さらには低温の気体のすべての特性を説明してはいなかった。

現代の量子力学が定式化されると、原子論はもはや実験と矛盾しなくなったが、これは原子論を超えた統計力学の普遍的な受容にはつながらなかった。 ジョサイア・ウィラード・ギブスは、力学法則から熱力学法則を再現するための完全な形式論を与えた。しかし、統計力学が疑わしいと考えられていた19世紀から、多くの誤った議論が生き残った。直感の欠陥は主に、無限統計システムの極限には有限システムには存在しない多くのゼロ-1法則があるという事実から生じた。つまり、デモクリトスが予想したように、パラメータの無限小の変化が、全体的な集合的な動作に大きな違いをもたらす可能性がある。

20 世紀初頭には、次のような議論に基づいて、分配関数では相転移を記述できないと考える人もいました。

1. パーティション関数は、すべての構成にわたるe ^{−β E}の合計です。
2. 指数関数はβの関数としてどこでも解析的です。
3. 解析関数の合計は解析関数です。

この議論は指数関数の有限和に当てはまり、有限サイズのシステムの自由エネルギーには特異点が存在しないことを正しく証明します。熱力学的限界にあるシステム (つまり、無限システム) の場合、無限和は特異点につながる可能性があります。熱力学的限界への収束は速いため、システムの有限サイズによって特異点が平滑化されているにもかかわらず、比較的小さな格子上で位相挙動がすでに明らかになります。

これはルドルフ・パイエルスによってイジング模型で 初めて確立されました。

レンツとイジングがイジング模型を構築した直後、パイエルスは二次元で相転移が起こることを明示的に示すことができました。

これを実行するために、彼は高温極限と低温極限を比較した。無限温度（β = 0）では、すべての構成の確率は等しい。各スピンは他のスピンから完全に独立しており、無限温度での典型的な構成を、プラス/マイナスが黒と白で表されるようにプロットすると、テレビの雪のように見える。無限温度ではないが高温の場合、隣接する位置の間に小さな相関関係があり、雪は少し固まる傾向があるが、画面はランダムな外観のままであり、黒または白の純粋な過剰はない。

過剰の定量的な尺度は磁化であり、これはスピンの平均値です。

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

前のセクションの議論に類似した偽の議論により、イジング モデルの磁化は常にゼロであることが証明されます。

1. あらゆるスピン構成は、すべてのスピンが反転した構成と等しいエネルギーを持ちます。
2. したがって、磁化Mを持つすべての構成に対して、磁化 − Mを持つ構成が等しい確率で存在します。
3. したがって、システムは磁化M の構成と磁化 − Mの構成で等しい時間を費やす必要があります。
4. したがって、平均磁化（全時間にわたって）はゼロになります。

以前と同様に、これは平均磁化が任意の有限体積でゼロであることを証明するだけです。無限のシステムの場合、変動によって、システムをほぼプラスの状態からほぼマイナスの状態へ、ゼロ以外の確率で押し上げることはできない可能性があります。

非常に高い温度では、磁化は無限大の温度の場合と同様にゼロになります。これを確認するには、スピン A とスピン B の相関 ε が小さく、B と C の相関が弱いものの、C は A とは独立している場合、A と C の相関量は ε ^{2のようになることに注意してください。距離}Lだけ離れた 2 つのスピンの場合、相関量は ε ^Lになりますが、相関が伝わる経路が複数ある場合、この量は経路の数だけ増加します。

d次元 の正方格子上の長さLのパスの数は、各ステップで進むべき場所の選択肢が 2 d 個あるためです。$${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$

総相関の境界は、2 つのポイントを結ぶすべてのパスを合計することによる相関への寄与によって与えられ、これは長さLのすべてのパスの合計を ε が小さいときにゼロになる値で割った 値によって上方に境界付けられます。 $${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$

低温 (β ≫ 1) では、構成は最低エネルギー構成、つまりすべてのスピンがプラスかマイナスになる構成に近くなります。パイエルスは、低温ですべてのスピンがマイナスの状態から始めて、ほとんどのスピンがプラスになる状態に変動することが統計的に可能かどうかを尋ねました。これが起こるためには、プラススピンの液滴が凝固してプラス状態を作ることができなければなりません。

マイナスの背景におけるプラススピンの液滴のエネルギーは、プラススピンとマイナススピンが互いに隣接する液滴の周囲 L に比例します。周囲が L の液滴の場合、面積は ( L  − 2)/2 (直線) と ( L /4) ^{2 (四角いボックス) の間のどこかになります。液滴を導入するための確率コストは}e ^{−β L}の係数を持ちますが、これは、周囲がLの液滴の総数を乗じた分割関数に寄与します。これは、長さLの経路の総数よりも少なくなります。 したがって、液滴からの合計スピン寄与は、各サイトに個別の液滴があることを許可して過剰にカウントした場合でも、次の式で上方に制限されます。 $${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$$${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

これはβが大きいときにゼロになります。βが十分に大きい場合、これは指数的に長いループを抑制し、長いループは発生しなくなり、磁化は-1から大きく変動することはありません。

そこでパイエルスは、イジング模型の磁化が最終的に超選択セクター、つまり有限の変動によって結び付けられていない分離された領域を定義することを確立しました。

Kramers と Wannier は、モデルの高温展開と低温展開が、自由エネルギーの全体的な再スケーリングまで等しいことを示すことができました。これにより、2 次元モデルの相転移点を正確に決定できるようになりました (唯一の臨界点があるという仮定の下で)。

オンサガーの解法の後、ヤンとリーは、温度が臨界温度に近づくにつれて分配関数が特異になる仕組みを調査しました。

このモデルの元々の動機は強磁性現象でした。鉄は磁性を持ち、一度磁化されると原子時間に比べて長期間磁化されたままになります。

19 世紀には、磁場は物質内の電流によるものだと考えられ、アンペールは永久磁石は原子の永久電流によって生じると仮定しました。しかし、ラーモアが示したように、古典的な荷電粒子の運動では永久電流を説明できませんでした。強磁性を持つためには、原子は古典的な電荷の運動によるものではない 永久磁気モーメントを持っている必要があります。

電子スピンが発見されると、磁性は多数の電子スピンがすべて同じ方向に向いていることによるものであることは明らかでした。磁石の片側の電子は反対側の電子と直接相互作用しないため、電子スピンがすべてどの方向を向いているかをどのように知るのかという疑問は当然でした。電子は隣の電子にしか影響を与えません。イジングモデルは、局所的な力のみを使用して、電子スピンの大部分が同じ方向に向くことができるかどうかを調べるために設計されました。

イジングモデルは、原子の運動の統計モデルとして再解釈することができます。運動エネルギーは運動量のみに依存し、位置は考慮しませんが、位置の統計は位置エネルギーのみに依存するため、ガスの熱力学は原子の各構成の位置エネルギーのみに依存します。

大まかなモデルは、時空を格子にして、各位置に原子が含まれているか含まれていないかのどちらかであると想像することです。配置の空間は独立したビットB _iの空間であり、各ビットは、位置が占有されているかどうかに応じて 0 または 1 になります。引力相互作用は、2 つの近くの原子のエネルギーを減らします。引力が最も近い隣接原子間のみにある場合、エネルギーは占有されている隣接ペアごとに -4 JB _i B _jだけ減少します。

原子の密度は化学ポテンシャルを加えることで制御できます。化学ポテンシャルは、原子を 1 つ追加するための乗法的な確率コストです。確率の乗法係数は、対数の加法項、つまりエネルギーとして再解釈できます。N 個の原子を含む構成の追加エネルギーは、μN によって変化します。原子を 1 つ追加することの確率コストは、exp(− βμ ) の係数です。

したがって、格子ガスのエネルギーは次のようになります。 $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}}$$

ビットをスピンの観点から書き換えると、${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}}$$

すべてのサイトに等しい数の隣接サイトがある格子の場合、これは磁場h = ( zJ  −  μ )/2 を持つイジングモデルです。ここで、z は隣接サイトの数です。

生物系では、格子ガスモデルの修正版が、細胞表面の受容体へのリガンドの結合、^{[11]鞭毛モーターへの}走化性タンパク質の結合、^[12] DNAの凝縮など、さまざまな結合挙動を理解するために使用されてきました。^[13]

脳内のニューロンの活動は統計的にモデル化できます。各ニューロンは、常にアクティブ（+）または非アクティブ（-）のいずれかです。アクティブなニューロンとは、特定の時間枠内で軸索に沿って活動電位を送信するニューロンであり、非アクティブなニューロンとは、送信しないニューロンです。

Jaynes の一般的なアプローチ^{[14] [15]}に続いて、Schneidman、Berry、Segev、Bialek による後の解釈^[16] は、神経活動の統計モデルは最大エントロピーの原理を使用して選択する必要があるため、Ising モデルはあらゆる神経機能モデルに有用であるというものです。ニューロンの集合が与えられた場合、各ニューロンの平均発火率を再現できる統計モデルは、各ニューロンに ラグランジュ乗数を導入します。ただし、このモデルの各ニューロンの活動は統計的に独立しています。1 つのニューロンが別 のニューロンと一緒に発火する (または発火しない) 傾向がある場合のペア相関を可能にするには、ペアごとのラグランジュ乗数を導入します。 ここで、は隣接するものに制限されません。この Ising モデルの一般化は、統計では二次指数二進分布と呼ばれることがあることに注意してください。このエネルギー関数は、値を持つスピンと、同じ値を持つ 2 つのスピンの確率バイアスのみを導入します。高次の相関は乗数によって制約されません。この分布からサンプリングされたアクティビティ パターンは、同じ平均アクティビティとペアワイズ相関を持つ他の分布と比較して、考えられる最も効率的なコーディング スキームでコンピューターに保存するために、最も多くのビット数を必要とします。つまり、イジング モデルは、ペアワイズ相関と 1 の平均数に制約があり、物理科学と社会科学の両方で頻繁に発生する、可能な限りランダムなビットで記述されるあらゆるシステムに関連しています。 $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$$${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$${\displaystyle J_{ij}}$

イジングモデルでは、いわゆるスピングラスも通常のハミルトニアンで記述できます。このハミルトニアンでは、S変数がイジングスピンを表し、J _{i,k は}ランダム分布から取られます。スピングラスの場合、典型的な分布は、確率pで反強磁性結合を選択し、確率 1 −  pで強磁性結合を選択します (ランダム結合イジングモデルとも呼ばれます)。これらの結合は、熱変動があっても固定または「クエンチ」されたままです。p  = 0 のときは、元のイジングモデルになります。このシステムは、それ自体で興味をそそる価値があります。特に、奇妙な緩和挙動につながる「非エルゴード」特性があります。関連する結合とサイト希釈イジングモデルも、特に 2 次元で多くの注目を集めており、興味深い臨界挙動につながります。^[17]${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$

イジングモデルはホップフィールドネットワークの開発に役立った。オリジナルのイジングモデルは平衡のモデルである。 1963年にロイ・グラウバーは、熱平衡に向かう過程（グラウバー動力学）として、時間の要素を加えて、時間とともに進化するイジングモデルを研究した。^[18] (中野薫、1971) ^{[19] [20]}および (甘利俊一、1972)、^{[21] は、}ヘブ学習則によってイジングモデルの重みを修正することを連想記憶のモデルとして提案した。同じアイデアは (ウィリアム・A・リトル [de]、1974) ^[22]によって発表され、ホップフィールドは1982年の論文でリトルの考えを引用した。

1975年に発表されたスピングラスのシェリントン・カークパトリックモデル^[23]は、ランダム初期化のホップフィールドネットワークです。シェリントンとカークパトリックは、SKモデルのエネルギー関数が多くの局所最小値を持つ可能性が高いことを発見しました。1982年の論文で、ホップフィールドはこの最近開発された理論を適用して、バイナリ活性化関数を持つホップフィールドネットワークを研究しました。^[24] 1984年の論文では、彼はこれを連続活性化関数に拡張しました。^[25]これは、統計力学によるニューラルネットワークの研究の標準モデルになりました。^{[26] [27]}

融解池はイジングモデルでモデル化できるが、海氷地形データは結果に大きく影響する。状態変数は単純な2次元近似では水か氷のどちらかの2値である。^[28]

1979年にクリザンの提案により、大規模なニューラルネット（例えば、ノードあたりまたは相互作用がある）に潜在的に関連のあるイジングモデルを調査するために、バース（1981）は、ガラス（1970）とジェリト（1979）の方法論を適用して、閉じたケイリー木（任意の大きな分岐比を持つ）上のイジングモデルの自由エネルギーの正確な解析式を取得し、外部磁場がゼロ（熱力学的限界）の場合に計算しました。 ${\displaystyle 10^{4}}$${\displaystyle 10^{5}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

ここで、は任意の分岐比（2 以上）、、、（最近接相互作用エネルギーを表す）であり、各ツリーブランチには k（熱力学的極限では→ ∞）世代があります（与えられた閉じたケイリーツリー図に示すように、閉じたツリーアーキテクチャを形成します）。最後の項の合計は、一様かつ急速に収束することが示され（つまり、z → ∞ の場合、有限のままです）、連続した単調な関数を生成し、2 以上の場合、自由エネルギーは温度 T の連続関数であることが確立されます。自由エネルギーをさらに分析すると、臨界温度で異常に不連続な 1 次導関数を示すことがわかります（Krizan、Barth & Glasser（1983）、Glasser & Goldberg（1983））。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\equiv \tanh J}$${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$

ツリー上のサイト間のスピン-スピン相関（一般には m と n）は、頂点（例えば A とその反射）、それぞれの隣接サイト（例えば B とその反射）、および 2 つのツリーの最上部と最下部の頂点に隣接するサイト間（例えば A と B）で考慮すると、遷移点を持つことが分かりました。これは、から決定できます。 ここで、は結合の数に等しく、は偶数の中間サイトを持つ奇数頂点についてカウントされたグラフの数（詳細な計算については引用された方法論と参考文献を参照）、は 2 値スピンの可能性から生じる多重度であり、分配関数はから導かれます。（注： はこのセクションで参照された文献と一致しており、上記および前のセクションで使用されているものと同等または同等です。 で値付けられています。）臨界温度は次のように与えられます 。$${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle {Z_{N}}}$${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle T_{C}}$$${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

このモデルの臨界温度は、分岐比とサイト間相互作用エネルギーによってのみ決定されます。この事実は、ニューロンの構造とその機能（相互作用エネルギーと分岐比をその遷移動作に関連付けるという点で）に直接関係している可能性があります。たとえば、睡眠状態と覚醒状態間のニューラルネットワークの活動の遷​​移動作（スピン-スピンタイプの相転移と相関している可能性があります）と、ニューロンの相互接続性（）および/または隣接間の相互作用（）の経時的な変化との関係は、このような現象をさらに実験的に調査するために提案された1つの可能な方法にすぎません。いずれにせよ、このイジングモデルでは、「長距離相関の安定性は、または の増加とともに増加する」 ことが確立されました。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$

このトポロジーでは、スピン-スピン相関は、端の頂点と、2 つのツリー (またはブランチ) が結合されている中央サイト (つまり、A と個別の C、D、または E の間) との間でゼロであることがわかりました。この動作は、k が増加するとリンクの数が指数関数的に増加する (端の頂点間) ため、スピン相関への寄与が指数関数的に減少しても、1 つのツリー内の端の頂点 (A) と結合されたツリー内の端の頂点 (Ā) などのサイト間の相関は有限のままである (臨界温度以上) ためであると説明されます。さらに、A と B は (その反射と同様に) ゼロではない相関も示すため、B レベルのサイト (A レベルを含む) は発火の同期を示す傾向がある「クラスター」と見なされる傾向があります。

比較として他の古典的なネットワーク モデルを検討した結果、閉じたケイリー ツリー上のイジング モデルは、スピン間相関がゼロでないローカル サイトと長距離サイトの両方を示し、同時に相関がゼロの中間サイトも示す最初の古典的な統計力学モデルであると判断されました。これは、検討当時の大規模なニューラル ネットワークにとって確かに重要な問題でした。このモデルの挙動は、イジング型の相互作用を持つ閉じたケイリー ツリー トポロジーを示す他の発散収束ツリー物理 (または生物) システムにも関連しています。このトポロジーは、イジング モデルに対するその挙動が正確に解決されているため無視すべきではなく、おそらく自然は、設計の多くのレベルでこのような単純な対称性を利用する方法を見つけているでしょう。

バース（1981）は、（1）古典的な大規模ニューラルネットワークモデル（同様の発散収束トポロジーを持つ）と（2）基礎となる統計的量子力学モデル（トポロジーに依存せず、基本的な量子状態に持続する）との間に相互関係がある可能性を早くから指摘していた。

閉じたケイリーツリーモデルから得られる最も重要な結果は、中距離相関がない場合でも長距離相関が発生することです。この結果は、他の古典的なモデルでは実証されていません。インパルス伝達の古典的な見方ではこの現象を説明できないことは、非常に基本的なレベルで根本的に新しい仮定を正当化するのに十分なほど重要であると多くの研究者によって引用されてきました (Ricciiardi と Umezawa、1967、Hokkyo 1972、Stuart、Takahashi、Umezawa 1978、1979)。脳内のゴールドストーン粒子またはボソン (Umezawa らによる) の (モデル化) は、基底状態で保存される量子数の長距離相関を実証していることは興味深いことです。閉じたケイリーツリーモデルでは、サイトのペアの基底状態だけでなく、個々のサイトの状態変数も長距離相関を示すことができます。

初期の神経物理学者（梅澤、クリザン、バースなど）の間では、古典的な神経モデル（統計力学的側面を含むものを含む）は、いつか量子物理学（量子統計的側面を含む）と統合される必要があるというのが自然で共通の信念でした。これは、化学の分野が歴史的に量子化学を介して量子物理学に統合されてきたのと似ているかもしれません。

閉じたケイリー木については、時間依存の場合や外部場の状況など、解決すべき興味深い統計力学的問題がいくつか残されており、また基礎となる量子構成要素とその物理との相互関係を理解することを目的とした理論的取り組みも残っています。

イジングモデルは、システム内に多くの状態がある場合、数値的に評価することが難しいことが多い。

L = |Λ|: 格子上のサイトの総数、

σ _j ∈ {−1, +1}: 格子上の個々のスピンサイト、j  = 1, ..., L、

S ∈ {−1, +1} ^L : システムの状態。

すべてのスピンサイトは±1スピンを持つため、2Lの異なる状態が可能^です。^{[29]これが、イジングモデルを}モンテカルロ法でシミュレートする理由です。^[29]

モンテカルロ法を使用する際にモデルのエネルギーを表すために一般的に使用されるハミルトニアンは次のとおり です。

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$$

さらに、ハミルトニアンは、外部場h がゼロであると仮定することでさらに簡略化されます。これは、モデルを使用して解決する必要がある多くの質問が、外部場が存在しない場合に回答できるためです。これにより、状態 σ の次のエネルギー方程式が導かれます。

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

このハミルトニアンが与えられれば、特定の温度における磁石の比熱や磁化などの興味深い量を計算できる。^[29]

メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムは、イジングモデルの推定値を計算するのに最も一般的に使用されるモンテカルロアルゴリズムです。^[29]このアルゴリズムは、まず選択確率 g (μ, ν) を選択します。これは、状態 μ にある場合に、アルゴリズムによってすべての状態の中から状態 ν が選択される確率を表します。次に、詳細なバランスが満たされるように、受け入れ確率A (μ, ν) を使用します。新しい状態 ν が受け入れられた場合、その状態に移動し、新しい状態を選択して受け入れることを繰り返します。ν が受け入れられない場合は、μ にとどまります。このプロセスは、何らかの停止基準が満たされるまで繰り返されます。イジングモデルの場合、これは多くの場合、格子が強磁性になったとき、つまりすべてのサイトが同じ方向を向いたときです。^[29]

アルゴリズムを実装する際、エルゴード性が満たされるようにg (μ, ν) が選択されるようにする必要があります。熱平衡では、システムのエネルギーは狭い範囲内でのみ変動します。^[29]これは、各遷移で格子上のスピンの 1 つのサイトのみを変更するという、シングル スピン フリップ ダイナミクスの概念^{[30]の背後にある動機です。 [29]} さらに、シングル スピン フリップ ダイナミクスを使用すると、2 つの状態間で異なる各サイトを 1 つずつ反転することで、任意の状態から他の任意の状態に移動できます。現在の状態のエネルギーH _μと、可能性のある新しい状態のエネルギーH _ν (シングル スピン フリップ ダイナミクスを使用) との間の最大変化量は、新しい状態に移動するために「反転」することを選択したスピンとそのスピンの隣接スピンの間で 2 Jです。^[29]したがって、各サイトが 2 つの隣接サイト (左と右) を持つ 1D Ising モデルでは、エネルギーの最大差は 4 Jになります。c を格子配位数、つまり任意の格子サイトが持つ最も近い隣接サイトの数を表すものとします。周期境界条件により、すべてのサイトが同じ数の隣接サイトを持つと仮定します。^[29]メトロポリス-ヘイスティングス アルゴリズムは、臨界減速のため、臨界点付近ではうまく機能しないことに注意することが重要です。臨界点付近でモデルを解くには、マルチグリッド法、Niedermayer アルゴリズム、Swendsen-Wang アルゴリズム、または Wolff アルゴリズムなどの他の手法が必要です。これは、システムの臨界指数を決定するための要件です。

特にイジングモデルの場合、シングルスピンフリップダイナミクスを使用すると、次のことが証明されます。格子上には合計L個のサイトがあるため、シングルスピンフリップを別の状態への唯一の遷移方法として使用すると、現在の状態 μ から合計L 個の新しい状態 ν が存在することがわかります。アルゴリズムでは、選択確率がL 個の状態に等しいと想定しています: g (μ, ν) = 1/ L。詳細なバランスから、次の式が成り立つことがわかります。

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

したがって、アルゴリズムの受け入れ確率は、

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

H _ν > H _μの場合、A (ν, μ) > A (μ, ν)。 Metropolis は、 A (μ, ν) またはA (ν, μ)の大きい方を 1 に設定します。この推論により、受け入れアルゴリズムは次のようになります。^[29]

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

アルゴリズムの基本的な形式は次のとおりです。

1. 選択確率g (μ, ν)を使用してスピン サイトを選択し、このスピンに関係するエネルギーへの寄与を計算します。
2. スピン値を反転し、新しい寄与を計算します。
3. 新しいエネルギーが少ない場合は、反転した値を保持します。
4. 新しいエネルギーがもっとある場合は、確率のみを維持する${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. 繰り返す。

エネルギーH _ν  −  H _μの変化は、スピンの値とそれに最も近いグラフの隣接要素にのみ依存します。したがって、グラフがあまり連結されていない場合、アルゴリズムは高速です。このプロセスにより、最終的に分布からの選択が生成されます。

イジングモデルをマルコフ連鎖として見ることも可能である。なぜなら、将来の状態 ν に遷移する即時の確率P _{β (ν) は現在の状態 μ のみに依存するからである。メトロポリスアルゴリズムは実際には}マルコフ連鎖モンテカルロシミュレーションの一種であり、メトロポリスアルゴリズムでは単一スピン反転ダイナミクスを使用しているため、すべての状態は正確にL 個の他の状態へのリンクを持つと見なすことができ、各遷移は単一のスピンサイトを反対の値に反転することに対応している。^[31]さらに、エネルギー方程式H _{σ の}変化は最近接相互作用強度Jのみに依存するため、イジングモデルとその変種であるSznajd モデルは、意見ダイナミクスの投票者モデルの一種と見なすことができる。

相互作用の減衰がα>1である限り、熱力学的限界が存在する。^[32]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$

• 1 < α < 2の強磁性相互作用の場合、ダイソンは階層的ケースとの比較により、十分に低い温度で相転移が起こることを証明した。^[33]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• 強磁性相互作用の場合、フレーリッヒとスペンサーは、十分に低い温度で相転移が起こることを証明した（階層的ケースとは対照的）。^[34]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$
• α＞2の相互作用の場合（有限範囲相互作用の場合を含む）、自由エネルギーは熱力学パラメータにおいて解析的であるため、任意の正の温度（すなわち有限β）での相転移は発生しない。 ^[32]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• 最近接相互作用の場合、E. イジングはモデルの正確な解を示した。任意の正の温度（すなわち有限β）では、自由エネルギーは熱力学パラメータで解析的であり、切断された2点スピン相関は指数関数的に急速に減少する。ゼロ温度（すなわち無限β）では、2次の相転移がある。自由エネルギーは無限大であり、切断された2点スピン相関は減少しない（一定のままである）。したがって、T = 0はこの場合の臨界温度である。スケーリング式は満たされる。^[35]

最近傍の場合（周期的または自由境界条件付き）は、正確な解が得られます。自由境界条件付き Lサイトの格子上の 1 次元イジング モデルのハミルトニアンは、 Jとh は任意の数です。この簡略化されたケースでは、J は最近傍間の相互作用の強さを表す定数で、 hは格子サイトに適用される一定の外部磁場です。すると、 自由エネルギーは 、スピン間相関（つまり共分散）は、 C (β) とc (β) は、 T > 0 の場合の正の関数です。ただし、 T → 0 の場合、逆相関長c (β) はゼロになります。 $${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},}$$$${\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),}$$$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},}$$

この結果の証明は簡単な計算です。

h = 0の場合、自由境界条件の場合の自由エネルギーを得るのは非常に簡単です。つまり、 モデルは変数変換の下で因数分解されます。 $${\displaystyle H(\sigma )=-J\left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}\right).}$$$${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.}$$

これにより $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.}$$

したがって、自由エネルギーは

$${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$$

同じ変数の変更で

$${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},}$$

したがって、 T ≠ 0になるとすぐに指数関数的に減少します。ただし、 T = 0、つまり β → ∞ の極限では減少はありません。

h ≠ 0の場合、転送行列法が必要です。周期境界条件の場合、次のようになります。パーティション関数は、 係数は行列のエントリとして見ることができます。さまざまな選択肢があります。便利なのは (行列が対称であるため) または です。 行列形式で は、 λ _1はVの最も高い固有値、 λ _{2 は}他の固有値です。 また、 |λ ₂ | < λ ₁です。これにより、自由エネルギーの式が得られます。 $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.}$$${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$$${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$$$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],}$$$${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},}$$

すべてのスピンが同じ場合、最低状態のエネルギーは − JLです。その他の構成では、余分なエネルギーは、構成を左から右にスキャンするときに発生する符号変化の数の 2 J倍に等しくなります。

ある構成における符号変化の数をkとすると、最低エネルギー状態からのエネルギー差は 2 kです。エネルギーは反転の数に応じて加算されるため、各位置でスピン反転が発生する確率pは独立しています。反転が発生する確率と反転が発生しない確率の比がボルツマン因子です。

$${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.}$$

この問題は、独立した偏りのあるコイン投げに帰着します。これにより、数学的な記述は本質的に完了します。

独立したトスに関する説明から、長い直線のモデルの統計を理解できます。直線はドメインに分割されます。各ドメインの平均長さは exp(2β) です。ドメインの長さは指数的に分布します。これは、どのステップでも反転が発生する確率が一定であるためです。ドメインが無限になることはないため、長いシステムが磁化されることはありません。各ステップでは、スピンとその隣接スピン間の相関がpに比例する量だけ減少するため、相関は指数的に減少します。

$${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.}$$

パーティション関数は構成のボリュームであり、各構成はボルツマン重みによって重み付けされます。各構成は符号の変化によって記述されるため、パーティション関数は次のように因数分解します。

$${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.}$$

対数をLで割ったものが自由エネルギー密度です。

$${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),}$$

これはβ = ∞から解析的に離れています。相転移の兆候は非解析的自由エネルギーであるため、1次元モデルには相転移はありません。

スピンの量子力学的記述を用いてイジングハミルトニアンを表現するには、スピン変数をそれぞれのパウリ行列に置き換えます。しかし、磁場の方向に応じて、横方向のハミルトニアンまたは縦方向のハミルトニアンを作成できます。横方向のハミルトニアンは次のように表されます。

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.}$$

横磁場モデルは、J  ~  hで秩序状態と無秩序状態の間の相転移を経験する。これはパウリ行列のマッピングによって示される。

$${\displaystyle \sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},}$$

$${\displaystyle \sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$$

この基底変換行列を用いてハミルトニアンを書き直すと、次の式が得られる。

$${\displaystyle H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$$

hとJの役割が入れ替わるので、ハミルトニアンはJ = hで遷移を起こす。^[36]

外部場がない場合、再正規化を使用して を満たす関数方程式を導くことができます。^[37]具体的には、をサイトを持つ分割関数とします。ここで、 が得られます。 のそれぞれについて合計すると、 が得られます。ここで、cosh 関数は偶数なので、として解くことができます。ここで、自己相似関係が得られます。極限を取ると、 が得られます。ここで。 ${\displaystyle f(\beta ,0)=f(\beta )}$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots }$$${\displaystyle K:=\beta J}$${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{4},\cdots }$$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))\cdot (2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots }$$${\displaystyle Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3}))}$${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}},K'={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K')}$$$${\displaystyle f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta ')}$$${\displaystyle \beta 'J={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)}$

が小さいときは となるので、が小さくなるまで関数方程式を反復して数値的に評価することができます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\beta )\approx \ln 2}$${\displaystyle f(\beta )}$${\displaystyle K}$

• 強磁性の場合、相転移が起こります。低温では、パイエルスの議論により、最近傍の場合に正の磁化が証明され、グリフィスの不等式により、長距離相互作用が追加された場合でも正の磁化が証明されます。一方、高温では、クラスター展開により熱力学関数の解析性が与えられます。
• 最近接の場合、自由エネルギーは、格子上の自由フェルミオンを持つモデルの等価性を通じて、オンサーガーによって正確に計算されました。スピン-スピン相関関数は、マッコイとウーによって計算されました。

オンサーガー（1944）は、熱力学的極限における磁場が温度の関数として、水平および垂直相互作用エネルギーがそれぞれおよびである場合の異方性正方格子上のイジングモデルの自由エネルギーについて、次の解析的表現を得た。 ${\displaystyle h=0}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].}$$

この自由エネルギーの式から、適切な導関数を使用して、モデルのすべての熱力学関数を計算することができます。2Dイジングモデルは、正の温度で連続的な相転移を示す最初のモデルでした。これは、次の式を解く 温度で発生します。${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.}$$

水平方向と垂直方向の相互作用エネルギーが等しい等方性の場合、臨界温度は次の点で発生する。 ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J}$${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}}$$

相互作用エネルギー、が両方とも負のとき、イジングモデルは反強磁性体になります。正方格子は二部格子であるため、磁場 のときにこの変化に対して不変であり、反強磁性体の場合の自由エネルギーと臨界温度は同じです。二部格子ではない三角格子の場合、強磁性イジングモデルと反強磁性イジングモデルは著しく異なる動作をします。具体的には、三角形の周りでは、3つのスピンペアすべてを反平行にすることは不可能であるため、反強磁性イジングモデルは最小エネルギー状態に到達できません。これは幾何学的フラストレーションの例です。 ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle h=0}$

量子力学との類似性から始めましょう。長周期格子上のイジングモデルは、分配関数を持ちます。

$${\displaystyle \sum _{\{S\}}\exp {\biggl (}\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr )}.}$$

i方向を空間、j方向を時間として考えます。これは、各タイムスライスでスピンが取り得るすべての値の独立した合計です。これは経路積分の一種であり、すべてのスピン履歴の合計です。

経路積分はハミルトン進化として書き直すことができます。ハミルトンは、時刻tと時刻t + Δ tの間でユニタリ回転を実行することで時間を進みます。 $${\displaystyle U=e^{iH\Delta t}}$$

U 行列を次々に積分したものが、合計時間発展演算子であり、これが最初に使用した経路積分です。

$${\displaystyle U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}}$$

ここで、N はタイムスライスの数です。すべてのパスの合計は行列の積で与えられ、各行列要素は 1 つのスライスから次のスライスへの遷移確率です。

同様に、すべてのパーティション関数構成の合計をスライスに分割することができます。各スライスは、時間1における1次元構成です。これにより、転送行列が定義されます。 $${\displaystyle T_{C_{1}C_{2}}.}$$

各スライスの構成は、スピンの 1 次元の集合です。各タイム スライスで、Tには、 2 つのスピン構成 (1 つは直近の未来、もう 1 つは直近の過去) 間の行列要素があります。これらの 2 つの構成はC ₁とC _{2で、すべて 1 次元のスピン構成です。T}が作用する ベクトル空間は、これらすべての複雑な線形結合と考えることができます。量子力学表記法を使用すると、次のようになります。$${\displaystyle |A\rangle =\sum _{S}A(S)|S\rangle }$$

ここで、各基底ベクトルは 1 次元イジング モデルのスピン構成です。 ${\displaystyle |S\rangle }$

ハミルトニアンと同様に、転送行列はすべての状態の線形結合に作用します。パーティション関数は T の行列関数であり、Nステップ後に元の構成に戻るすべての履歴の合計によって定義されます。 $${\displaystyle Z=\mathrm {tr} (T^{N}).}$$

これは行列方程式なので、任意の基底で評価できます。したがって、行列Tを対角化できれば、 Z を見つけることができます。

スライス上の過去/未来の各構成ペアの分割関数への寄与は、2 つの項の合計です。過去のスライス内のスピン反転の数と、過去と未来のスライス間のスピン反転の数があります。サイト i でスピンを反転する構成の演算子を定義します。

$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}.}$$

通常のイジング基底では、過去の構成の任意の線形結合に作用して、同じ線形結合を生成しますが、各基底ベクトルの位置 i のスピンが反転します。

位置iのスピンに応じて基底ベクトルに +1 と -1 を乗算する 2 番目の演算子を定義します。

$${\displaystyle \sigma _{i}^{z}.}$$

T は次のように記述できます。

$${\displaystyle \sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}}$$

ここで、AとB は、パーティション関数を再現するように決定される定数です。このスライスの統計構成は、スライス内のスピン反転の数と、位置iのスピンが反転したかどうかの両方に応じて寄与すると解釈されます。

1次元の場合と同様に、スピンからスピンフリップに注目します。Tのσz^項はスピンフリップの数を数え、スピンフリップ生成演算子と消滅演算子で表すことができます。

$${\displaystyle \sum C\psi _{i}^{\dagger }\psi _{i}.\,}$$

最初の項はスピンを反転させるので、基底に応じて次のいずれかになります。

1. スピンフリップを1単位右に動かす
2. スピンフリップを1単位左に動かす
3. 隣接するサイトで2つのスピン反転を生成する
4. 隣接するサイトの 2 つのスピン フリップを破壊します。

これを生成演算子と消滅演算子の観点から書き表すと次のようになります。 $${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=D{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i+1}+D^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i-1}+C\psi _{i}\psi _{i+1}+C^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}{\psi ^{\dagger }}_{i+1}.}$$

定数係数は無視し、形式に注目してください。これらはすべて 2 次式です。係数が定数であるため、T行列はフーリエ変換によって対角化できます。

対角化を実行すると、オンサガー自由エネルギーが生成されます。

オンサーガーは1948年に2つの異なる会議で、正方格子上の2次元イジング強磁性体の自発磁化 Mについて次の式を発表したが、証明はなかった^[7]。

$${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}$$

ここで、およびは水平方向と垂直方向の相互作用エネルギーです。 ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$

完全な導出は、1951年にヤン（1952）によって転送行列の固有値の極限過程を用いて初めて与えられました。その後、1963年にモントロール、ポッツ、ワード[7]によって磁化を相関関数の極限として扱うことにより、テプリッツ行列式のセゲーの^極限公式を使用して証明が大幅に簡略化されました。

臨界点では、2次元イジングモデルは2次元共形場理論である。スピンとエネルギーの相関関数は、厳密に解かれた 極小モデルによって記述される。

2次元と同様に3次元でも、イジング模型の最も研究されているケースは、ゼロ磁場で最近接結合を持つ立方格子上の並進不変モデルである。多くの理論家が何十年もの間、2次元の場合のオンサガーの解に類似する解析的な3次元解を探していた。^{[38] [39]}そのような解は現在まで見つかっていないが、存在しないという証拠はない。3次元では、アレクサンダー・ポリャコフとウラジミール・ドツェンコによって、イジング模型は相互作用しないフェルミオン弦で表現できることが示された。この構築は格子上で行われており、臨界点を推測的に記述する連続体極限は不明である。

2次元と同様に3次元でも、パイエルスの議論は相転移があることを示している。この相転移は厳密に連続的であることがわかっており（相関長が発散し、磁化がゼロになるという意味で）、臨界点と呼ばれている。臨界点は、ウィルソン-カダノフ繰り込み群変換の繰り込み群不動点によって記述できると考えられている。また、モンテカルロシミュレーション、 [ ^{40] [41]}量子モデルにおける正確な対角化の結果、 [42 ^{] 量子場の理論的議論 [ 43]}によって証明されているように、相転移は3次元ユニタリ共形場理論によって記述できると考えられている。繰り込み群の描像や共形場理論の描像を厳密に確立することは未解決の問題であるが、理論物理学者はこれら2つの方法を使用して、実験やモンテカルロシミュレーションと一致する相転移の臨界指数を計算してきた。 3次元イジング臨界点を記述するこの共形場理論は、共形ブートストラップ法を用いて活発に研究されている。^{[44] [45] [46] [47]}この方法は現在、臨界理論の構造に関する最も正確な情報をもたらす（イジング臨界指数を参照）。

2000年、サンディア国立研究所のソリン・イストレールは、非平面格子上のスピングラス・イジング模型がNP完全であることを証明した。つまり、P ≠ NPと仮定すると、一般的なスピングラス・イジング模型は平面の場合にのみ正確に解けるため、2次元を超える場合の解も解けない。^[48]イストレールの結果は、空間的に変化する結合を持つスピングラス模型にのみ関係し、等しい結合を持つイジングの元の強磁性体模型については何も語っていない。

いかなる次元でも、イジング モデルは局所的に変化する平均場によって効果的に記述できます。この場は、広い領域の平均スピン値として定義されますが、システム全体を含むほど大きくはありません。平均化体積が移動すると、場は点から点へとゆっくりと変化します。場のこれらの変動は、無限システム限界における連続体場理論によって記述されます。

フィールドH は、波長が長いという限界において、スピン変数の長波長フーリエ成分として定義されます。長波長の平均を取る方法は多数あり、高波長がどのようにカットオフされるかの詳細によって異なります。目標はスピンではなくHの統計を見つけることであるため、詳細はそれほど重要ではありません。H の相関がわかれば、スピン間の長距離相関はHの長距離相関に比例します。

ゆっくり変化する場Hの任意の値に対して、自由エネルギー (対数確率) はHとその勾配の局所解析関数です。自由エネルギーF ( H ) は、長波長場と一致するすべての Ising 構成の合計として定義されます。Hは大まかな記述であるため、一致にあまり厳密さが要求されない限り、 Hの各値と一致する Ising 構成は多数存在します。

どの領域でもスピン値の許容範囲はその領域から 1 つの平均体積内のHの値にのみ依存するため、各領域からの自由エネルギー寄与は、その領域と隣接領域のHの値にのみ依存します。したがって、 F は、 Hとその導関数にのみ依存する局所寄与の全領域の合計です。

Hの対称性により、偶数乗のみが寄与します。正方格子の反射対称性により、勾配の偶数乗のみが寄与します。自由エネルギーの最初のいくつかの項を書き出します。

$${\displaystyle \beta F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right].}$$

正方格子では、対称性により、導関数項の係数Z _{i が}すべて等しくなることが保証されます。しかし、異なる方向のZ _iが異なる異方性イジング モデルの場合でも、空間の異なる方向が再スケーリングされる座標系では、 Hの変動は等方性になります。

どの格子上でも、微分項は 正定値の二次形式であり、空間の計量を定義するために使用できます。したがって、 Z _ij = δ _ijとなる座標では、並進不変のイジング モデルは長距離でも回転不変です。低次の項があまり多くないため、遠距離では回転対称性が自然に現れます。高次の多重臨界点では、この偶発的な対称性は失われます。 $${\displaystyle Z_{ij}\,\partial _{i}H\,\partial _{j}H}$$

β F はゆっくりと空間的に変化する場の関数であるため、任意の場の構成の確率は（高次の項を省略して）次のようになります。

$${\displaystyle P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}=e^{-\beta F[H]}.}$$

H項の積の統計平均は次の式に等しくなります。

$${\displaystyle \langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle ={\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n}) \over \int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}.}$$

この式の分母は分配関数と呼ばれ、Hのすべての可能な値にわたる積分は統計的経路積分です。これは、スピンのすべての長波長フーリエ成分にわたって、Hのすべての値にわたってexp(β F ) を積分します。 F は、フィールドHの「ユークリッド」ラグランジアンです。これは、量子場理論のスカラー場のラグランジアンに似ていますが、すべての微分項が正の符号で入力され、 iの全体的な因子がない(したがって「ユークリッド」) という違いがあります。 $${\displaystyle Z=\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}$$

Fの形式は、次元分析によってどの項が最も重要であるかを予測するために使用できます。次元分析は、Hのスケーリングを決定する必要があるため、完全に簡単ではありません。

一般的なケースでは、 Hのスケーリング則を選択するのは簡単です。寄与する項は最初の項だけだからです。

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\,AH^{2}.}$$

この項は最も重要ですが、自明な動作を示します。この形式の自由エネルギーは超局所的であり、各ポイントからの独立した寄与の合計であることを意味します。これは、1 次元イジング モデルのスピン反転に似ています。任意のポイントでのHのすべての値は、他のポイントの値とは完全に独立して変動します。

場のスケールは係数A を吸収するように再定義することができ、その場合A は変動の全体的なスケールのみを決定することは明らかです。超局所モデルは、この限界において変動平均がポイントごとに独立しているため、イジング モデルの長波長高温挙動を記述します。

臨界点を見つけるには、温度を下げます。温度が下がると、Hの変動は大きくなります。これは、変動の相関性が高まるためです。つまり、多数のスピンの平均は、相関がない場合ほど急速に小さくなりません。なぜなら、それらは同じになる傾向があるからです。これは、H がA を吸収しない単位系でA が減少することに対応します。相転移は、 Fの次項が寄与できる場合にのみ発生しますが、最初の項が長距離で支配的であるため、係数Aをゼロに調整する必要があります。これが臨界点の位置です。

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\left[tH^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],}$$

ここで、t は遷移時にゼロを通過するパラメータです。

tはゼロなので、この項を使用してフィールドのスケールを固定すると、他の項が爆発します。t が小さくなると、フィールドのスケールは、H ⁴項または (∇ H ) ²項の係数を1 に固定するように設定できます。

磁化を求めるには、λ が 1 になるようにHのスケーリングを固定します。これで、フィールドH の次元は − d /4 となり、H ⁴ d ^d x は無次元となり、Z の次元は 2 −  d /2 となります。このスケーリングでは、勾配項はd ≤ 4の長距離でのみ重要になります。4 次元を超えると、長波長で全体の磁化は超局所項のみの影響を受けます。

微妙な点が 1 つあります。フィールドH は統計的に変動しており、その変動によってtのゼロ点がシフトする可能性があります。その仕組みを理解するには、次のようにH ⁴を分割して考えます。

$${\displaystyle H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+2\langle H(x)^{2}\rangle H(x)^{2}+\left(H(x)^{2}-\langle H(x)^{2}\rangle \right)^{2}}$$

最初の項は自由エネルギーへの一定の寄与であり、無視できます。2 番目の項はtの有限のシフトです。3 番目の項は長距離でゼロにスケーリングされる量です。つまり、次元解析によってtのスケーリングを分析する場合、シフトされたtが重要です。これは歴史的に非常に混乱を招きました。なぜなら、有限のλでのtのシフトは有限ですが、遷移 t の近くではtが非常に小さいためです。t の分数変化は非常に大きく、tが固定されている単位ではシフトは無限に見えます。

磁化は自由エネルギーの最小値にあり、これは解析方程式である。シフトしたtに関しては、

$${\displaystyle {\partial \over \partial H}\left(tH^{2}+\lambda H^{4}\right)=2tH+4\lambda H^{3}=0}$$

t < 0の場合、最小値はtの平方根に比例するHにあります。したがって、ランダウのカタストロフィーの議論は 5 次元以上では正しいです。5 次元以上の磁化指数は平均場の値に等しくなります。

tが負の場合、新しい最小値に関する変動は、新しい正の二次係数によって記述されます。この項は常に支配的であるため、遷移温度以下の温度では、変動は再び長距離で超局所的になります。

変動の挙動を調べるには、勾配項を固定するために場を再スケールします。すると、場の長さのスケーリング次元は 1 − d /2 になります ^{。これで、場はすべての温度で一定の 2 次空間変動を持ちます。H 2}項のスケール次元は2ですが、H ⁴項のスケール次元は 4 −  dです。d < 4 の場合、 H 4^項は正のスケール次元を持ちます。4 より大きい次元では、負のスケール次元を持ちます。

これは本質的な違いです。4 次元を超える場合、勾配項のスケールを固定すると、波長が長くなるにつれてH ⁴項の係数の重要性は低下します。非二次寄与が寄与し始める次元は臨界次元と呼ばれます。イジング モデルでは、臨界次元は 4 です。

4 次元を超えると、臨界変動は長波長での純粋な 2 次自由エネルギーによって記述されます。これは、相関関数がすべてガウス平均として計算可能であることを意味します。

$${\displaystyle \langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle =G(x-y)=\int {dk \over (2\pi )^{d}}{e^{ik(x-y)} \over k^{2}+t}}$$

x  −  yが大きいときに有効です。関数G ( x  −  y ) は、ファインマン伝播関数の虚数時間への解析接続です。これは、自由エネルギーが自由なスカラー場に対する量子場作用の解析接続であるためです。次元が 5 以上の場合、長距離における他のすべての相関関数は、ウィックの定理によって決定されます。± 対称性により、すべての奇数モーメントはゼロです。偶数モーメントは、各ペアのG ( x  −  y )の積のペアへの分割全体にわたる合計です。

$${\displaystyle \langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})}$$

ここで、C は比例定数です。したがって、Gがわかれば十分です。これにより、フィールドのすべてのマルチポイント相関が決定されます。

Gの形を決定するには、経路積分内の場が自由エネルギーを変化させることによって導かれる古典的な運動方程式に従うことを考慮します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}}$$

これは、点が衝突するときにHの相関が特異になるため、一致しない点でのみ有効です。Hは、量子力学演算子が古典的な運動方程式に従うのと同じ理由で、古典的な運動方程式に従います。つまり、その変動は経路積分によって定義されます。

臨界点t = 0では、これはラプラス方程式であり、静電気学のガウス法で解くことができる。電界アナログを次のように定義する。

$${\displaystyle E=\nabla G}$$

原点から離れて：

$${\displaystyle \nabla \cdot E=0}$$

G はd次元で球対称であり、E はGの放射状勾配である。大きなd  − 1 次元球面上で積分すると、

$${\displaystyle \int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant} }$$

これにより、次のようになります。

$${\displaystyle E={C \over r^{d-1}}}$$

Gはrについて積分することで求められます。

$${\displaystyle G(r)={C \over r^{d-2}}}$$

定数C はフィールドの全体的な正規化を固定します。

tがゼロでない場合、つまりHが臨界温度からわずかに離れた温度で変動している場合、2 点関数は長距離で減衰します。従う方程式は次のように変わります。

$${\displaystyle \nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0}$$

rが に比べて小さい場合、解は臨界ケースとまったく同じように発散しますが、長距離の挙動は変更されます。 ${\displaystyle {\sqrt {t}}}$

どのようにそれがわかるかを見るには、量子場理論の文脈でシュウィンガーによって導入された積分として 2 点関数を表すのが便利です。

$${\displaystyle G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }}$$

これはGです。この積分のフーリエ変換は簡単だからです。固定された各 τ 寄与はxのガウス分布であり、そのフーリエ変換はkの逆数幅の別のガウス分布です。

$${\displaystyle G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}}$$

これは、 k空間の演算子 ∇ ²  −  tの逆であり、 k空間の単位関数に作用します。これは、原点に局在するデルタ関数ソースのフーリエ変換です。したがって、 0 での発散の強さを決定する同じ境界条件で、 Gと同じ方程式を満たします。

固有時間τにわたる積分表現の解釈は、2 点関数が時間 τ にわたって位置 0 から位置xにリンクするすべてのランダム ウォーク パスの合計であるということである。時間 τ における位置xでのこれらのパスの密度は ガウス分布であるが、ランダム ウォーカーはtに比例する一定の速度で消えるため、時間 τ におけるガウス分布の高さは、着実に指数関数的に減少する係数だけ減少する。量子場理論のコンテキストでは、これらは、個々の粒子のパスをたどる形式における相対論的に局在する量子のパスである。純粋に統計的なコンテキストでは、これらのパスは依然として量子場との数学的対応によって現れるが、それらの解釈はそれほど直接的には物理的ではない。

積分表現は、正のガウス分布の加重和として表されるため、G ( r ) が正であることがすぐに分かります。また、ランダムウォークが位置 τ に到達するのに適切な時間は r ²であり、この時間内にガウス分布の高さは だけ減衰しているため、大きな r での減衰率も示します。したがって、位置rに適切な減衰係数はです。 ${\displaystyle e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}}$${\displaystyle e^{-{\sqrt {t}}r}}$

G ( r )のヒューリスティック近似は次のようになります。

$${\displaystyle G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}}$$

これは、パス間の相互作用が重要になる 3 次元を除いて、正確な形式ではありません。高次元での正確な形式は、ベッセル関数の変形です。

相関を、固定サイズの量子がランダム ウォークに沿って移動するものと解釈すると、H ⁴相互作用の臨界次元が 4 である理由を理解できます。H 4 という項は、任意^のポイントでのランダム ウォーカーの密度の 2 乗と考えることができます。このような項が、変動する環境にいくつかの新しいランダム ウォークを導入するだけの有限次数の相関関数を変更するには、新しいパスが交差する必要があります。そうでない場合、密度の 2 乗は密度に比例し、H ²係数を定数だけシフトします。ただし、ランダム ウォークの交差確率は次元に依存し、4 を超える次元のランダム ウォークは交差しません。

通常のランダムウォークのフラクタル次元は 2 です。経路をカバーするために必要なサイズ ε のボールの数は、 ε ⁻²に比例して増加します。フラクタル次元 2 の 2 つのオブジェクトは、一般的な平面のペアと同じ条件である次元 4 以下の空間でのみ、妥当な確率で交差します。Kurt Symanzik は、これは 4 を超える次元での臨界イジング変動が自由場によって記述されるはずであることを意味すると主張しました。この議論は最終的に数学的な証明になりました。

4 次元の Ising モデルは変動する場によって記述されますが、変動は相互作用します。ポリマー表現では、ランダム ウォークの交差は限界的に可能です。量子場連続では、量子が相互作用します。

任意の場の配置Hの確率の負の対数は自由エネルギー関数 である。

$${\displaystyle F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2}|\nabla H|^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,}$$

数値係数は、運動方程式を単純化するためにあります。目標は、統計的変動を理解することです。他の非二次経路積分と同様に、相関関数は、粒子がランダムウォークに沿って移動し、頂点で分裂して再結合するため、ファインマン展開を持ちます。相互作用の強さは、古典的な無次元量 λ によってパラメータ化されます。

次元解析では、λ とZ は両方とも無次元であることが示されていますが、これは誤解を招きます。長波長の統計的変動は、正確にはスケール不変ではなく、相互作用の強度が消失した場合にのみスケール不変になります。

その理由は、 H を定義するためにカットオフが使用され、カットオフが最短波長を定義するためです。カットオフ付近の波長でのHの変動は、より長い波長の変動に影響を与える可能性があります。システムがカットオフに合わせてスケーリングされると、パラメータは次元解析によってスケーリングされますが、再スケーリングされたシステムにはより多くのモードがあるため、パラメータを比較しても動作は比較されません。システムが、短波長のカットオフが固定されたままになるように再スケーリングされると、長波長の変動は変更されます。

スケーリングを研究する手っ取り早い経験的方法は、 H の波数を点 λ でカットオフすることです。λ より大きい波数を持つHのフーリエ モードは変動できません。長さを再スケーリングしてシステム全体を小さくすると、すべての波数が増加し、一部の変動がカットオフより上に移動します。

古いカットオフを復元するには、以前は禁止されていたが現在は変動しているすべての波数に対して部分積分を実行します。ファインマン図では、波数kでの変動モードを積分すると、相関関数で運動量k を運ぶ線が逆プロパゲーターの係数とともにペアで リンクされます。

再スケーリングでは、システムが (1+ b ) 倍に縮小されると、次元解析によりt係数は (1+ b ) ^{2 倍}に拡大します。無限小のbに対するtの変化は2 btです。他の 2 つの係数は無次元であり、まったく変化しません。

積分による最低次の効果は、運動方程式から計算できます。

$${\displaystyle \nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.}$$

この式は、他の挿入から離れた相関関数内では恒等式です。Λ < k < (1+ b )Λのモードを積分すると、わずかに異なる恒等式になります。

方程式の形は保存されるので、係数の変化を見つけるには、H ³項の変化を分析するだけで十分です。ファインマン図の展開では、相関内の相関関数のH ^{3項には 3 本の垂れ下がった線があります。そのうちの 2 本を大きな波数}kで結合すると、垂れ下がった線が 1 本あるH ^{3 の}変化が得られ、 Hに比例します。

$${\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}$$

3 という係数は、ループを 3 つの異なる方法で閉じることができるという事実から生じます。

積分は 2 つの部分に分割する必要があります。

$${\displaystyle \int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt}$$

最初の部分はtに比例せず、運動方程式ではtの一定のシフトによって吸収されます。これは、 H ³項に線形部分があるために発生します。 tからtまで変化する 2 番目の項のみが臨界スケーリングに寄与します。

この新しい線形項は、左側の最初の項に追加され、tに比例する量だけt を変更します。 tの合計変化は、次元解析からの項と演算子積からのこの2番目の項の合計です。

$${\displaystyle \delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt}$$

したがって、t は再スケールされますが、その次元は異常であり、λ の値に比例する量だけ変更されます。

しかしλも変化します。λの変化には、線が分裂し、すぐに再結合することを考慮する必要があります。最も低次のプロセスは、H ³からの3本の線のうちの1本が3本に分裂し、同じ頂点からの他の線とすぐに結合するプロセスです。頂点の修正は

$${\displaystyle \delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b}$$

数値係数が3倍になるのは、3つの新しいラインのうちどれを契約するかを選択する際に3という追加の係数があるためです。

$${\displaystyle \delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b}$$

これら 2 つの方程式を組み合わせると、4 次元の再正規化グループ方程式が定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}}$$

係数Bは次の式で決定される。 $${\displaystyle Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}}$$

これは、半径λの3次元球の面積に積分領域の幅bΛを掛けて^Λ4で割った値に比例します。 $${\displaystyle B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}}$$

他の次元では、定数B は変化しますが、 tフローとカップリング フローの両方に同じ定数が表示されます。その理由は、1 つの頂点を持つ閉ループのtに関する導関数は、2 つの頂点を持つ閉ループであるためです。つまり、カップリングとtのスケーリングの唯一の違いは、結合と分割の組み合わせ要因です。

ランダムウォークの交差確率は空間の次元に連続的に依存するため、4 次元理論から始めて 3 次元を調査することは可能であるはずです。ファインマン グラフの言語では、次元が変更されても結合はあまり変化しません。

次元 4 から離れていくプロセスは、その方法についての処方箋がなければ、完全には定義されていません。処方箋は図でのみ明確に定義されています。これは、次元 4 のシュウィンガー表現を、次のように定義される次元 4 − ε のシュウィンガー表現に置き換えます。 $${\displaystyle G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }}$$

次元4 − εでは、結合λは正のスケール次元εを持ち、これをフローに加える必要があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}}$$

係数Bは次元に依存しますが、打ち消されます。λ の固定点はゼロではなく、次の点になります。 ここで、 t のスケール次元はλ B = ε/3の量だけ変化します。 $${\displaystyle \lambda ={\varepsilon \over 3B}}$$

磁化指数は次のように比例して変化します。 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)}$$

これは、3 次元 (ε = 1) では .333、2 次元 (ε = 2) では .166 です。これは、測定された指数 .308 や Onsager の 2 次元指数 .125 とそれほど離れていません。

完全に接続されたグラフ上のイジングモデルの挙動は、平均場理論によって完全に理解できるかもしれません。このタイプの記述は、各サイトが非常に多数の隣接サイトを持つため、非常に高次元の正方格子に適しています。

それぞれのスピンが多数のスピンとつながっている場合、この平均の変動は小さいため、+ スピンと - スピンの平均比のみが重要になるという考え方です。平均場 Hは、+ スピンの平均割合から - スピンの平均割合を引いたものです。平均場Hで 1 つのスピンを反転させるエネルギー コストは ±2 JNHです。係数N を吸収するようにJ を再定義すると便利です。こうすると、極限N → ∞ が滑らかになります。新しいJでは、スピンを反転させるエネルギー コストは ±2 JHです。

このエネルギーコストは、スピンが + である確率pとスピンが - で ある確率 1− pの比を与えます。この比率がボルツマン因子です。$${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{2\beta JH}}$$

となることによって $${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}}$$

スピンの平均値は、重みpと 1 −  pで 1 と −1 を平均することによって得られるため、平均値は 2 p − 1 になります。ただし、この平均はすべてのスピンに対して同じであるため、 H と等しくなります。 $${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)}$$

この方程式の解は、可能な整合平均場です。β J < 1 の場合、 H = 0での解は 1 つだけです。β の値がこれより大きい場合、解は 3 つあり、H = 0 での解は不安定です。

不安定性とは、平均場をゼロより少し大きくすると、平均場の値よりも大きい + のスピンの統計的割合が生成されることを意味します。したがって、ゼロより大きく変動する平均場はさらに大きな平均場を生成し、最終的に安定した解に落ち着きます。これは、臨界値 β J = 1 未満の温度では、平均場イジングモデルが大きなNの限界で相転移を起こすことを意味します。

臨界温度を超えると、平均場が変動をゼロ場に戻すため、Hの変動は減衰します。臨界温度を下回ると、平均場は新しい平衡値、つまり方程式の正のH解または負のH解のいずれかになります。

臨界温度より少し低いβ J = 1 + εの場合、Hの値は双曲正接のテイラー展開から計算できます。 $${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)\approx (1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}}$$

H = 0での不安定な解を破棄するためにHで割ると、安定した解は次のようになります。 $${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}}$$

自発磁化H は、臨界点の近くでは温度変化の平方根に比例して増大します。これは、正と負の値の間で対称な解析方程式の解からH を計算できる場合に当てはまります。このことから、ランダウは、あらゆる次元におけるすべてのイジング型相転移がこの法則に従うはずだと考えました。

平均場指数は普遍的である。なぜなら、解析方程式の解の特性の変化は、多項式であるテイラー級数のカタストロフィによって常に記述されるからである。対称性により、 Hの方程式は、右辺にHの奇数乗のみを持つ必要がある。β を変更すると、係数が滑らかに変化するだけである。遷移は、右辺の Hの係数が 1 のときに発生する。遷移の近くでは、次のようになる。$${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots }$$

AとB が何であれ、どちらもゼロに調整されていない限り、自発磁化は ε の平方根として増加します。この議論は、遷移が発生する正確な β で自由エネルギー β Fが非解析的または非一般的な場合にのみ成立します。

しかし、磁気システムにおける自発磁化と臨界点付近のガスの密度は非常に正確に測定されています。3 次元の密度と磁化は臨界点付近の温度に対して同じべき乗法則依存性を持ちますが、実験から得られる動作は次のようになります。 $${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.308}}$$

指数も普遍的であり、イジングモデルでは実験磁石およびガスと同じであるが、平均場の値とは等しくない。これは大きな驚きであった。

これは2次元でも同様であり、 $${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}}$$

しかし、それは驚きではなかった。なぜなら、オンサガーによって予測されていたからだ。

3 次元では、場の理論からの摂動級数は、特に小さくない結合定数 λ の展開です。固定点における結合の有効サイズは、粒子経路の分岐係数の 1 倍であるため、展開パラメータは約 1/3 です。2 次元では、摂動展開パラメータは 2/3 です。

しかし、平均場を経由せずに、スピンに直接繰り込みを適用することもできます。歴史的に、このアプローチはレオ・カダノフによるもので、摂動的な ε 展開より前のものです。

アイデアは、格子スピンを反復的に積分し、結合部の流れを生成することです。しかし、結合部は格子エネルギー係数です。連続体記述が存在するという事実は、温度が臨界状態に調整されると、この反復が固定点に収束することを保証します。

無限の数の高次相互作用が可能な 2 次元イジング モデルを記述します。スピン反射対称性を維持するには、偶数乗のみが寄与します。 $${\displaystyle E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .}$$

並進不変性により、J _{ij は}ij のみの関数となります。偶然の回転対称性により、i と j が大きい場合、そのサイズは 2 次元ベクトルi  −  jの大きさのみに依存します。高次の係数も同様に制限されます。

再正規化の反復により、格子は偶数スピンと奇数スピンの 2 つの部分に分割されます。奇数スピンは奇数チェッカーボード格子位置に存在し、偶数スピンは偶数チェッカーボード位置にあります。スピンが位置 ( i、j ) でインデックス付けされる場合、奇数サイトはi  +  jが奇数であり、偶数サイトはi  +  jが偶数であり、偶数サイトは奇数サイトにのみ接続されます。

奇数スピンの 2 つの可能な値は、両方の可能な値を合計することによって統合されます。これにより、残りの偶数スピンの新しい自由エネルギー関数が生成され、新しい調整された結合が行われます。偶数スピンは再び格子状になり、軸は古いものに対して 45 度傾いています。システムを回転しないと、古い構成が復元されますが、新しいパラメーターが使用されます。これらのパラメーターは、より大きな距離にあるスピン間の相互作用を表します。 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

イジングモデルから始めてこの反復を繰り返すと、最終的にすべての結合が変化します。温度が臨界温度よりも高い場合、遠距離のスピンは相関がないため、結合はゼロに収束します。しかし、温度が臨界温度になると、すべてのオーダーでスピンをリンクする非ゼロの係数が存在します。フローは、最初の数項のみを考慮することで近似できます。この切り捨てられたフローは、より多くの項が含まれるほど、臨界指数の近似値をより正確に生成します。

最も単純な近似は、通常のJ項のみを保持し、他のすべてを破棄することです。これにより、 ε 展開の λ の固定点におけるtの流れに類似したJの流れが生成されます。

Jの変化を見つけるには、奇数サイトの 4 つの隣接スピンを考慮します。これらは、奇数サイトと相互作用する唯一のスピンです。奇数サイトの 2 つのスピン値の合計からパーティション関数への乗法寄与は次のとおりです。 $${\displaystyle e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])}$$

ここで、N _{± は}± である隣接サイトの数です。係数 2 を無視すると、この奇数サイトからの自由エネルギーの寄与は次のようになります。 $${\displaystyle F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).}$$

これには、予想どおり、最近傍相互作用と次近傍相互作用が含まれますが、破棄される 4 スピン相互作用も含まれます。最近傍相互作用に切り捨てるには、すべてのスピンが同じ数と等しい数の + と – の間のエネルギー差が次のようになることを考慮します。 $${\displaystyle \Delta F=\ln(\cosh[4J]).}$$

最近接結合から、すべてのスピンが等しいスピンとずれたスピンの間のエネルギー差は 8 Jです。すべてのスピンが等しいスピンとずれていないが正味ゼロのスピンの間のエネルギー差は 4 Jです。4 スピン相互作用を無視すると、妥当な切り捨てはこれら 2 つのエネルギーの平均、つまり 6 Jです。各リンクは 2 つの奇数スピンに寄与するため、前のリンクと比較する正しい値はその半分です。 $${\displaystyle 3J'=\ln(\cosh[4J]).}$$

Jが小さい場合、これはすぐにゼロ結合に流れます。Jが大きい場合は、大きな結合に流れます。磁化指数は、固定点における方程式の傾きから決定されます。

この方法のバリエーションは、2 次元と 3 次元の両方で多くの項が含まれる場合に、臨界指数の良好な数値近似値を生成します。

• ANNNIモデル
• バインダーパラメータ
• ボルツマンマシン
• コンフォーマルブートストラップ
• イジングモデルにおける既約マルコフ連鎖の構築
• 幾何学的に不規則な磁石
• 古典ハイゼンベルクモデル
• 量子ハイゼンベルクモデル
• ホップフィールドネット
• イジング臨界指数
• JC ワード
• 倉本モデル
• 最大限の均一性
• 順序演算子
• ポッツモデル（アシュキン・テラーモデルと共通）
• スピンモデル
• 正方格子イジングモデル
• スウェンセン・ワングアルゴリズム
• tJモデル
• 2次元臨界イジングモデル
• ウォルフアルゴリズム
• XYモデル
• ZNモデル

• The Net Advance of Physics のイジングモデル
• Barry Arthur Cipra、「イジングモデルはNP 完全である」、SIAM News、第 33 巻、第 6 号、オンライン版 (.pdf)
• イジングモデルに関するサイエンスワールドの記事
• UCSC による動的 2D Ising Java アプレット
• 動的 2D Ising Java アプレット
• より大きく、より複雑な 2D Ising Java アプレット 2020-11-25 にWayback Machineでアーカイブされました
• 「私は平均律で歌う」イジングモデル：Dirk Brockmanによるスピンのシステムにおける臨界動作のシンプルなモデルは、ユーザーが作業コードをプレゼンテーションスライドにエクスポートできるインタラクティブなシミュレーションです。
• Enrique Zeleny によるイジングモデルのシミュレーション、Wolfram Demonstrations Project
• 格子上の相転移
• サンディア国立研究所の研究者は、イジングモデルの3次元的証明は不可能だと主張
• 3D グラフィックスを使用したイジング、XY、ハイゼンベルグ モデルのインタラクティブなモンテ カルロ シミュレーション (WebGL 対応ブラウザが必要)
• イジングモデルコード、イジングモデルによる画像ノイズ除去の例
• デイビッド・トンの講義ノートは良い入門書である
• 科学を変えた磁石の漫画 -イジングモデルに関するQuanta Magazineの記事
• Julia での 2 次元イジングモデルのシミュレーション: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl