スケーリングディメンション

理論物理学では、量子場の理論における局所演算子のスケーリング次元、または単に次元は、時空の膨張下での演算子の再スケーリング特性を特徴付ける。量子場の理論がスケール不変である場合、演算子のスケーリング次元は固定数であり、そうでない場合は距離スケールの関数である。 ${\displaystyle x\to \lambda x}$

スケール不変の 量子場理論では、定義により、各演算子は膨張の下で因子を獲得します。ここで、は のスケーリング次元と呼ばれる数です。これは特に、2点相関関数が距離に として依存することを意味します。より一般的には、いくつかの局所演算子の相関関数は、次のように距離に依存しなければなりません。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle x\to \lambda x}$${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle }$${\displaystyle (x^{2})^{-\Delta }}$${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

ほとんどのスケール不変理論は共形不変でもあり、局所演算子の相関関数にさらなる制約を課す。^[1]

自由理論は、最も単純なスケール不変な量子場の理論です。自由理論では、ラグランジアンに現れる場である基本演算子と、基本演算子の積である合成演算子を区別します。基本演算子のスケーリング次元は、ラグランジアンからの次元解析によって決定されます(4 つの時空次元では、ベクトル ポテンシャルを含む基本ボソン場の場合は 1、基本フェルミオン場の場合は 3/2 などです)。このスケーリング次元は古典次元と呼ばれます (標準次元やエンジニアリング次元という用語も使用されます)。次元 と の 2 つの演算子の積を取ることによって得られる合成演算子は、その次元が の和である新しい演算子です。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

インタラクションをオンにすると、スケーリング ディメンションは異常ディメンションと呼ばれる補正を受け取ります(以下を参照)。

自由理論ではないスケール不変の量子場理論は数多く存在し、これらは相互作用理論と呼ばれる。このような理論における演算子のスケーリング次元はラグランジアンから読み取れない可能性があり、またそれらは必ずしも（半）整数である必要はない。例えば、2次元イジングモデルの臨界点を記述するスケール（および共形）不変理論では、次元が1/8の演算子が存在する。 ^{[2] [1]}${\displaystyle \sigma}$

相互作用理論における演算子の乗算は、自由理論と比較して微妙である。次元が と である2 つの演算子の演算子積展開は、一般に一意の演算子ではなく無限個の演算子を与え、それらの次元は一般に に等しくならない。上記の 2 次元イジング モデルの例では、演算子積は次元が 1 であり、 の 2 倍の次元ではない演算子を与える。^{[2] [1]}${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$${\displaystyle \sigma \times \sigma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \sigma}$

厳密にスケール不変ではないが、長距離にわたってほぼスケール不変である量子場の理論は多数ある。このような量子場の理論は、自由場の理論に小さな無次元結合を持つ相互作用項を追加することによって得られる。たとえば、4次元時空では、4次のスカラー結合、湯川結合、またはゲージ結合を追加できる。このような理論の演算子のスケーリング次元は、図式的に と表すことができる。ここで、 はすべての結合がゼロに設定されている場合の次元（つまり、古典的次元）であり、 は異常次元と呼ばれ、 と総称される結合のべき級数として表される。^[3] スケーリング次元を古典的部分と異常な部分に分離することは、結合が小さい場合にのみ意味があるため、これは小さな修正である。 ${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$${\displaystyle \Delta _{0}}$${\displaystyle \gamma (g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma (g)}$

一般に、量子力学的効果により、結合は一定ではなく、ベータ関数に応じて距離スケールとともに変化します (量子場理論の専門用語では、run ) 。したがって、異常次元もそのような理論の距離スケールに依存します。特に、局所演算子の相関関数は単純な累乗ではなく、一般的には対数補正を伴う、より複雑な距離依存性を持ちます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$

結合の発展によって、ベータ関数が消える値に至る場合があります。その場合、長距離では理論はスケール不変になり、異常次元は実行されなくなります。このような動作は赤外線固定点と呼ばれます。 ${\displaystyle g=g_{*}}$

非常に特殊なケースでは、結合と異常次元がまったく実行されず、理論があらゆる距離と結合の任意の値でスケール不変になることがあります。たとえば、これはN = 4 超対称ヤン・ミルズ理論で発生します。