正方格子イジングモデル

統計力学において、2次元正方格子イジングモデルは、相互作用する磁気スピンの単純な格子モデルである。このモデルは、非自明な相互作用を持ちながらも解析解を持つことで有名である。このモデルは、外部磁場H = 0という特殊なケースについて、ラース・オンサーガーによって解かれた。^{[1] の}一般的なケースの解析解はまだ見つかっていない。 ${\displaystyle H\neq 0}$

N個のサイトと水平方向および垂直方向の両方に周期境界条件を持つ正方格子上の2Dイジングモデルを考えてみましょう。これにより、モデルのトポロジーは実質的にトーラスに縮小されます。一般に、水平結合と垂直結合は等しくありません。絶対温度およびボルツマン定数の場合、分配関数 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle J^{*}}$${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}$

臨界温度はクラマース・ワニエ双対関係から得ることができます。サイトあたりの自由エネルギーを と表すと、次の式が得られます。 ${\displaystyle T_{\text{c}}}$${\displaystyle F(K,L)}$

${\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big [}\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right){\big ]}}$

どこ

${\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

${\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}$

( K , L )平面に臨界線が 1 つだけあると仮定すると、双対関係は次のように表されます。

${\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

等方性の場合、臨界温度に関する有名な関係式が見つかる。${\displaystyle J=J^{*}}$${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle {\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}$

正方格子上のスピン配置を考える。rとsはそれぞれ垂直方向と水平方向の異なる隣接スピンの数を表す。すると、に対応するの加数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$

${\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}$

図に示すように、デュアル ラティスを構築します。すべての構成について、エッジによって分離されたスピンが異なる場合は、デュアル ラティスのエッジに線を引くことによって、多角形がラティスに関連付けられます。頂点を横断すると、スピンは同じ電荷で開始点に到達するように偶数回変更する必要があるため、デュアル ラティスのすべての頂点は構成内の偶数の線に接続され、多角形を定義します。 ${\displaystyle \Lambda _{D}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$

これにより、パーティション関数は次のように 減少します。

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

双対格子内のすべての多角形を合計します。ここで、rとs は多角形の水平線と垂直線の数であり、係数 2 はスピン構成の反転から生じます。

低温ではK、Lは無限大に近づくため、 ${\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}$

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

の低温膨張を定義します。 ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

人 は${\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}$

${\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}$

したがって

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

ここで、およびである。N本の水平および垂直辺があるので、展開には合計で項がある。各項は、項（または積で選択された項）がiとjを結ぶ線と関連付けられることにより、格子の線の構成に対応する。構成を合計すると、 ${\displaystyle v=\tanh K}$${\displaystyle w=\tanh L}$${\displaystyle 2^{2N}}$${\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}$${\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}$

は、各頂点（多角形）の線数が偶数である構成のみが分割関数に寄与することを示しており、

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}$

ここで、合計は格子内のすべての多角形にわたります。tanh K、tanh L は なので、これは の高温展開を与えます。 ${\displaystyle \rightarrow 0}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

2つの展開は、クラマース-ワニエ双対性を使用して関連付けることができます。

極限におけるサイトあたりの自由エネルギーは次のように与えられる。パラメータを次のように 定義する。${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}$

ヘルムホルツ自由エネルギーは次のように表される 。${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta }$

等方性の場合、上記の式からサイトあたりの内部エネルギーは次のようになります。 ${\displaystyle J=J^{*}}$

${\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]}$

そして自発磁化は、 ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$

${\displaystyle M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}}$

そして。 ​${\displaystyle M=0}$${\displaystyle T\geq T_{\text{c}}}$

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