ランダムクラスターモデル

統計力学、確率論、グラフ理論などにおいて、ランダムクラスターモデルは、イジングモデル、ポッツモデル、パーコレーションモデルを一般化および統合したランダムグラフです。ランダムな組み合わせ構造、電気ネットワークなどを研究するために使用されます。^{[1] [2]また、} RCモデル、または創始者のCees FortuinとPiet KasteleynにちなんでFK表現と呼ばれることもあります。^[3]ランダムクラスターモデルには臨界限界があり、共形場理論によって説明されます。

をグラフとし、を各辺を 0 または 1 の値にマッピングするグラフ上の結合構成とします。 の場合、結合は辺上で閉じているといい、の場合、結合は開いているといいます。 を開いた結合の集合とすると、開いたクラスターまたはFK クラスターは頂点の集合の和集合内の任意の接続コンポーネントです。開いたクラスターは単一の頂点になる可能性があることに注意してください (その頂点がどの開いた結合にも 接続していない場合)。${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle \omega :E\to \{0,1\}}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle \omega (e)=0}$${\displaystyle \omega (e)=1}$${\displaystyle A(\omega )=\{e\in E:\omega (e)=1\}}$${\displaystyle A(\omega )}$

エッジが確率的に独立に開いており、そうでない場合は閉じているとすると、これは標準的なベルヌーイ浸透過程に過ぎない。配置の確率測度は次のように与えられる 。${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \mu (\omega )=\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

RCモデルはパーコレーションの一般化であり、各クラスターは係数 で重み付けされます。配置 が与えられた場合、 は開いたクラスターの数、または開いた結合によって形成される接続されたコンポーネントの数とします。すると、任意の に対して、配置の確率測度は次のように与えられます 。${\displaystyle q}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle C(\omega )}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \mu (\omega )={\frac {1}{Z}}q^{C(\omega )}\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Zは分割関数、つまりすべての構成の正規化されていない重みの合計 です。

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Omega }\left\{q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}\right\}.}$

RCモデルの分割関数はTutte多項式の特殊化であり、Tutte多項式自体は多変数Tutte多項式の特殊化である。^[4]

ランダム クラスター モデルの パラメータは任意の複素数値を取ることができます。これには次の特殊なケースが含まれます。${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle q\to 0}$:線形抵抗ネットワーク。^[1]
• ${\displaystyle q<1}$: 負の相関のあるパーコレーション。
• ${\displaystyle q=1}$: ベルヌーイパーコレーション、。${\displaystyle Z=1}$
• ${\displaystyle q=2}$:イジングモデル。
• ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$:状態ポッツモデル。${\displaystyle q}$

ポッツモデルのエドワーズ-ソーカル（ES）表現^{[5]は、ロバート・G・エドワーズと}アラン・D・ソーカルにちなんで名付けられました。これは、スピンと結合構成の 結合分布の観点から、ポッツモデルとランダムクラスターモデルの統一的な表現を提供します。

をグラフとし、頂点の数が、辺の数が であるとします。スピン配置を、結合配置を と表します。 の結合測度は次のように表されます 。${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle n=|V|}$${\displaystyle m=|E|}$${\displaystyle \sigma \in \mathbb {Z} _{q}^{n}}$${\displaystyle \omega \in \{0,1\}^{m}}$${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$

${\displaystyle \mu (\sigma ,\omega )=Z^{-1}\psi (\sigma )\phi _{p}(\omega )1_{A}(\sigma ,\omega ),}$

ここで、は一様測度、は密度 との積測度、は適切な正規化定数である。重要なのは、集合の 指示関数が${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi _{p}}$${\displaystyle p=1-e^{-\beta }}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1_{A}}$

${\displaystyle A=\{(\sigma ,\omega ):\sigma _{i}=\sigma _{j}{\text{ for any edge }}(i,j){\text{ where }}\omega =1\}}$

隣接するスピンが同じ状態である場合にのみ、結合がエッジ上で開くことができるという制約を強制します。これはSW ルールとしても知られています。

ES表現の以下の特徴により、ポッツスピンの統計はクラスター統計から復元できる（逆も同様）。^[2]

• スピンの限界測度は 、逆温度におけるq状態ポッツモデルのボルツマン測度です。${\displaystyle \mu (\sigma )}$${\displaystyle \beta }$
• 結合の限界測度は、パラメータqとpを持つランダム クラスター測度です。${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega )}$
• スピンの条件付き測度は、 結合配置の各接続コンポーネント上で一定であるスピン状態の一様ランダム割り当てを表します。${\displaystyle \mu (\sigma \,|\,\omega )}$${\displaystyle \omega }$
• 結合の条件付き測度は、隣接するスピンが整列しているエッジによって形成されるサブグラフ上のパーコレーション プロセス (比率p ) を表します。${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega \,|\,\sigma )}$${\displaystyle G}$
• イジングモデルの場合、2つの頂点が結合配置の同じ接続成分にある確率は、スピンの2点相関関数に等しく、^[6]と表記されます。${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \sigma _{i}{\text{ and }}\sigma _{j}}$${\displaystyle \phi _{p,q}(i\leftrightarrow j)=\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle }$

スピンモデルにフラストレーションが存在すると、ES表現にはいくつかの複雑な問題が生じます（たとえば、同じ格子内に強磁性結合と反強磁性結合の両方を持つイジングモデル）。特に、スピン統計とクラスター統計の間には対応がなくなり、 ^[7] RCモデルの相関長はスピンモデルの相関長よりも長くなります。これが、フラストレーションのあるシステムをシミュレートするためのSWアルゴリズムの非効率性の理由です。

基底グラフが平面グラフである場合、双対グラフ上のランダムクラスタモデルと双対グラフ上のランダムクラスタモデルの間には双対性がある。^[8]パーティション関数のレベルでは、双対性は次のようになる。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=q^{|V|-|E|-1}v^{|E|}{\tilde {Z}}_{G^{*}}\left(q,{\frac {q}{v}}\right)\qquad {\text{with}}\qquad v={\frac {p}{1-p}}\quad {\text{and}}\quad {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=(1-p)^{-|E|}Z_{G}(q,v)}$

正方格子のような自己双対グラフ上では、相転移は自己双対結合でのみ起こり得る。^[9]${\displaystyle v_{\text{self-dual}}={\sqrt {q}}}$

平面グラフ上のランダム クラスター モデルは、対応する中間グラフ上のループ モデルとして再定式化できます。ランダム クラスター モデルの構成では、対応するループ構成は、クラスターをデュアル クラスターから分離する自己回避ループの集合です。転送行列アプローチでは、ループ モデルは、パラメーター を持つTemperley-Lieb 代数で記述されます。したがって、2 次元では、ランダム クラスター モデルは、ループ モデルでもある O(n) モデルと密接に関連しています。${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \delta =q}$

2次元では、臨界ランダムクラスターモデルは、中心電荷を持つ 共形場理論によって記述される。

${\displaystyle c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\qquad {\text{with}}\qquad q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\ .}$

既知の正確な結果には、点が FK クラスターに属するかスピン クラスターに属するかを検出するフィールドの共形次元が含まれます。Kac指数で表すと、これらの共形次元はそれぞれ とであり、クラスターの フラクタル次元とに対応します。${\displaystyle 2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle 2h_{{\frac {1}{2}},0}}$ ${\displaystyle 2-2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle 2-2h_{{\frac {1}{2}},0}}$

RCモデルは1969年にフォーチュインとカステリンによって主に組み合わせ問題を解くために導入されました。^{[1] [10] [6]}創始者の名をとって、FKモデルと呼ばれることもあります。^[3] 1971年に彼らはそれを用いてFKG不等式を得ました。1987年以降、このモデルと統計物理学における応用への関心が再燃しました。それはポッツモデルの時間発展を記述するスウェンセン・ワンアルゴリズムの着想となりました。 ^[11] マイケル・アイゼンマンと共著者はそれを1Dイジングモデルとポッツモデルの相境界の研究に使用しました。 ^{[12] [10]}

• トゥッテ多項式
• イジングモデル
• ランダムグラフ
• スウェンセン・ワングアルゴリズム
• FKG不平等

• ランダムクラスターモデル – Wolfram MathWorld