グラウバー力学

統計物理学において、グラウバー力学^[1]はコンピュータ上でイジングモデル（磁性のモデル）をシミュレートする方法である。 ^[2]

イジングモデルでは、スピンアップ（+1）またはスピンダウン（-1）できるN個の粒子があるとします。粒子は2Dグリッド上にあるとします。各粒子にx座標とy座標のラベルを付けます。グラウバーのアルゴリズムは次のようになります。^[3]

1. 粒子をランダムに選択します。${\displaystyle \sigma_{x,y}}$
2. 隣接する 4 つのスピンを合計します。${\displaystyle S=\sigma _{x+1,y}+\sigma _{x-1,y}+\sigma _{x,y+1}+\sigma _{x,y-1}}$
3. スピン x、y が反転した場合のエネルギーの変化を計算します。これは(イジング モデルのハミルトニアンを参照) です。${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{x,y}S}$
4. 確率でスピンを反転します。ここで T は温度です。${\displaystyle 1/(1+e^{\Delta E/T})}$
5. 新しいグリッドを表示します。上記を N 回繰り返します。

グラウバーアルゴリズムでは、スピン反転時のエネルギー変化がゼロの場合、スピンは確率 で反転します。 ${\displaystyle \Delta E=0}$${\displaystyle p(0,T)=0.5}$

しかし、グラウバー力学では、以前に選択されたかどうかに関係なく、各時間ステップで選択される可能性はすべてのスピンで等しくなります。メトロポリスの受け入れ基準にはボルツマン重み、が含まれますが、常にエネルギーを下げるためにスピンを反転するため、スピン反転の確率は次のようになります。 ${\displaystyle e^{-\Delta E/T}}$

${\displaystyle p(\Delta E)=\left\{{\begin{matrix}1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta E\leqslant 0\\e^{-\Delta E/T}, \ \Delta E>0\\\end{行列}}\right.}$。

両方の受入れ確率は階段状の曲線に近似しており、非常に低い温度ではほとんど区別がつきませんが、温度が高くなると異なります。2次元格子上のイジングモデルの場合、臨界温度は です。 ${\displaystyle T=2.27}$

実際には、メトロポリス–ヘイスティングス アルゴリズムとグラウバー アルゴリズムの主な違いは、スピンの選択とスピンの反転方法 (手順 4) にあります。ただし、熱平衡状態では、これら 2 つのアルゴリズムは同じ結果を生成するはずです。一般に、平衡状態では、アルゴリズムがエルゴード性と詳細バランスを満たしている限り、どのMCMCアルゴリズムでも同じ分布が生成されるはずです。両方のアルゴリズムにおいて、エネルギーの任意の変化に対して となり、これは、温度によっては非常に起こりそうにないにもかかわらず、システムの状態間の遷移が常に可能であることを意味します。したがって、エルゴード性の条件は両方のアルゴリズムで満たされています。可逆性の要件である詳細バランスとは、システムを十分長い時間観測すると、システムが状態 から に移行する頻度が、 から に移行する頻度と同じであることを意味します。平衡状態では、状態 A でシステムを観測する確率は、ボルツマン重み、によって与えられます。したがって、システムが低エネルギー状態で過ごす時間は高エネルギー状態で過ごす時間よりも長く、システムがより長い時間を費やす状態で観察される可能性が高くなります。つまり、からへの遷移がエネルギー的に不利な場合、システムはより頻繁に になり、遷移の固有の確率が低いことを相殺します。したがって、Glauber アルゴリズムと Metropolis–Hastings アルゴリズムはどちらも詳細なバランスを示します。 ${\displaystyle p(\Delta E)\neq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{-E_{A}/T}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

このアルゴリズムはRoy J. Glauberにちなんで名付けられました。

• シミュレーション パッケージ IsingLenzMC は、外部フィールドを持つ 1D 格子上の Glauber Dynamics のシミュレーションを提供します。CRAN。

• メトロポリスアルゴリズム
• イジングモデル
• モンテカルロアルゴリズム
• シミュレーテッドアニーリング