接触プロセス（数学）

接触過程は、占有されているサイトが一定の割合で空きサイトになり、空きサイトが占有される割合は占有されている隣接サイトの数に比例するグラフのサイトセットでの人口増加をモデル化するために使用される確率過程です。したがって、比例定数を で表すと、各サイトは、指数分布パラメータ 1であるランダムな期間にわたって占有されたままになり、この期間中にポアソン過程パラメータのイベントの時間に、子孫がすべての空き隣接サイトに配置されます。すべてのプロセスは、互いに独立しており、サイトが占有されているランダムな期間からも独立しています。接触過程は、粒子を のサイトに位置する個体に広がる細菌と考えることで、感染の拡大のモデルとしても解釈できます。占有されているサイトは感染した個体に対応し、空きサイトは健康な個体に対応します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle S}$

関心のある主な量は、プロセス内の粒子の数、つまり最初の解釈では であり、これは 2 番目の解釈での感染場所の数に対応します。したがって、粒子の数が常に正である場合はいつでも、プロセスは存続します。これは、2 番目の解釈では常に感染した個体が存在する場合に対応します。任意の無限グラフには正で有限の臨界値が存在するため、 の場合、有限個の粒子から始まるプロセスの存続は正の確率で発生しますが、 の場合は粒子の消滅はほぼ確実です。背理法と無限の猿の定理により、プロセスの存続はとしてに等しく、消滅は として に等しいことに注意してください。したがって、プロセスが存続する場合 の速度について尋ねるのは自然です。${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lambda_{c}}$${\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}$${\displaystyle \lambda <\lambda _{c}}$${\displaystyle N_{t}\to \infty }$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle N_{t}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle N_{t}\to \infty }$

時刻におけるプロセスの状態が である場合、 のサイトは であれば、たとえば粒子によって占有され、であれば空に なります。接触プロセスは、状態空間 を持つ連続時間マルコフプロセスです。ここで、 は有限または可算なグラフで、通常はであり、相互作用する粒子システムの特殊なケースです。より具体的には、基本的な接触プロセスのダイナミクスは、サイト で、 次の遷移率によって定義されます。${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi_{t}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi_{t}(x)=1}$${\displaystyle \xi_{t}(x)=0}$${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle 1\rightarrow 0\quad {\text{速度 }}1,}$

${\displaystyle 0\rightarrow 1\quad {\text{速度で}}\lambda \sum _{y\,:\,y\,\sim \,x}\xi _{t}(y),}$

ここで、合計は内のすべての近傍について行われます。これは、各サイトが対応する速度で指数時間待機し、その後反転することを意味します (つまり、0 は 1 になり、その逆も同様です)。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

接触過程は、パーコレーション理論と密接に関係する確率過程です。テッド・ハリス(1974) は、感染と回復が離散的な時間にのみ発生する場合の接触過程は、各辺を座標値が増加する方向に向けることによって 得られるグラフ上の 1 ステップずつの結合パーコレーションに対応すると指摘しました。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d+1}}$

整数 上の過程における粒子の数に関する大数の法則は、非公式には、すべての大きい に対して、ある正の定数 に対して がにほぼ等しいことを意味します。Harris (1974) は、過程が存続する場合、 の増加率は最大で時間に対して線形であり、最小で時間に対して線形であることを証明しました。弱い大数の法則 (過程が確率 で収束する) はDurrett (1980)によって示されました。数年後、Durrett と Griffeath (1983) はこれを強い大数の法則に改良し、過程が ほぼ確実に収束することを示しました。${\displaystyle t}$${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c=c(\lambda )}$${\displaystyle N_{t}}$

すべての整数格子上の接触過程は臨界値でほぼ確実に消滅する。^[1]

デュレットは、1980年代から1990年代初頭にかけて、ハリス接触過程の中心極限定理に関する調査論文や講義ノートで、過程が存続する場合、すべての大きな に対して、 は に等しく、誤差はに標準ガウス分布に従って分布する（ランダム）誤差を乗じたものに等しいと推測した。^{[2] [3] [4]}${\displaystyle t}$${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {t}}}$

デュレットの予想は2018年に証明されたように、異なる値に対して正しいことが判明した。^[5]${\displaystyle \sigma}$

• デュレット、リチャード(1980)。「1次元接触過程の成長について」。確率年報。8 (5): 890–907。doi : 10.1214/ aop /1176994619。
• Durrett, Richard ; David Griffeath (1983). 「Z 上の超臨界接触過程」.確率年報. 11 (1): 1–15. doi : 10.1214/aop/1176993655 .
• グリメット、ジェフリー（1999）、パーコレーション、シュプリンガー
• リゲット、トーマス・M. (1985)。相互作用粒子システム。ニューヨーク：シュプリンガー出版。ISBN 978-0-387-96069-2。
• Thomas M. Liggett、「確率的相互作用システム：接触、投票者、および排除プロセス」、Springer-Verlag、1999 年。