スピングラス

凝縮物質物理学において、スピングラスはランダム性、および「凍結温度」 T _fと呼ばれる温度でスピンが凍結する際の協調的動作を特徴とする磁気状態である。^[1]強磁性固体 では、構成原子の磁気スピンはすべて同じ方向に整列する。強磁性体と対比されるスピングラスは、スピンがランダムにまたは規則的なパターンなしに整列し、結合もランダムである「無秩序な」磁気状態として定義される。 ^{[1]スピングラスを「}スピンオングラス」と混同しないでください。後者は、通常、スピンコーティングによって塗布されるSiO ₂ベースの薄膜です。

「ガラス」という用語は、スピン グラスの磁気的無秩序性と、窓ガラスなどの従来の化学ガラスの位置的無秩序性の類似性から来ています。窓ガラスや非晶質固体では、原子結合構造は非常に不規則です。対照的に、結晶は原子結合の均一なパターンを持っています。強磁性固体では、磁気スピンはすべて同じ方向に整列します。これは、結晶の格子ベースの構造に類似しています。

スピン グラス内の個々の原子結合は、ほぼ同数の強磁性結合 (隣り合う原子が同じ方向を向いている) と反強磁性結合 (隣り合う原子がまったく逆の方向を向いている、つまり N 極と S 極が 180 度反転している) が混在しています。整列した原子磁石と整列していない原子磁石のパターンにより、フラストレートした相互作用と呼ばれるもの 、つまり規則的で完全に整列した固体に見られるものと比較して原子結合の形状が歪む状態が発生します。また、原子の複数の幾何学的配置が安定する状況も発生する可能性があります。

スピングラスには2つの主な側面があります。物理的側面では、スピングラスは独特の特性を持つ実際の材料であり、その概要は次のとおりです。^[2]数学的側面では、実際のスピングラスに触発された単純な統計力学モデルが広く研究され、応用されています。^[3]

スピン グラスとその中に生じる複雑な内部構造は、最低エネルギー構成(整列して強磁性になる)以外の安定した構成に「固定」されているため、「準安定」と呼ばれます。これらの構造の数学的複雑さは困難ですが、実験またはシミュレーションで研究することは有益であり、物理学、化学、材料科学、およびコンピューター サイエンスの人工ニューラル ネットワークに応用できます。

スピングラスを他の磁気システムと区別するのは、時間依存性です。

スピングラス転移温度T c _[^注1]を超えると、スピングラスは典型的な磁気的挙動（常磁性など）を示す。

試料を転移温度まで冷却しながら磁場をかけると、キュリーの法則で説明されるように試料の磁化が増加します。T _cに達すると試料はスピン グラスになり、さらに冷却しても磁化はほとんど変化しません。これを磁場冷却磁化と呼びます。

外部磁場が除去されると、スピングラスの磁化は残留磁化と呼ばれる低い値まで急速に低下します。

磁化はその後、ゼロ（または元の値のごく一部 – これは不明）に近づくにつれてゆっくりと減衰します。この減衰は非指数関数的であり、磁化と時間の曲線に適切に適合する単純な関数はありません。^[4]このゆっくりとした減衰はスピングラスに特有のものです。数日単位の実験測定では、機器のノイズレベルを超える継続的な変化が示されています。^[4]

スピングラスは、強磁性体から外部磁場が除去された後も磁化が残留値に無期限に留まるという点で強磁性体と異なります。常磁性体は、外部磁場が除去された後、磁化が残留磁化を持たずに急速にゼロに低下するという点でスピングラスと異なります。減衰は急速かつ指数関数的です。^[要出典]

外部磁場がない状態でサンプルをT _{c以下に冷却し、スピン グラス相への転移後に磁場を印加すると、}ゼロ磁場冷却磁化と呼ばれる値まで初期に急激な増加が見られます。その後、磁場冷却磁化に向かってゆっくりと上向きにドリフトが発生します。

驚くべきことに、時間の2つの複雑な関数（ゼロ磁場冷却と残留磁化）の合計は定数、つまり磁場冷却値であり、したがって両方とも時間に対して同一の関数形を共有します^[5] 、少なくとも外部磁場が非常に小さい限界においては。

これはイジングモデルに似ています。このモデルでは、スピンは最も近い隣接スピンのみと相互作用する次元格子上に配置されます。このモデルは臨界温度に対して正確に解くことができ、低温ではガラス相が存在することが観測されています。^[6]このスピンシステムのハミルトニアンは次のように与えられます。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j},}$

ここで、 は格子点 におけるスピン半粒子のパウリスピン行列を指し、 上の合計は隣接する格子点および 上の合計を指します。 の負の値は、点およびにおけるスピン間の反強磁性型相互作用を示します。 合計は、任意の次元の格子上のすべての最も近い隣接位置にわたります。スピン-スピン相互作用の磁気的性質を表す 変数は、結合変数またはリンク変数と呼ばれます。${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \langle ij\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J_{ij}}$

このシステムの分配関数を決定するには、の可能なすべての値にわたって、 の自由エネルギーを 平均する必要があります。 の値の分布は、平均と分散 を持つガウス分布であるとみなされます。 ${\displaystyle f\left[J_{ij}\right]=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]=\operatorname {Tr} _{S}\left(e^{-\beta H}\right)}$${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J^{2}}$

${\displaystyle P(J_{ij})={\sqrt {\frac {N}{2\pi J^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {N}{2J^{2}}}\left(J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}\right)^{2}\right\}.}$

レプリカ法を使用して自由エネルギーを解くと、特定の温度以下で、システムのスピン グラス相 (またはガラス相) と呼ばれる新しい磁気相が存在することがわかります。この相は、磁化が消失し、同じ格子点だが 2 つの異なるレプリカにあるスピン間の 2 点相関関数の値が消失しないという特徴があります。 ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{N}S_{i}^{\alpha }S_{i}^{\beta }\neq 0,}$

ここで、はレプリカインデックスです。したがって、強磁性からスピン グラスへの相転移の秩序パラメータは であり、常磁性からスピン グラスへの相転移の秩序パラメータは です。したがって、3 つの磁気相を記述する新しい秩序パラメータのセットは、と の両方で構成されます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$

レプリカ対称性の仮定の下では、平均場自由エネルギーは次式で与えられる: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}-{\frac {\beta ^{2}J^{2}}{4}}(1-q)^{2}+{\frac {\beta J_{0}m^{2}}{2}}-\int \exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz+\beta J_{0}m\right)\right)\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}}$

スピン グラスは、珍しい実験特性に加えて、広範な理論的および計算的研究の対象となっています。スピン グラスに関する初期の理論的研究の大部分は、システムの 分割関数のレプリカのセットに基づく平均場理論の一種を扱っていました。

スピン グラスの重要な、正確に解けるモデルは、1975 年にDavid SherringtonとScott Kirkpatrickによって導入されました。これは、長距離のフラストレートした強磁性および反強磁性結合を持つIsing モデルです。これは、磁化の遅いダイナミクスと複雑な非エルゴード平衡状態を記述するスピン グラスの 平均場近似に対応します。

エドワーズ・アンダーソン (EA) モデルとは異なり、システムでは 2 つのスピンの相互作用のみが考慮されていますが、各相互作用の範囲は潜在的に無限大 (格子のサイズのオーダー) になる可能性があります。したがって、任意の 2 つのスピンは強磁性または反強磁性結合でリンクでき、これらの分布はエドワーズ・アンダーソン モデルの場合とまったく同じように与えられます。SK モデルのハミルトニアンは EA モデルと非常に似ています。

${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}}$

ここで、はEAモデルの場合と同じ意味を持ちます。モデルの平衡解は、シェリントン、カークパトリックらによる初期の試みの後、 1979年にジョルジオ・パリシがレプリカ法で発見しました。パリシ解の解釈に関するその後の研究（M. メザード、G. パリシ、MA ヴィラソロらによる）により、エルゴード性の破れ、超計量性、非自己平均性によって特徴付けられるガラス質の低温相の複雑な性質が明らかになりました。さらに開発が進められ、キャビティ法が開発され、レプリカなしで低温相の研究が可能になりました。パリシ解の厳密な証明は、フランチェスコ・ゲラとミシェル・タラグランドの研究で提供されています。^[7]${\displaystyle J_{ij},S_{i},S_{j}}$

大きさ の均一な外部磁場がある場合、エネルギー関数は になります。すべての結合が平均 0 で分散 のガウス分布からの IID サンプルであるとします。1979 年に、JRL de Almeida とDavid Thouless ^[8]は、イジング モデルの場合と同様に、SK モデルの平均場解が低温、低磁場状態では不安定になることを発見しました。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}-M\sum _{i}S_{i}}$$${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle J^{2}}$

SKモデルの相図上の安定領域は、2つの無次元パラメータによって決定されます。その相図は、 de Almeida-Thouless曲線によって分割された2つの部分で構成されます。曲線は、方程式^[8]の解です。相転移は で発生します。そのすぐ下で、低温、高磁場極限では、線は${\displaystyle x:={\frac {kT}{J}},\quad y:={\frac {M}{J}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\operatorname {sech} ^{4}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right),\\&q={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\tanh ^{2}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle x=1}$$${\displaystyle y^{2}\approx {\frac {4}{3}}(1-x)^{3}.}$$$${\displaystyle x\approx {\frac {4}{3{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}}$$

これは「p-スピンモデル」とも呼ばれます。^[3]無限範囲モデルは、シェリントン-カークパトリックモデルの一般化であり、2スピン相互作用だけでなく、スピン相互作用も考慮します。ここで、およびはスピンの総数です。エドワーズ-アンダーソンモデルとは異なり、SKモデルに似ていますが、相互作用範囲は無限です。このモデルのハミルトニアンは次のように記述されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\leq N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}J_{i_{1}\dots i_{p}}S_{i_{1}}\cdots S_{i_{p}}}$

ここで、 はEA モデルの場合と同様の意味を持ちます。このモデルの極限は、ランダム エネルギー モデルとして知られています。この極限では、スピン グラスが特定の状態に存在する確率は、その状態のエネルギーのみに依存し、その状態内の個々のスピン構成には依存しません。このモデルを解くには、通常、格子全体の磁気結合のガウス分布を仮定します。中心極限定理の結果として、他の分布でも同じ結果が得られると予想されます。平均と分散 を持つガウス分布関数は、次のように与えられます。 ${\displaystyle J_{i_{1}\dots i_{p}},S_{i_{1}},\dots ,S_{i_{p}}}$${\displaystyle p\to \infty }$${\displaystyle {\frac {J_{0}}{N}}}$${\displaystyle {\frac {J^{2}}{N}}}$

${\displaystyle P\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}\right)={\sqrt {\frac {N^{p-1}}{J^{2}\pi p!}}}\exp \left\{-{\frac {N^{p-1}}{J^{2}p!}}\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}-{\frac {J_{0}p!}{2N^{p-1}}}\right)\right\}}$

このシステムの秩序パラメータは、 2つの異なるレプリカにおける同じサイト のスピン間の磁化と2点スピン相関によって与えられ、SKモデルの場合と同じです。この無限範囲モデルは、レプリカ対称性と1レプリカ対称性の破れの仮定の下で、自由エネルギー^[6]についてとに関して明示的に解くことができます。 ^[6]${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}&{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{2}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p}+{\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p-1}+{}\\&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}z^{2}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz{\sqrt {{\frac {1}{2}}pq^{p-1}}}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p-1}\right)\right)\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

熱力学系は、系の任意の（平衡）インスタンスが与えられたときに、最終的に他のすべての可能な（平衡）状態（同じエネルギー）を訪れる場合、エルゴード的である。スピングラス系の特徴の1つは、凍結温度以下では、インスタンスが「非エルゴード」な状態セットに閉じ込められることである。系はいくつかの状態間を変動することはあっても、同等のエネルギーの他の状態に遷移することはできない。直感的には、系は階層的に無秩序なエネルギーランドスケープの深い極小値から逃れることはできないと言える。極小値間の距離は超距離で与えられ、極小値間には高いエネルギー障壁がある。^{[注 2]}参加率は、与えられたインスタンスからアクセス可能な状態の数、つまり基底状態に参加する状態の数を数える。スピングラスのエルゴード的側面は、ジョルジョ・パリシに2021年のノーベル物理学賞の半分を授与する上で重要な役割を果たした。^{[9] [10] [11]}${\displaystyle T_{\text{f}}}$

銅中の希薄マンガンなどの物理システムの場合、凝固温度は通常 30ケルビン(-240 °C) と低く、スピングラス磁性は日常生活ではほとんど応用がないように見えます。ただし、非エルゴード状態と起伏のあるエネルギーランドスケープは、ホップフィールドネットワークなどの特定のニューラルネットワークの動作や、コンピューターサイエンスの最適化と遺伝学の多くの問題を理解するのに非常に役立ちます。

元素結晶ネオジムは室温では常磁性であり、 19.9 K以下に冷却すると不整合秩序を持つ反強磁性体になる。 ^[12]この転移温度以下では、複雑な一連の磁気相^{[13] [14]}を示し、長いスピン緩和時間と構造的無秩序に依存しないスピングラス挙動を示す。^[15]

1960年代初頭から1980年代後半までのスピングラスの歴史の詳細な説明は、Philip W. AndersonによるPhysics Todayの人気記事シリーズに掲載されています。^{[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}

1930 年代に、材料科学者は、名目上の純粋な金の抵抗率が 10 K で最小に達し、同様に名目上の純粋な Cu の抵抗率が 2 K で最小に達するという近藤効果を発見しました。後に、近藤効果は非磁性金属に希薄磁性原子が注入されたときに発生することが理解されました。

鉄-金合金（Au Fe）とマンガン-銅合金（Cu Mn）では、約1～10原子パーセントで異常な挙動が観察されました。CannellaとMydoshは1972年に^[24]、 Au Feが明確に定義された温度で交流磁化率に予期せぬ尖端状のピークを持つことを観察しました。この温度は後にスピングラス凍結温度と呼ばれるようになりました。^[25]

これは「ミクトマグネット」とも呼ばれていました (ミクトはギリシャ語で「混合」を意味します)。この用語は、これらの材料には強磁性 ( ) と反強磁性 ( ) の相互作用が混在することが多く、その結果、磁気構造が乱れているという観察から生まれました。スピン グラスの理論的理解が進み、磁気フラストレーションが強磁性と反強磁性の相互作用の単純な混合から生じるのではなく、システム内のランダム性とフラストレーションから生じることが認識されるにつれて、この用語は好まれなくなりました。 ${\displaystyle J>0}$${\displaystyle J<0}$

シェリントンとカークパトリックは1975年にSKモデルを提唱し、レプリカ法でそれを解きました。^[26]彼らは低温ではエントロピーが負になることを発見しました。これはレプリカ法が低温には適用できないヒューリスティックな方法だからだと彼らは考えました。

その後、レプリカ法が正しいことが発見されましたが、SKモデルの低温対称性の破れは、エドワーズ・アンダーソン秩序パラメータだけで純粋に特徴付けることができないという問題がありました。代わりに、さらなる秩序パラメータが必要となり、ジョルジョ・パリシのレプリカ破れ仮説が導き出されました。完全なレプリカ破れ仮説では、安定した解を特徴付けるために無限に多くの秩序パラメータが必要になります。^[27]

レプリカ平均場理論の形式主義はニューラルネットワークの研究にも応用されており、バックプロパゲーションなどのトレーニングアルゴリズムを設計したり実装したりすることなく、単純なニューラルネットワークアーキテクチャの記憶容量などの特性を計算することが可能になった。^[28]

隣接するスピン間の結合がガウス分布に従うガウスモデルのような、短距離のフラストレートした相互作用と無秩序性を持つ、より現実的なスピングラスモデルも、特にモンテカルロシミュレーションを使用して広く研究されてきました。これらのモデルは、鋭い相転移によって境界が定められたスピングラス相を示します。

スピングラス理論は、凝縮物質物理学における関連性に加えて、ニューラルネットワーク理論、コンピューターサイエンス、理論生物学、経済物理学など への応用により、強力な学際的性格を獲得しています。

スピングラスモデルは、タンパク質折り畳みの折り畳み漏斗モデルに適合されました。

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