古典的なハイゼンベルクモデル

統計物理学において、ヴェルナー・ハイゼンベルクによって開発された古典的なハイゼンベルクモデルは、 $n=3$ nベクトルモデルの場合。これは、強磁性やその他の現象をモデル化するために使用されるモデルの一つである。

意味

古典的なハイゼンベルクモデルは次のように定式化できます。d次元格子を取り、単位長さのスピンのセットを配置します。

\displaystyle {\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)}

、

各格子点において。

このモデルは、以下のハミルトニアンによって定義される。

{\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)

どこ

{\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{if }}i,j{\mbox{ are neighbors}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}

これはスピン間の結合である。

古典的なハイゼンベルク模型は、sが大きくなる極限における等方性スピンs量子ハイゼンベルク模型の半古典的極限である。

{\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.

この方程式は、連続古典的ハイゼンベルク強磁性方程式、あるいはより簡潔にハイゼンベルク模型と呼ばれ、ソリトン理論の意味で積分可能である。ランダウ・リフシッツ方程式、石森方程式など、積分可能なものと積分不可能なものを含め、いくつかの一般化が可能である。

長距離相互作用の場合、 $J_{x,y}\sim |xy|^{-\alpha }$ 熱力学的限界は、 $\alpha >1$ ; 磁化はゼロのままです $\alpha \geq 2$ ; しかし、十分に低い温度では磁化は正であり、 $1<\alpha <2$ （赤外線境界）
自由境界条件を持つあらゆる「最近傍」nベクトルモデルと同様に、外部場がゼロの場合、単純な厳密解が存在する。

長距離相互作用の場合、 $J_{x,y}\sim |xy|^{-\alpha }$ 熱力学的限界は、 $\alpha >2$ ; 磁化はゼロのままです $\alpha \geq 4$ ; ただし、十分に低い温度では磁化は正になります。 $2<\alpha <4$ （赤外線境界）
ポリャコフは、古典的なXYモデルとは異なり、どの双極子位相も存在しないと推測している。 $T>0$ すなわち、非零温度では相関は指数関数的に速くクラスター化する。^{[ 1 ]}

相互作用の範囲に関係なく、十分に低い温度では磁化は正となる。

推測では、低温の極限状態のそれぞれにおいて、切り捨てられた相関は代数的に減衰する。

↑ Polyakov, AM (1975). "Interaction of goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields". Phys. Lett . B 59 (1): 79–81 . Bibcode : 1975PhLB...59...79P . doi : 10.1016/0370-2693(75)90161-6 .