Z Nモデル

の${\displaystyle Z_{N}}$（クロックモデルとも呼ばれる）モデルは、簡略化された統計力学的スピンモデルです。これはイジングモデルの一般化です。任意のグラフ上で定義できますが、いくつかの特殊な場合を除いて、 1次元および2次元格子上でのみ積分可能です。

の${\displaystyle Z_{N}}$モデルは、各ノードにスピン値を割り当てることによって定義されます。${\displaystyle r}$グラフ上で、スピンは値をとる${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$、 どこ${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$したがって、スピンは複素数の1の根の形で値をとります。大まかに言えば、各ノードに割り当てられたスピンは、${\displaystyle Z_{N}}$モデルは、${\displaystyle N}$等間隔の方向。一般的なエッジに対するボルツマン重み${\displaystyle rr'}$は：

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

どこ${\displaystyle *}$は複雑な共役を表し、${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$エッジに沿った相互作用の強さに関連している${\displaystyle rr'}$。 ご了承ください${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{Nk}^{\left(rr'\right)}}$そして${\displaystyle x_{0}}$多くの場合 1 に設定されます。 (実数値の) ボルツマン重みは変換の下で不変です。$\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$そして$\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$それぞれ普遍的な回転と鏡映に相当する。

解決策にはいくつかの種類がある。${\displaystyle Z_{N}}$一般に異方性正方格子上で定義されたモデル。モデルがクレイマース・ワニエの意味で自己双対であり、したがって臨界であり、格子が2つの可能な「重み」を持つようなものである場合、${\displaystyle x_{k}^{1}}$そして${\displaystyle x_{k}^{2}}$2 つの可能なエッジの向きに対して、次のパラメータ化を導入できます。${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

双対関係と、積分可能性を保証する星-三角形関係が成り立つことを要求することで、解を見つけることができる。

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

と${\displaystyle x_{0}=1}$この特定のケースでは${\displaystyle Z_{N}}$このモデルは、最初にこの解を計算したVA FateevとAB Zamolodchikovにちなんで、それ自体がFZモデルと呼ばれることが多い。FZモデルは、極限においてXYモデルに近づく。${\displaystyle N\rightarrow \infty }$これは、キラルポッツモデルと柏原・三輪モデルの特殊なケースでもある。

統計力学におけるほとんどの格子モデルの場合と同様に、${\displaystyle Z_{N}}$3次元モデル。ただし、2次元では、特定の値に対して正方格子上で厳密に解くことができる。${\displaystyle N}$および/または「重み」${\displaystyle x_{k}}$おそらく最もよく知られている例はイジングモデルで、これは2つの反対方向のスピンを許容します（つまり$\displaystyle s_{r}=\pm 1}$これはまさに${\displaystyle Z_{N}}$モデル${\displaystyle N=2}$したがって${\displaystyle Z_{N}}$このモデルはイジングモデルの一般化と考えることができる。このモデルの特定のケースに対応する他の厳密に解けるモデルは、${\displaystyle Z_{N}}$モデルには、3状態ポッツモデルが含まれます。${\displaystyle N=3}$そして${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$、 どこ${\displaystyle x_{c}}$はある特定の臨界値（FZ）であり、臨界Askin–Tellerモデルは${\displaystyle N=4}$。

量子版の${\displaystyle Z_{N}}$クロックモデルは、横磁場イジングモデルと同様の方法で構築できる。このモデルのハミルトニアンは以下のとおりである。

${\displaystyle H=-J\left[\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right]}$

ここで、添え字は格子点を表し、合計は${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$最も近い隣接サイトのペアに対して行われます${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$クロックマトリックス${\displaystyle X_{j}}$そして${\displaystyle Z_{j}}$パウリ行列の一般化は、

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

そして

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

どこ$\displaystyle \delta _{j,k}}$1 の場合${\displaystyle j}$そして${\displaystyle k}$同じサイトの場合のみ有効で、それ以外の場合はゼロです。${\displaystyle J}$はエネルギーの次元を持つ前因子であり、${\displaystyle g}$は、最近接相互作用と比較した外部場の相対的な強さを決定するもう一つの結合係数です。

• V.A. ファテエフと A.B. ザモロドチコフ (1982)「星三角形関係の自己双対解${\displaystyle Z_{N}}$-モデル」、Physics Letters A、92、pp.  37 – 39
• MA Rajabpour と J. Cardy (2007); 「格子中の離散的に正則なパラフェルミオン」${\displaystyle Z_{N}}$モデル」J. Phys. A 22 40, 14703 – 14714