アティヤ・シンガー指数定理

微分幾何学において、マイケル・アティヤとイサドア・シンガー（1963）によって証明されたアティヤ・シンガー指数定理^[1]は、コンパクト多様体上の楕円微分作用素について、解析指数（解の空間の次元に関連）が位相指数（何らかの位相データによって定義される）に等しいことを述べています。この定理には、チャーン・ガウス・ボネの定理やリーマン・ロッホの定理など、他の多くの定理が特殊なケースとして含まれており、理論物理学にも応用されています。^{[2] [3]}

楕円微分作用素の指数問題は、イスラエル・ゲルファンドによって提起された。^[4]彼は指数のホモトピー不変性に注目し、位相不変量を用いてその公式を求めた。動機となった例としては、リーマン・ロッホの定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、ヒルツェブルッフの署名定理などがある。フリードリヒ・ヒルツェブルッフとアルマン・ボレルはスピン多様体の種数の整数性を証明しており、アティヤはこの整数性がディラック作用素の指数であれば説明できると示唆した（これは1961年にアティヤとシンガーによって再発見された）。

アティヤ・シンガー定理は1963年に発表された。^[1]この発表で概説された証明はパレの本に掲載されているものの、彼らによって公表されることはなかった。^[5]また、プリンストン大学でリチャード・パレが主導したセミナーと同時にパリで開催された「Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64」^[6]にも掲載されている。パリでの最後の講演は境界を持つ多様体に関するアティヤの講演であった。彼らが最初に公表した証明^[7]では、最初の証明のコボルディズム理論がK理論に置き換えられ、彼らはこれを使用して別の一連の論文でさまざまな一般化の証明を行った。^[8]

• 1965年: セルゲイ・P・ノビコフが滑らかな多様体上の有理ポンチャギン類の位相不変性に関する結果を発表しました。^[9]
• Robion KirbyとLaurent C. Siebenmannの結果^[10]は、 René Thomの論文^[11]と組み合わせて、位相多様体上の有理ポンチャギン類の存在を証明しました。有理ポンチャギン類は、滑らかな位相多様体上の指数定理の重要な要素です。
• 1969年:マイケル・アティヤが任意の距離空間上の抽象楕円作用素を定義する。抽象楕円作用素はカスパロフの理論とコンヌの非可換微分幾何学の主役となった。^[12]
• 1971年：イザドア・シンガーが指数理論の将来的な拡張のための包括的なプログラムを提案した。^[13]
• 1972年:ゲンナディ・G・カスパロフが抽象楕円演算子によるKホモロジーの実現に関する研究を発表。^[14]
• 1973年：アティヤ、ラウル・ボット、ビジェイ・パトディは、メルローズの論文^{[16]で説明されている}熱方程式を使用して、指数定理^{[15]の新しい証明を与えた。}
• 1977年: デニス・サリバンは、 4次元以外の位相多様体上のリプシッツ構造と準共形構造の存在と一意性に関する定理を確立した。^[17]
• 1983年： エズラ・ゲッツラー^{[18]はエドワード・ウィッテン[19]}とルイス・アルバレス＝ゴームのアイデアに触発されて、局所ディラック作用素である作用素に対する局所指数定理の簡単な証明を与えた 。これは多くの有用なケースをカバーしている。
• 1983年:ニコラエ・テレマンはベクトル束に値を持つシグネチャ演算子の解析的インデックスが位相不変量であることを証明した。^[20]
• 1984年:テレマンが位相多様体に関する指数定理を確立。^[21]
• 1986年： アラン・コヌが非可換幾何学に関する基礎論文を発表。^[22]
• 1989年: サイモン・K・ドナルドソンとサリバンは4次元の準共形多様体上のヤン・ミルズ理論を研究した。彼らは2次微分形式上で定義されたシグネチャ演算子Sを導入した。 ^[23]
• 1990年:コネスとアンリ・モスコヴィチが非可換幾何学の文脈で局所指数公式を証明した。^[24]
• 1994年:コネス、サリバン、テレマンが準共形多様体上のシグネチャ演算子の指数定理を証明した。^[25]

• X はコンパクトで滑らかな多様体 （境界なし）です。
• EとF はX上の滑らかなベクトル束です。
• D はEからFへの楕円微分演算子です。したがって、局所座標ではEの滑らかな部分をFの滑らかな部分に取る微分演算子として機能します。

D がk変数のn次ユークリッド空間上の微分作用素である場合、その記号は2 k変数 の関数で、 nより小さい次数の項をすべて削除し、に置き換えることによって表されます。したがって、記号はn次数の変数yで同次です。最高次の項のみを保持し、微分作用素は「より低い次の項まで」可換であるため、記号は と可換ではありませんが、明確に定義されています。少なくとも 1 つのyが非ゼロで あるときに常に記号が非ゼロである場合、演算子は楕円型と呼ばれます。${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

例: k変数のラプラス演算子は記号 を持ち、 のいずれかが非ゼロであれば常に非ゼロとなるため楕円型です。波動演算子は記号 を持ちますが、 の場合には楕円型ではありません。これは、の非ゼロ値の一部に対して記号が消えるためです。 ${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle -y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$${\displaystyle k\geq 2}$

滑らかな多様体X上のn次微分作用素の記号は、局所座標チャートを用いてほぼ同じように定義され、各余接空間上で次数nの同次な、 Xの余接バ​​ンドル上の関数です。(一般に、微分作用素は座標変換によってかなり複雑な方法で変換されます (ジェットバンドルを参照)。ただし、最高次の項はテンソルのように変換されるため、局所チャートの選択とは無関係な余接空間上の明確に定義された同次関数が得られます。) より一般的には、2 つのベクトルバンドルEとF間の微分作用素の記号は、バンドル Hom( E , F ) をXの余接空間に引き戻すセクションです。微分作用素は、 Hom( E _x , F _x )の元がXの任意の点xにおけるすべての非ゼロ余接ベクトルに対して可逆である場合に楕円型と呼ばれます。

楕円型作用素の重要な特性は、ほぼ逆であることである。これは、楕円型作用素の記号がほぼ逆であるという事実と密接に関係している。より正確には、コンパクト多様体上の楕円型作用素Dには、 DD′ -1とD′D -1 が両方ともコンパクト作用素となるような (一意でない)パラメトリックス(または擬似逆) D ′ がある。重要な帰結は、 Dの核が有限次元であることだ。これは、核以外のコンパクト作用素の固有空間がすべて有限次元であるためである。(楕円微分作用素の擬似逆が微分作用素になることはほとんどない。しかし、楕円擬微分作用素である。)

楕円微分作用素Dには擬似逆作用素があるため、フレドホルム作用素である。任意のフレドホルム作用素は、 Dの核の（有限）次元 （ Df = 0の解）とDの余核の（有限）次元（ Df = gのような不斉方程式の右辺の制約、または同等の随伴作用素の核）の差として定義されるインデックス を持つ。言い換えると、

Index( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* )。

これはDの解析指標と呼ばれることもあります。

例:多様体が円 ( R / Zと考えられる) で、Dが何らかの複素定数 λ に対する演算子 d/dx − λ であるとします (これは楕円演算子の最も単純な例です)。すると、 λ が 2π iの整数倍で、そうでない場合は 0 である場合には核は exp(λ x ) の倍数の空間となり、随伴の核は λ をその複素共役に置き換えた同様の空間となります。したがって、D のインデックスは 0 になります。この例は、楕円演算子の核と余核が楕円演算子の変化に応じて不連続にジャンプする可能性があるため、連続的な位相データの観点から見た次元の適切な式がないことを示しています。ただし、核と余核の次元のジャンプは同じであるため、次元の差によって与えられるインデックスは実際に連続的に変化し、インデックス定理によって位相データの観点から与えることができます。

滑らかなベクトル束と次元コンパクト多様体間の楕円微分作用素の位相的指数は次のように与えられる。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

言い換えれば、混合コホモロジー類 の最高次元成分の、多様体の基本ホモロジー類に対する符号の差までの値である。ここで、 ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$は、の複素化接バンドルのトッド類です。${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$は に等しい。ここで ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$は球面束のトム同型である${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$チャーンのキャラクター
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$は、上の2 つのベクトル束とに関連付けられたの「差分元」であり、部分空間 上のそれらの同型性です。${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$${\displaystyle p^{*}E}$${\displaystyle p^{*}F}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle \sigma (D)}$${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$のシンボルです${\displaystyle D}$

場合によっては、計算上の都合で上記の式を簡略化できる。特に、が非ゼロのオイラー類を持つ次元の向き付け可能な（コンパクト）多様体である場合、トム同型を適用してオイラー類で割ると、^{[26] [27]}位相指数は次のように表される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle e(TX)}$

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

ここで、分割は分類空間のコホモロジー環から引き戻すことによって意味を持ちます。 ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$ ${\displaystyle BSO}$

K 理論のみを使用して位相インデックスを定義することもできます (この代替定義は、ある意味で上記のチャーン キャラクタ構成と互換性があります)。X が多様体Yのコンパクトな部分多様体である場合、K( TX ) から K( TY ) へのプッシュフォワード (または「シュリーク」) マップが存在します。K( TX )の要素の位相インデックスは、この操作とYのあるユークリッド空間の像として定義され、K( TY ) は整数Zと自然に同一視できます(ボット周期性の結果として)。このマップは、ユークリッド空間へのXの埋め込みとは無関係です。ここで、上記のような微分演算子は自然に K( TX )の要素を定義し、このマップの下のZの像が位相インデックスです。

通常どおり、D はコンパクト多様体X上のベクトル束EとF間の楕円微分作用素です。

インデックス問題とは、シンボルsと多様体およびベクトル束から得られる位相データのみを使用して、 Dの (解析的) インデックスを計算することです。アティヤ・シンガーのインデックス定理はこの問題を解決し、次のように述べています。

Dの解析的インデックスはその位相的インデックスに等しい。

定義が複雑であるにもかかわらず、位相インデックスを明示的に評価するのは通常簡単です。そのため、解析インデックスを評価することができます。(楕円演算子の余核と核を個別に評価するのは一般に非常に困難です。インデックス定理は、通常、少なくともそれらの差を評価できることを示しています。) 多様体の多くの重要な不変量 (シグネチャなど) は、適切な微分演算子のインデックスとして与えることができるため、インデックス定理により、これらの不変量を位相データの観点から評価できます。

解析的インデックスは、通常は直接評価するのが難しいですが、少なくとも明らかに整数です。位相的インデックスは定義により有理数ですが、定義からそれが整数であることも通常はまったく明らかではありません。したがって、アティヤ・シンガーのインデックス定理は、位相的インデックスが整数であることを意味するため、いくつかの深い整数性特性を意味します。

楕円微分演算子のインデックスは、演算子が自己随伴である場合は明らかにゼロになります。多様体Xが奇数次元の場合もインデックスはゼロになりますが、奇数次元でもインデックスがゼロにならない擬微分楕円演算子も存在します。

グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、実多様体の設定におけるこの定理の対応物であるため、指数定理の背後にある主な動機の1つでした。さて、コンパクトで安定なほぼ複素多様体の写像がある場合、可換図式が存在します^[28]${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

が点である場合、上記のステートメントを復元します。これが複素ベクトル束のグロタンディーク群です。この可換図は、右側のコホモロジー群が滑らかな多様体のチョウ環に置き換えられ、左側のグロタンディーク群が代数的ベクトル束のグロタンディーク群によって与えられるため、形式的には GRR 定理と非常に似ています。 ${\displaystyle Y=*}$${\displaystyle K(X)}$

(テレマン 1983)、(テレマン 1984) による:

閉じた、方向付けられた、位相多様体上の任意の抽象楕円演算子 (Atiyah 1970) の場合、解析インデックスは位相インデックスに等しくなります。

この結果の証明は、ホッジ理論の組合せ多様体およびリプシッツ多様体への拡張 (Teleman 1980)、(Teleman 1983)、アティヤ-シンガーのシグネチャ演算子のリプシッツ多様体への拡張 (Teleman 1983)、カスパロフの K ホモロジー (Kasparov 1972)、および位相的コボルディズム (Kirby & Siebenmann 1977) を含む特定の考慮に基づいて行われます。

この結果は、指数定理が単なる微分可能性の記述ではなく、むしろ位相的な記述であることを示しています。

(ドナルドソン & サリバン 1989)、(コンネス、サリバン & テレマン 1994) による:

任意の準共形多様体に対して、ヒルツェブルフ・トム特性類の局所構成が存在する。

この理論は、偶数次元の準共形多様体上の中次微分形式上で定義される シグネチャ演算子Sに基づいています (Donaldson & Sullivan 1989 と比較)。

位相的コボルディズムと K ホモロジーを使用すると、準共形多様体に関する指数定理の完全な記述を提供できます (Connes、Sullivan、Teleman 1994 の 678 ページを参照)。この研究 (Connes、Sullivan、Teleman 1994) は、「次元 2 の測定可能なリーマン写像と次元 4 のヤン・ミルズ理論の高次元相対に基づく特性クラスのローカル構成を提供します。」

これらの結果は、シンガーのプログラム「数学の展望」 (シンガー 1971)に沿った重要な進歩です。同時に、位相多様体上の有理ポントリャギン類の効果的な構成も提供します。この論文 (テレマン 1985) は、トムの有理ポントリャギン類のオリジナルの構成 (トム 1956) と指数理論を結び付けています。

インデックス式は位相的な記述であることを言及することは重要です。Milnor、Kervaire、Kirby、Siebenmann、Sullivan、Donaldson による妨害理論は、位相多様体のごく一部だけが微分可能な構造を持ち、これらは必ずしも一意ではないことを示しています。Sullivan の Lipschitz および準共形構造に関する結果 (Sullivan 1979) は、4 次元以外の位相多様体は、一意な構造 (恒等に近い同位体まで) を持つことを示しています。

準共形構造 (Connes、Sullivan、Teleman 1994)、およびより一般的にはM. Hilsum (Hilsum 1999) によって導入されたL ^p構造、 p > n ( n +1)/2 は、指数定理が成り立つことが知られている n次元の位相多様体上の最も弱い解析構造です。

• アティヤ・シンガー定理は、楕円微分作用素の場合とほぼ同じように、楕円擬微分作用素にも適用されます。実際、技術的な理由から、初期の証明のほとんどは、微分作用素ではなく擬微分作用素で行われました。擬微分作用素の柔軟性が、証明のいくつかのステップを容易にしたからです。
• 2 つのベクトル束の間の楕円作用素を扱う代わりに、ベクトル束の楕円複体 を扱う方が便利な場合があります。違いは、記号が正確なシーケンス (ゼロ セクション以外) を形成することです。複体に 2 つの非ゼロ バンドルしかない場合、これは記号がゼロ セクション以外の同型であることを意味します。したがって、2 つの項を持つ楕円複体は、2 つのベクトル束の間の楕円作用素と本質的に同じです。逆に、楕円複体のインデックス定理は、楕円作用素の場合に簡単に還元できます。2 つのベクトル束は、複体の偶数項または奇数項の和で与えられ、楕円作用素は、楕円複体の作用素とその随伴作用素の和であり、偶数バンドルの和に制限されます。$${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$
• 多様体に境界が許される場合、有限の指数を保証するために、楕円型作用素の定義域に何らかの制約を課さなければならない。これらの条件は局所的なもの（境界で定義域のセクションが消えることを要求するなど）でも、より複雑な大域的な条件（定義域のセクションが何らかの微分方程式を解くことを要求するなど）でもよい。局所的なケースは Atiyah と Bott によって解決されたが、彼らは多くの興味深い作用素（例えば、シグネチャ作用素）が局所的な境界条件を許容しないことを示した。これらの作用素を扱うために、Atiyah、PatodiおよびSinger は境界に沿って多様体に円筒を取り付け、次に定義域を円筒に沿って平方積分可能なセクションに制限することと等価な大域的な境界条件を導入した。この観点は、Melrose (1993) による Atiyah–Patodi–Singer 指数定理の証明で採用されている。
• 楕円演算子を 1 つだけ考えるのではなく、ある空間Yによってパラメータ化された楕円演算子の族を考えることができます。この場合、インデックスは整数ではなく、 Yの K 理論の要素です。族内の演算子が実数の場合、インデックスはYの実 K 理論内にあります。これにより、 Yの実 K 理論から複素 K 理論への写像が常に単射であるとは限らないため、少し余分な情報が得られます。
• 楕円作用素と可換なコンパクト多様体Xへの群Gの群作用がある場合、通常の K 理論を同変 K 理論に置き換えることができます。さらに、レフシェッツの不動点定理の一般化が得られ、項は群Gの不動点部分多様体から来ます。同変指数定理も参照してください。
• Atiyah (1976) は、コンパクト商を持つ離散群によって作用されるいくつかの非コンパクト多様体に指数定理を拡張する方法を示した。楕円演算子の核は、この場合一般に無限次元であるが、フォン・ノイマン代数上のモジュールの次元を使用して有限の指数を得ることは可能であり、この指数は一般に整数値ではなく実数値である。このバージョンはL ²指数定理と呼ばれ、Atiyah & Schmid (1977) によって半単純リー群の離散級数表現の特性を再導出するために使用された。
• カリアスの指数定理は、非コンパクトな奇数次元空間上のディラック作用素の指数定理である。アティヤ-シンガー指数はコンパクト空間でのみ定義され、次元が奇数のときは消える。1978年、コンスタンティン・カリアスは、博士課程の指導教官であるローマン・ジャキウの提案により、軸異常を利用して、ヒッグス場と呼ばれるエルミート行列を備えた空間上のこの指数定理を導出した。^[29]ディラック作用素の指数は、無限遠球面上のヒッグス場の巻きを測定する位相不変量である。U がヒッグス場の方向の単位行列である場合、指数は無限遠の( n −1) 球面上でのU ( dU ) ^{n −1の積分に比例する}。nが偶数の場合、指数は常にゼロである。
  • この不変量の位相的解釈と、ボリス・フェドソフによって提案され、ラース・ヘルマンダーによって一般化されたヘルマンダー指数との関係は、ラウル・ボットとロバート・トーマス・シーリーによって出版された。^[30]

が 次元のコンパクトな有向多様体であるとします。 を余接バンドルの偶数外冪の和、 を奇数外冪の和とすると、をから への写像として定義します。 の解析的指数はのホッジコホモロジーのオイラー特性であり、位相的指数は多様体上のオイラー類の積分です。この演算子の指数式から、チャーン・ガウス・ボネの定理が得られます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n=2r}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$${\displaystyle D=d+d^{*}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \chi (M)}$${\displaystyle M}$

具体的な計算は次のようになります。分割原理の 1 つのバリエーションによれば、 が次元 の実ベクトル束である場合、特性類を含む主張を証明するために、となる複素直線束が存在すると仮定することができます。したがって、チャーン根、、を検討することができます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle n=2r}$${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$

上のようなチャーン根とオイラー類の標準的な性質を用いると、次の式が得られる。チャーン指標とトッド類に関しては、^[31]${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

指数定理を適用すると、

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

これは、チャーン-ガウス-ボネ定理の「位相的」バージョンです（幾何学的な定理は、チャーン-ヴェイユ準同型を適用することによって得られます）。

X を（複素）次元nの複素多様体で、正則ベクトル束Vを持つものとする。ベクトル束EとF を、Vの係数が (0, i )型でiが偶数または奇数の微分形式の束の和とし、微分演算子D をその和と する。

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

Eに制限されます。

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の導出は、楕円作用素ではなく楕円複体の指数定理を用いるとより自然になる。複体を次のようにとることができる。

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

微分は で与えられる。すると、i'番目のコホモロジー群はコヒーレントコホモロジー群 H ⁱ ( X , V ) となるので、この複体の解析的指数はVの正則オイラー特性となる。 ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

複素バンドルを扱っているので、位相インデックスの計算はより単純です。チャーン根を使用して、前の例と同様の計算を行うと、オイラー類は次のように与えられ、 ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

指数定理を適用すると、ヒルツェブルッフ-リーマン-ロッホの定理が得られます。

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

実際、これをすべての複素多様体に対して一般化することができます。ヒルツェブルッフの証明は、射影複素多様体Xに対してのみ有効でした。

Hirzebruchの署名定理は、次元 4 kのコンパクトな有向多様体Xの署名は、多様体のL 種数によって与えられることを述べています。これは、次の署名演算子に適用された Atiyah-Singer の指数定理から得られます。

束EとFは、Xの微分形式の束上の作用素の+1および-1固有空間によって与えられ、k形式に対してホッジスター作用素の倍として作用する。作用素Dはホッジラプラシアンである。${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

Eに制限されます。ここで、dはカルタン外微分、d * はその随伴微分です。

Dの解析的インデックスは多様体Xのシグネチャであり、その位相的インデックスはXの L 種数であるため、これらは等しい。

種数は任意の多様体に対して定義される有理数ですが、一般には整数ではありません。Borel と Hirzebruch は、種数はスピン多様体に対しては整数であり、さらに次元が 4 mod 8 であれば偶数であることを示しました。これは、スピン多様体の種数がディラック演算子のインデックスであることを示すインデックス定理から導き出されます。次元 4 mod 8 の余分な係数 2 は、この場合、ディラック演算子の核と余核が四元数構造を持ち、複素ベクトル空間が偶数次元を持ち、インデックスが偶数であるという事実に由来します。

次元 4 では、この結果は、4 次元スピン多様体のシグネチャが 16 で割り切れるという ロクリン定理を意味します。これは、次元 4 では種数がシグネチャのマイナス 8 分の 1 であるためです。

擬微分演算子は、ユークリッド空間上の定数係数演算子の場合に簡単に説明できます。この場合、定数係数微分演算子は多項式による乗算のフーリエ変換にすぎず、定数係数擬微分演算子はより一般的な関数による乗算のフーリエ変換にすぎません。

指数定理の証明の多くは、微分演算子ではなく擬似微分演算子を使用します。その理由は、多くの目的に対して微分演算子が十分ではないためです。たとえば、正の位数の楕円微分演算子の擬似逆は微分演算子ではありませんが、擬似微分演算子です。また、K(B( X ), S ( X )) (クラッチ関数) の元を表すデータと楕円擬似微分演算子のシンボルの間には直接的な対応があります。

擬微分作用素は、任意の実数または -∞ にできる順序を持ち、記号 (余接空間上の多項式ではなくなる) を持ちます。楕円微分作用素は、十分に大きな余接ベクトルに対して記号が逆になる作用素です。指数定理のほとんどのバージョンは、楕円微分作用素から楕円擬微分作用素に拡張できます。

最初の証明はヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理（1954年）に基づいており、コボルディズム理論と擬微分演算子が含まれていました。

この最初の証明の考え方は、おおよそ次のとおりです。ペア ( X , V ) によって生成される環を考えます。ここで、V は、コンパクトで滑らかな有向多様体X上の滑らかなベクトル束であり、これらの生成元上の環の和と積は、多様体の互いに素な和と積 (ベクトル束に対する明らかな演算を含む) によって与えられ、ベクトル束を持つ多様体の任意の境界は 0 です。これは、有向多様体のコボルディズム環に似ていますが、多様体にもベクトル束がある点が異なります。位相的インデックスと解析的インデックスは、どちらもこの環から整数への関数として再解釈されます。次に、これら 2 つの関数が実際には両方とも環準同型であることを確認します。これらが同じであることを証明するには、この環の生成元のセット上で同じであることを確認するだけで済みます。トムのコボルディズム理論は、生成元のセット、たとえば、自明なバンドルと偶数次元球面上の特定のバンドルを含む複素ベクトル空間を提供します。したがって、指数定理は、これらの特に単純なケースで確認することによって証明できます。

Atiyah と Singer が最初に発表した証明では、コボルディズムではなくK 理論が使用されました。 i がXからYへのコンパクト多様体の任意の包含である場合、彼らは、インデックスを保存するXの楕円作用素からYの楕円作用素への「プッシュフォワード」演算i _!を定義しました。Y をX が埋め込まれている球面とすると、これによりインデックス定理が球面の場合に簡約されます。Yが球面で、X がYに埋め込まれた点である場合、 Y上の任意の楕円作用素は、点上の楕円作用素のi _!による像です。これにより、インデックス定理が点の場合に簡約され、その場合は自明になります。

Atiyah、Bott、およびPatodi (1973)は、熱方程式 を使用した指数定理の新しい証明を与えました。たとえば、Berline、Getzler、Vergne (1992)を参照してください。この証明は、(Melrose 1993)および(Gilkey 1994)にも掲載されています。

D が随伴D* を持つ微分作用素である場合、D*DとDD*は、非ゼロの固有値が同じ重複度を持つ自己随伴作用素です。ただし、それらのゼロ固有空間は、重複度がDとD*の核の次元であるため、異なる重複度を持つ場合があります。したがって、 Dのインデックスは次のように与えられます。

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

任意の正のtに対して成り立つ。右辺は、2つの熱作用素の核の差のトレースで与えられる。これらは、小さな正のtに対して漸近展開を持ち、これを使ってt が0に近づくときの極限を評価でき、アティヤ・シンガー指数定理の証明となる。小さなtに対する漸近展開は非常に複雑に見えるが、不変理論によれば項の間に大きな打ち消しがあり、それによって主要な項を明示的に見つけることができる。これらの打ち消しは、後に超対称性を使って説明された。

• (-1)F  – 量子場理論における項Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ウィッテン指数 – 修正パーティション関数

アティヤの論文は、彼の全集第3巻と第4巻に再録されている（アティヤ1988a、1988b）。

• Mazzeo, Rafe. 「アティヤ・シンガー指数定理: それが何であるか、そしてなぜ気にする必要があるのか​​」(PDF)。2006 年 6 月 24 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006 年1 月 3 日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)PDFプレゼンテーション。
• Voitsekhovskii, MI; Shubin, MA (2001) [1994]、「指数式」、数学百科事典、EMS Press
• Wassermann, Antony . 「Atiyah-Singer 指数定理に関する講義ノート」。2017 年 3 月 29 日時点のオリジナルよりアーカイブ。

• ラウセン、マーティン、スカウ、クリスチャン（2005）、「マイケル・アティヤとイサドア・シンガーへのインタビュー」（PDF）、AMSの通知、pp.  223-231
• RR Seeley 他 (1999) 指数理論と擬似微分演算子の初期の頃の思い出 - 1998 年 9 月にデンマークのロスキレで開催されたシンポジウムでの夕食後の非公式な会話の部分的な記録。