ボルテラ積分方程式

数学において、ボルテラ積分方程式は、ヴィト・ボルテラにちなんで名付けられた特殊なタイプの積分方程式である。^{[ 1 ]}これらは、第1種と第2種と呼ばれる2つのグループに分けられる。

第一種線形ボルテラ方程式は

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

どこ${\displaystyle f(t)}$は与えられた関数であり、${\displaystyle x(t)}$決定する必要がある。第2種線形ボルテラ方程式は

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.}$

作用素論、特にフレドホルム理論において、対応する作用素はボルテラ作用素と呼ばれます。このような方程式を解くための有用な方法であるアドミアン分解法は、ジョージ・アドミアンによって考案されました。

線形ボルテラ積分方程式は、以下の条件を満たす場合に畳み込み方程式となる。

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(ts)x(s)\,ds.}$

機能${\displaystyle K}$積分における は核と呼ばれます。このような方程式は、ラプラス変換の手法を用いて解析および解くことができます。

弱特異核の形式の場合${\displaystyle K(t,s)=(t^{2}-s^{2})^{-\alpha }}$と${\displaystyle 0<\alpha <1}$第一種ボルテラ積分方程式は、古典的なアーベル積分方程式に簡単に変換できる。

ボルテラ積分方程式は、ヴィト・ボルテラによって導入され、その後、エミール・ピカールの指導の下、トライアン・ラレスクが1908年に執筆した論文『ボルテラ方程式について』の中で研究された。1911年、ラレスクは積分方程式に関する史上初の書籍を著した。

ボルテラ積分方程式は、人口統計学ではロトカ積分方程式として、^{[ 2 ]}粘弾性材料の研究、保険数理学では再生方程式として、^{[ 3 ]}有限サイズの境界付近の流れの挙動を記述する流体力学で応用されている。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

第一種線形ボルテラ方程式は、以下の条件を仮定すれば、常に第二種線形ボルテラ方程式に還元できる。${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$ボルテラ方程式の第一種微分をとると、次の式が得られます。$${\displaystyle {df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)}$$で割ると${\displaystyle K(t,t)}$収量：$${\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds}$$定義する${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}$そして${\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$これは、第一種方程式を第二種線形ボルテラ方程式に変換することを完了する。

第 2 種の線形ボルテラ方程式の数値解を計算する標準的な方法は台形公式であり、等間隔の小区間に対して${\displaystyle \Delta x}$次のように与えられます。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]}$$部分区間の間隔が等しいと仮定すると、ボルテラ方程式の積分項は次のように近似できる。$${\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]}$$定義する${\displaystyle x_{i}=x(s_{i})}$、${\displaystyle f_{i}=f(t_{i})}$、 そして${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})}$線形方程式系は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}}$$これは次の行列方程式と同等です。$${\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f}$$粒度分布が良好なカーネルの場合、台形公式は概ね有効である。

ボルテラ積分方程式が登場する分野の一つに、破産理論、すなわち保険数理学における倒産リスクの研究がある。その目的は、破産確率を定量化することである。${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]}$、 どこ${\displaystyle u}$初期余剰と${\displaystyle \tau (u)}$破滅の時である。古典的な破滅理論モデルでは、純現金ポジションは${\displaystyle X_{t}}$初期余剰金、レートで得られるプレミアム収入の関数です${\displaystyle c}$、および海外への請求${\displaystyle \xi }$:$${\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0}$$どこ${\displaystyle N_{t}}$は、強度を持つ請求件数に関するポアソン過程である。${\displaystyle \lambda }$このような状況下では、破産確率はボルテラ積分方程式の形で表される可能性がある^{[ 6 ]}：$${\displaystyle \psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx}$$どこ${\displaystyle S(\cdot )}$これは、請求分布の生存関数である。

私たちはそのプロセスについて${\displaystyle X_{t}}$確率的ボルテラ 方程式^{[ 7 ]}の解である 場合 ${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}K(t-s)b(x_{s})ds+\int _{0}^{t}K(t-s)\sigma (X_{s})dW_{s}}$

ここで我々は仮定する${\displaystyle X_{t}}$通常の条件を満たす確率空間のフィルタリングに適応させる。この枠組みを用いたモデルの一例として、ラフ・ベルゴミ・モデルが挙げられる。

• フレドホルム積分方程式
• 積分方程式
• 積分微分方程式

• Traian Lalescu、統合理論の序論。 Avec une préface de É. Picard、パリ: A. Hermann et Fils、1912. VII + 152 pp.
• 「ボルテラ方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Weisstein, Eric W. 「第一種ボルテラ積分方程式」 . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. 「第2種ボルテラ積分方程式」 . MathWorld .
• 積分方程式： EqWorld（数学方程式の世界）における厳密解
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「第 19.2 節 ボルテラ方程式」 . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版). ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8。

• IntEQ：ボルテラ積分方程式を数値的に解くためのPythonパッケージ