フレドホルム積分方程式

数学 において、フレドホルム積分方程式は、その解がフレドホルム理論、すなわちフレドホルム核とフレドホルム作用素の研究につながる積分方程式である。積分方程式は、イヴァル・フレドホルムによって研究された。このような方程式を解く便利な方法であるアドミアン分解法は、ジョージ・アドミアンによるものである。

フレドホルム方程式は、カーネル関数 (以下に定義) を含む項が積分限界として定数を持つ積分方程式です。密接に関連する形式は、可変の積分限界を持つボルテラ積分方程式です。

第一種非同次フレドホルム方程式は次のように表される。

問題は、連続カーネル関数と関数が与えられたときに、関数を見つけることです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

これらのタイプの方程式の重要なケースは、核がその引数の差のみの関数である場合、つまり であり、積分限界が ±∞ である場合です。この場合、方程式の右辺は関数と の畳み込みとして書き直すことができ、したがって、形式的には、解は次のように与えられます。 ${\displaystyle K(t,s)=K(t-s)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega }$

ここで、 および はそれぞれ、正フーリエ変換および逆フーリエ変換 です。この場合は通常、フレドホルム積分方程式の範疇には含まれません。フレドホルム積分方程式という名前は、通常、積分演算子がコンパクト演算子を定義する場合に使用されます (非コンパクト群上の畳み込み演算子は非コンパクトです。一般に、 との畳み込み演算子のスペクトルにはの範囲(通常は非可算集合) が含まれるのに対し、コンパクト演算子は離散的な可算スペクトルを持つためです)。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {F}}{K}}$

第二種非同次フレドホルム方程式は次のように与えられる。

カーネル と関数 が与えられた場合、問題は通常、関数を見つけることです 。 ${\displaystyle K(t,s)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \varphi (t)}$

これを解く標準的な方法は反復法を使うことで、これはレゾルベント形式に相当します。級数として書かれた解はリウヴィル・ノイマン級数として知られています。

フレドホルム方程式の基礎となる一般理論はフレドホルム理論として知られています。主要な結果の 1 つは、核 K がコンパクトな演算子を生成することです。コンパクト性は、等連続性を呼び出すことによって示されます。演算子として、0 に向かう 固有値の離散スペクトルの観点から理解できるスペクトル理論があります。

フレドホルム方程式は、信号処理の理論では、例えばデイヴィッド・スレピアンによって普及した有名なスペクトル濃度問題として自然に生じる。関係する演算子は線形フィルタと同じである。また、線形順方向モデリングや逆問題でもよく生じる。物理学では、このような積分方程式を解くことで、実験スペクトルをさまざまな基礎分布、例えばポリマー溶融体中のポリマーの質量分布 ^[1]やシステム内の緩和時間の分布^[2]に関連付けることができる。 さらに、フレドホルム積分方程式は、有限サイズの弾性界面付近の流体力学的相互作用を伴う流体力学の問題でも生じる。^{[3] [4]}

フレドホルム方程式の具体的な応用例としては、コンピュータ グラフィックスにおけるフォトリアリスティックな画像の生成が挙げられます。このとき、フレドホルム方程式は仮想光源から画像平面への光の伝達をモデル化するために使用されます。この文脈では、フレドホルム方程式はレンダリング方程式と呼ばれることがよくあります。

• リウヴィル・ノイマン級数
• ボルテラ積分方程式
• フレドホルムの代替案

• EqWorld の積分方程式: 数学方程式の世界。
• AD ポリアニンと AV マンジロフ、積分方程式ハンドブック、CRC プレス、ボカラトン、1998 年。ISBN 0-8493-2876-4 
• Khvedelidze, BV; Litvinov, GL (2001) [1994]、「フレドホルム核」、数学百科事典、EMS Press
• Simons, FJ; Wieczorek, MA; Dahlen, FA (2006). 「球面上の空間スペクトル集中」SIAM Review . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Bibcode :2006SIAMR..48..504S. doi :10.1137/S0036144504445765.
• Slepian, D. (1983). 「フーリエ解析、不確実性、モデリングに関するコメント」SIAM Review . 25 (3): 379–393. doi :10.1137/1025078.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)。「セクション 19.1. 第 2 種のフレドホルム方程式」。数値レシピ: 科学計算の技法(第 3 版)。ニューヨーク: Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-88068-8. 2011年8月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年8月17日閲覧。
• マシューズ、ジョン; ウォーカー、ロバート L. (1970)、物理学の数学的方法 (第 2 版)、ニューヨーク: WA ベンジャミン、ISBN 0-8053-7002-1 

• IntEQ: フレドホルム積分方程式を数値的に解くための Python パッケージ