航空音響学

航空音響学は、乱流流体運動または表面と相互作用する空気力による騒音発生を研究する音響学の一分野です。騒音発生は、周期的に変化する流れと関連している場合もあります。この現象の顕著な例としては、固定された物体の上を吹く風によって発生する エオリアン音があります。

空気力学的流れによる騒音発生の完全な科学的理論は確立されていないが、ほとんどの実用的な空力音響解析は、1950年代にマンチェスター大学在学中のジェームズ・ライトヒル卿によって提唱された、いわゆる空力音響アナロジー^[1]に依存している。^{[2] [3]}このアナロジーでは、流体の運動の支配方程式が、左辺で「古典的」（すなわち線形）音響の波動方程式を思わせる形に強制変換され、残りの項が右辺のソースとして扱われる。

現代の航空音響学の分野は、ジェットエンジンに関連する騒音発生が科学的な精査の対象となり始めた 1950年代初頭にライトヒル^{[2] [3]が初めて出版したことに始まったと言えます。}

ライトヒル^[2]は、圧縮性粘性流体の流れを支配するナビエ・ストークス方程式を非一様波動方程式に再構成し、流体力学と音響学を結び付けました。これは、厳密に言えば、流れによって誘発/生成されるノイズの物理学に基づくのではなく、圧縮性流体の支配方程式を通じてどのように表現されるかというアナロジーに基づいた音響場のモデルを提示しているため、「ライトヒルのアナロジー」と呼ばれることがよくあります。

連続方程式と運動量方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )&=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }},\end{aligned}}}$

ここで、は流体の密度、は速度場、は流体の圧力、は粘性応力テンソルです。はテンソルであることに注意してください（テンソル積も参照）。 質量保存則を時間に関して微分し、最後の式の発散を取り、前者から後者を引くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v } )+\nabla p-\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\right].}$

最後の式の両辺から、平衡状態（または静止状態）における媒体中の音速を引くと、有名な航空音響学のライトヒル方程式が得られる。 ${\displaystyle c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho }$${\displaystyle c_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \nabla :\ mathbf {T} ,\quad \mathbf {T} =\rho \mathbf {v} \mathbf {v} +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }},}$

ここで はヘッセ行列で、 は音響場に対するいわゆるライトヒル乱流応力テンソルである。ライトヒル方程式は非同次波動方程式である。アインシュタイン記法を用いると、ライトヒル方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle \nabla \nabla }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}-\tau _{ij}.}$

音響源の各項、すなわち 内の項は、考慮される流れの状態に応じて、騒音の発生に重要な役割を果たす可能性があります。最初の項は流れの慣性効果（またはオズボーン・レイノルズ によって開発されたレイノルズ応力）を表しますが、2 番目の項は非線形音響生成プロセスを表します。そして最後の項は粘性力による音の生成/減衰に対応します。 ${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle \rho v_{i}v_{j}}$${\displaystyle (p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}}$${\displaystyle \tau_{ij}}$

実際には、ジェット騒音のような乱流騒音発生問題では粘性の影響は小さいため、流体に対する粘性の影響を無視するのが通例です。Lighthill ^[2]はこの問題について詳細な議論を行っています。

航空音響の研究では、存在する関連する空力騒音生成メカニズムに関して説明するために、ライトヒル方程式の音響源項を解く理論的および計算的努力が行われます。最後に、ライトヒル方程式は、その導出においていかなる種類の近似も行われていないという意味で 正確であることを認識することが重要です。

流体力学の古典的テキストで、ランダウとリフシッツ^[4]は、ライトヒルの方程式（つまり、「乱流」流体運動によって生成される音の方程式）に類似した空力音響方程式を導出しているが、これは非粘性流体の非圧縮性流れを対象としている。彼らが得た不均質波動方程式は、流体の密度ではなく圧力に関するものである。さらに、ライトヒルの方程式とは異なり、ランダウとリフシッツの方程式は正確ではなく、近似値である。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho}$

近似値を求める場合、より簡単な方法（必ずしも流体が非圧縮性であると仮定しなくても）でライトヒルの方程式の近似値を求めることができます。ここで、と は平衡状態の流体の（特性）密度と圧力です。次に、圧力と密度の仮定関係を に代入すると、次の方程式が得られます（非粘性流体の場合、σ = 0）。 ${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$${\displaystyle \rho_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle (*)\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.}$

そして、流体が実際に非圧縮性である場合、すなわち（ある正の定数に対して）どこでも非圧縮性である場合、ランダウとリフシッツ^[4]で与えられた式 と全く同じ式が得られる。${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$${\displaystyle \rho_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.}$

同様の近似（式 の文脈において）である が、Lighthill ^[2]によって提案されている（後者の論文の式（7）を参照）。 ${\displaystyle (*)\,}$${\displaystyle T\approx \rho _{0}{\hat {T}}}$

もちろん、 と仮定することが正当であるかどうか疑問に思う人もいるかもしれません。流れが特定の基本仮定を満たしている場合、答えは「はい」です。特に、およびの場合、仮定された関係は音波の線形理論から直接得られます(たとえば、線形化されたオイラー方程式と音波方程式を参照)。実際、仮定したと の間の近似関係は、流体の 一般的な順圧状態方程式の線形近似にすぎません。${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$${\displaystyle \rho \ll \rho _{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho}$

しかし、上記の検討を行った後でも、非線形波動方程式を単純化するために本質的に線形な関係を使用することが正当であるかどうかは依然として明らかではありません。とはいえ、この主題に関する教科書（例えば、Naugolnykh と Ostrovsky ^[5]や Hamilton と Morfey ^{[6]）が示すように、これは}非線形音響学では非常に一般的な方法です。

• 音響理論
• エオリアンハープ
• 計算流体音響学

• MJ Lighthill、「空気力学的に生成される音について。I. 一般理論」、Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) pp. 564–587。この記事は JSTOR にあります。
• MJ Lighthill、「空気力学的に生成される音について。II. 音源としての乱流」、Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) pp. 1–32。この記事は JSTOR にあります。
• LD Landau および EM Lifshitz、「流体力学第 2 版」、理論物理学講座第 6 巻、Butterworth-Heinemann (1987) §75。ISBN 0-7506-2767-0 、Amazon からプレビュー。
• K. Naugolnykh および L. Ostrovsky、「Nonlinear Wave Processes in Acoustics」、Cambridge Texts in Applied Mathematics vol. 9、Cambridge University Press (1998) 第 1 章。ISBN 0-521-39984 -X、Google からのプレビュー。 
• MF Hamilton および CL Morfey、「Model Equations」、Nonlinear Acoustics、MF Hamilton および DT Blackstock 編、Academic Press (1998) 第 3 章。ISBN 0-12-321860-8、Google からのプレビュー。 
• ミシシッピ大学の航空音響学
• ルーヴェン大学の航空音響学
• 国際航空音響学ジャーナル 2005-10-30ウェイバックマシンにアーカイブ
• NASA の航空音響学における例 2016-03-04 にWayback Machineでアーカイブ
• エアロアコースティックス.info