収益率

金融において、リターンとは投資による利益のことである。^[1]リターンとは、投資価値の変化、および/または投資家が指定された期間内にその投資から受け取るキャッシュフロー（または証券、またはその他の投資）であり、利払い、クーポン、現金配当、株式配当などがある。リターンは絶対値（例：ドル）または投資額のパーセンテージで測定される。後者は保有期間リターンとも呼ばれる。

投資額がゼロより大きいと仮定すると、 利益ではなく損失はマイナスのリターンとして表されます。

異なる期間の長さのリターンを平等に比較するには、各リターンを標準的な期間の長さのリターンに変換すると便利です。変換の結果は収益率と呼ばれます。^[2]

通常、期間は 1 年であり、この場合の収益率は年率収益率とも呼ばれ、以下に説明する変換プロセスは年率化と呼ばれます。

投資収益率( ROI) は、投資したドルあたりの収益です。これは、規模とは対照的な投資パフォーマンスの尺度です (自己資本利益率、資産利益率、投下資本利益率を参照)。

リターン、または保有期間リターンは、単一期間にわたって計算できます。単一期間は任意の長さの期間とすることができます。

ただし、全体の期間は連続するサブ期間に分割される場合もあります。つまり、複数の期間があり、各サブ期間は前の期間が終了した時点から始まります。このような場合、複数の連続するサブ期間がある場合は、全体の期間のリターンまたは保有期間のリターンは、各サブ期間内のリターンを組み合わせることによって計算できます。

任意の期間にわたる単一期間の リターンまたは保有期間リターン を計算する直接的な方法は次のとおりです。${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\frac {V_{f}-V_{i}}{V_{i}}}}$

どこ：

${\displaystyle V_{f}}$= 配当金と利息を含む最終価値

${\displaystyle V_{i}}$= 初期値

たとえば、開始価格 10 で 100 株を購入した場合、開始値は 100 x 10 = 1,000 です。株主が 1 株あたり 0.50 の現金配当を受け取り、最終株価が 9.80 の場合、最終的に株主は 100 x 0.50 = 50 の現金と 100 x 9.80 = 980 株を保有し、最終値の合計は 1,030 になります。価値の変化は 1,030 − 1,000 = 30 なので、リターンは です。 ${\displaystyle {\frac {30}{1,000}}=3\%}$

リターンは、資産または負債、あるいはショートポジションの規模の増加を測定します。

負の初期値は通常、負債またはショートポジションで発生します。初期値が負で、最終値がさらに負の場合、リターンはプラスになります。このような場合、プラスのリターンは利益ではなく損失を表します。

初期値がゼロの場合、リターンは計算できません。

リターン、つまり収益率は、測定通貨によって異なります。たとえば、10,000 米ドルの現金預金が 1 年間で 2% の利息を生むとすると、年末の価値は利息を含めて 10,200 米ドルになります。年間のリターンは、米ドルで測定すると 2% になります。

また、年初に日本円の為替レートが 1 ドルあたり 120 円、年末に 1 ドルあたり 132 円だったとします。この期間に 1 ドルの円の価値は 10% 増加しました。

預金の価値は年初に 120 万円、年末には 10,200 x 132 = 1,346,400 円になります。したがって、年間の預金収益は円換算で次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1,346,400-1,200,000}{1,200,000}}=12.2\%}$

これは、円で投資を開始し、ドルに換金し、米ドルの預金に投資し、最終的な収益を再び円に換金する投資家、または比較の目的で日本円で収益を測定したい投資家が得る収益率です。

再投資がない場合、一定期間の収益は収益率に相当します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\frac {R}{t}}}$

たとえば、初期投資額 100,000 ドルに対して 20,000 ドルの利益が得られたとします。これは、20,000 ドルを 100,000 ドルで割った利益で、20 パーセントになります。20,000 ドルは、5 年間にわたって 4,000 ドルずつ 5 回に分けて不定期に支払われ、再投資は行われず、分割払いのタイミングに関する情報も提供されません。利益率は 4,000 / 100,000 = 年間 4% です。

ただし、複利効果により収益が再投資されると仮定すると、収益率と一定期間の収益の関係は次のようになります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle 1+R=(1+r)^{t}}$

これを使用して、収益を複利収益率に変換できます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=(1+R)^{\frac {1}{t}}-1={\sqrt[{t}]{1+R}}-1}$

たとえば、3 か月間で 33.1% の利回りは次の利率に相当します。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.331}}-1=10\%}$

再投資により毎月。

年換算は、上記で説明したように、期間の長さを年単位で測定し、収益率を年単位で表した 収益率に変換するプロセスです。${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$

CFA協会のグローバル投資パフォーマンス基準（GIPS）によれば、^[3]

「1 年未満の期間の収益は年間換算してはいけません。」

これは、1年未満の期間の年率収益率が、リスクが伴う長期の年率収益率を示すとは統計的に考えにくいためです。^[4]

1 年未満の期間の収益を年換算すると、その年の残りの期間も同じ収益率になる可能性が最も高いことを示唆していると解釈され、実質的には年間を通じてその収益率を予測することになります。

これは、重大なリスクが伴わない金利や利回りには適用されないことに注意してください。翌日物銀行間金利など、1 年未満の期間の借入または貸出については、年率収益率を引用するのが一般的です。

対数収益または連続複利収益（利子の力とも呼ばれる）は次のようになります。

${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)}$

対数収益率は次のようになります。

${\displaystyle r_{\mathrm {log} }={\frac {\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)}{t}}}$

あるいは、それは次の方程式の 解です。${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{f}=V_{i}e^{r_{\mathrm {log} }t}}$

どこ：

${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$= 対数収益率

${\displaystyle t}$= 期間の長さ

たとえば、ある日の終値で株価が 1 株あたり 3.570 米ドルで、翌日の終値で株価が 1 株あたり 3.575 米ドルだった場合、対数リターンは ln(3.575/3.570) = 0.0014、つまり 0.14% となります。

再投資を前提とすると、対数収益と一定期間にわたる対数収益率の関係は次のようになります。 ${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=r_{\mathrm {log} }t}$

が年単位で測定される 場合、収益 の年換算対数収益率も同様です。${\displaystyle r_{\mathrm {log} }={\frac {R_{\mathrm {log} }}{t}}}$${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle t}$

たとえば、ある証券の1取引日あたりの対数収益が0.14%で、年間の取引日数が250日と仮定すると、年間対数収益率は0.14%/(1/250) = 0.14% x 250 = 35%となります。

一連のサブ期間にわたってリターンが計算される場合、各サブ期間のリターンはサブ期間の開始時の投資価値に基づきます。

投資額が当初は で、第 1 期末には であるとします。期間中に流入も流出もない場合、第 1 期の保有期間収益は次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R_{1}}$

${\displaystyle R_{1}={\frac {B-A}{A}}}$

${\displaystyle 1+R_{1}=1+{\frac {B-A}{A}}={\frac {B}{A}}}$最初の期間の成長要因です。

利益と損失が再投資される場合、つまり、引き出しも支払いもされない場合、第 2 期間の開始時の投資の価値は、つまり、第 1 期間の終了時の価値と同じになります。 ${\displaystyle B-A}$${\displaystyle B}$

第 2 期間末の投資価値が の場合、第 2 期間の保有期間収益は次のようになります。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle R_{2}={\frac {C-B}{B}}}$

各期間の成長係数を掛け合わせると、 次のようになります。 ${\displaystyle 1+R_{1}}$${\displaystyle 1+R_{2}}$

${\displaystyle (1+R_{1})(1+R_{2})=\left({\frac {B}{A}}\right)\left({\frac {C}{B}}\right)={\frac {C}{A}}}$

${\displaystyle (1+R_{1})(1+R_{2})-1={\frac {C}{A}}-1={\frac {C-A}{A}}}$連続する 2 つの期間にわたる保有期間の収益です。

この方法は、時間加重法、または幾何結合法、あるいは連続する 2 つのサブ期間の保有期間のリターンを複合的に計算する方法と呼ばれます。

この方法を期間に拡張し、収益が再投資されると仮定すると、連続する期間サブ期間の収益が である場合、時間加重法を使用した全期間の累積収益または全体収益は、すべての成長要因を複利で計算した結果になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3},\cdots ,R_{n}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle 1+R=(1+R_{1})(1+R_{2})\cdots (1+R_{n})}$

ただし、リターンが対数リターンである場合、全体の期間にわたる対数リターンは次のようになります。 ${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=\sum _{i=1}^{n}R_{\mathrm {log} ,i}=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}+R_{\mathrm {log} ,3}+\cdots +R_{\mathrm {log} ,n}}$

この式は収益の再投資を前提として適用され、連続する対数収益を合計できること、つまり対数収益は加算可能であることを意味します。^[5]

流入と流出がある場合、この式は定義により時間加重収益には適用されますが、一般的には金額加重収益には適用されません（連続する期間の金額加重収益に基づく成長係数の対数を組み合わせることは、一般的にこの式に準拠しません）。^[要出典]

同じ長さの期間にわたる算術平均収益率は次のように定義されます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {r}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{i}}={\frac {1}{n}}(r_{1}+\cdots +r_{n})}$

この式は、連続する等しい期間にわたる一連の対数収益率に使用できます。

この式は、収益の再投資がなく、損失が資本投資の補充によって補填され、すべての期間の長さが同じである場合にも使用できます。

複利が実行されている場合（つまり、利益が再投資され、損失が累積される場合）、すべての期間の長さが同じである場合、時間加重法を使用すると、適切な平均収益率はn期間にわたる収益の幾何平均となり、次のようになります。

${\displaystyle {\bar {r}}_{\mathrm {geometric} }=\left(\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i})\right)^{\frac {1}{n}}-1={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i})}}-1}$

幾何平均収益は、 n期間全体の累積収益を期間ごとの収益率に変換したものに相当します。個々のサブ期間がそれぞれ等しく (たとえば 1 年)、収益の再投資がある場合、年間累積収益は幾何平均収益率になります。

たとえば、再投資を想定すると、50%、-20%、30%、-40% の 4 つの年間収益の累積収益は次のようになります。

${\displaystyle (1+0.50)(1-0.20)(1+0.30)(1-0.40)-1=-0.0640=-6.40\%}$

幾何平均リターンは次のとおりです。

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{(1+0.50)(1-0.20)(1+0.30)(1-0.40)}}-1=-0.0164=-1.64\%}$

年率累積収益と幾何収益は次のように関係します。

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1-0.0640}}-1=-0.0164}$

ポートフォリオに出入りする現金や証券などの外部フローが存在する場合、リターンはこれらの動きを補正して計算する必要があります。これは、時間加重リターンなどの方法を使用して達成されます。時間加重リターンは、キャッシュフローの影響を補正します。これは、通常、顧客がこれらのキャッシュフローを管理する場合に、顧客に代わって資産運用マネージャーのパフォーマンスを評価するのに役立ちます。^[6]

手数料控除後の収益を測定するには、ポートフォリオの価値を手数料の額だけ減額します。手数料控除後の収益を計算するには、手数料を外部フローとして処理して補正し、発生した手数料を評価から除外します。

時間加重収益率と同様に、金額加重収益率(MWRR) またはドル加重収益率もキャッシュフローを考慮します。これらは、プライベート エクイティなど、マネー マネージャーがキャッシュフローを管理するケースを評価および比較するのに役立ちます。(外部フローを管理していないマネー マネージャーのパフォーマンスを測定するのに最も適した、真の時間加重収益率とは対照的です。)

内部収益率( IRR) (貨幣加重収益率の一種) は、キャッシュフローの正味現在価値がゼロになる収益率です。これは、次の式を満たす 解です。${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\mbox{NPV}}=\sum _{t=0}^{n}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}=0}$

どこ：

NPV = 正味現在価値

そして

${\displaystyle {C_{t}}}$=時点の純キャッシュフロー。初期値と最終値を含み、それぞれ開始時と終了時のその他のフローを差し引いたもの。(初期値は流入として扱われ、最終値は流出として扱われます。)${\displaystyle {t}}$${\displaystyle {C_{0}}}$${\displaystyle {C_{n}}}$

内部収益率が資本コスト（要求収益率とも呼ばれる）よりも高い場合、投資は付加価値を生み出します。つまり、資本コストで割り引いたキャッシュフローの正味現在価値はゼロより大きくなります。そうでない場合、投資は付加価値を生み出しません。

特定のキャッシュフローのセットに対して、必ずしも内部収益率が存在するわけではないことに注意してください (つまり、方程式の実数解の存在は、キャッシュフローのパターンに依存します)。方程式の実数解が複数存在する場合もあり、最も適切な解を決定するには何らかの解釈が必要になります。 ${\displaystyle {\mbox{NPV}}=0}$

複数のサブ期間にわたる金額加重リターンは、時間加重リターンとは異なり、上記の方法を使用してサブ期間内の金額加重リターンを組み合わせた結果とは通常等しくないことに注意してください。

投資の価値は、収益が +100% の場合、つまり、= ln($200 / $100) = ln(2) = 69.3% の場合、2 倍になります。= -100% の場合、価値はゼロになります。通常の収益は、ゼロ以外の初期投資額と、正または負の最終値に対して計算できますが、対数収益は の場合にのみ計算できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle r}$${\displaystyle V_{f}/V_{i}>0}$

通常リターンと対数リターンは、ゼロの場合にのみ等しくなりますが、小さい場合はほぼ等しくなります。両者の差は、パーセントの変化が大きい場合にのみ大きくなります。たとえば、算術リターン +50% は対数リターン 40.55% に相当し、算術リターン -50% は対数リターン -69.31% に相当します。

対数リターンの利点:

• 対数収益は対称ですが、通常の収益は対称ではありません。同じ大きさの正と負の通常の収益は互いに打ち消し合って純増減にはなりませんが、同じ大きさで符号が反対の対数収益は互いに打ち消し合います。つまり、100 ドルの投資で算術収益が 50% の後に算術収益が -50% になると、75 ドルになりますが、100 ドルの投資で対数収益が 50% の後に対数収益が -50% になると、100 ドルに戻ります。
• 対数収益は、連続複利収益とも呼ばれます。つまり、複利の頻度は重要ではなく、異なる資産の収益を比較しやすくなります。
• 対数収益は時間加法的であり^[7]、つまり、およびが連続する期間の対数収益である場合、全体の対数収益は個々の対数収益の合計、すなわち となる。${\displaystyle R_{\mathrm {log} ,1}}$${\displaystyle R_{\mathrm {log} ,2}}$${\displaystyle R_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {log} }=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}}$
• 対数収益を使用すると、モデル内の投資価格がマイナスになることを防ぎます。

一般的に、幾何平均収益率は算術平均収益率よりも低くなります。2 つの平均は、すべてのサブ期間収益率が等しい場合にのみ等しくなります。これはAM-GM 不等式の結果です。年率収益率と平均年間収益率の差は収益率の分散とともに大きくなります。パフォーマンスの変動が大きいほど、差は大きくなります。^{[注 1]}

たとえば、+10% のリターンの後に -10% が続く場合、算術平均リターンは 0% になりますが、2 つのサブ期間の全体的な結果は 110% x 90% = 99% となり、全体的なリターンは -1% になります。損失と利益の発生順序は結果に影響しません。

リターンが +20% で、その後に -20% が続く場合、平均リターンは 0% になりますが、全体的なリターンは -4% になります。

+100% のリターンの後に -100% が続く場合、平均リターンは 0% になりますが、最終値が 0 であるため、全体的なリターンは -100% になります。

レバレッジ投資の場合、さらに極端な結果になる可能性もあります。つまり、+200% のリターンの後に -200% が続くと、平均リターンは 0% になりますが、全体的なリターンは -300% になります。

対数収益の場合は、上記のように対称性があるため、このパターンは当てはまりません。対数収益が +10% の後に -10% が続く場合、全体の収益は 10% - 10% = 0% となり、平均収益率もゼロになります。

投資収益は多くの場合、「平均収益」として公表されます。平均収益を全体の収益に変換するには、平均収益を複数の期間にわたって複利計算します。

幾何平均収益率は 5% でした。4 年間で、全体の収益は次のようになります。

${\displaystyle 1.05^{4}-1=21.55\%}$

4 年間の幾何平均リターンは -1.64% でした。4 年間で、全体のリターンは次のようになります。

${\displaystyle (1-0.0164)^{4}-1=-6.4\%}$

4 年間の幾何平均リターンは -42.74% でした。4 年間で、全体のリターンは次のようになります。

${\displaystyle (1-0.4274)^{4}-1=-89.25\%}$

年間収益率と年率換算収益率を混同しないように注意する必要があります。年間収益率は、1 月 1 日から 12 月 31 日まで、または 2006 年 6 月 3 日から 2007 年 6 月 2 日までなど、1 年間の期間の収益率です。一方、年率換算収益率は、1 か月や 2 年など、1 年より長いまたは短い期間で測定された年間収益率で、1 年間の収益率と比較するために年率換算されます。

適切な年次化の方法は、収益が再投資されるかどうかによって異なります。

たとえば、1 か月間の収益が 1% の場合、年率収益率は 12.7% = ((1+0.01) ¹² − 1) になります。つまり、再投資して毎月 1% の収益を得ると、12 か月間の収益は複利で 12.7% になります。

別の例として、2 年間の収益率 10% は、1 年目の終わりに再投資すると仮定すると、年率収益率 4.88% = ((1+0.1) ^(12/24) − 1) に変換されます。つまり、年間の幾何平均収益率は 4.88% です。

以下のキャッシュ フローの例では、4 年間のドル収益は合計 265 ドルになります。再投資がないと仮定すると、4 年間の年間収益率は、265 ドル ÷ (1,000 ドル x 4 年間) = 6.625% (年) となります。

• 収益率は投資判断に役立ちます。普通預金口座や定期預金証書などの名目リスク投資の場合、投資家は再投資/複利による貯蓄残高の増加効果を時間の経過とともに考慮し、将来の期待利益を予測します。株式、投資信託、住宅購入など資本がリスクにさらされる投資の場合、投資家は価格変動の影響と損失リスクも考慮します。
• 財務アナリストが企業の業績を長期にわたって比較したり、企業間の業績を比較したりするために一般的に使用する比率には、投資収益率（ROI）、自己資本利益率、資産利益率などがあります。^[8]
• 資本予算策定プロセスでは、企業は伝統的にさまざまなプロジェクトの内部収益率を比較し、どのプロジェクトを追求すれば株主の利益を最大化できるかを決定します。企業が資本予算策定に用いるその他のツールには、回収期間、正味現在価値、収益性指数などがあります。^[9]
• 申告書は、税を考慮して調整され、税引き後の収益率を算出できます。これは、税金が利益や収入のかなりの部分を占めていた、または占めていた地理的地域や歴史的時代に行われます。税引き後の収益率は、収益率に税率を掛け、そのパーセンテージを収益率から引いて計算されます。
• 5%の収益に15%の税金がかかると、税引き後の収益は4.25%になります。

0.05×0.15 = 0.0075

0.05 − 0.0075 = 0.0425 = 4.25%

• 10%の収益に25%の税金がかかると、税引き後の収益は7.5%になる。

0.10 × 0.25 = 0.025

0.10 − 0.025 = 0.075 = 7.5%

投資家は通常、非課税投資収益よりも課税投資収益に対して高い収益率を求めており、最終投資家の観点から、異なる税率で課税される収益を比較する適切な方法は、税引き後です。

• リターンはインフレ調整される場合があります。リターンがインフレ調整されると、結果として得られる実質リターンは、期間の開始時と終了時の購買力の変化を測定します。名目年間リターン（つまり、調整されていない年間リターン）が年間インフレ率を下回る投資は、名目年間リターンが 0% より大きく、期間終了時の購買力が開始時の購買力より低い場合でも、実質的な価値の損失を表します。
• 多くのオンライン ポーカー ツールには、プレーヤーの追跡統計に ROI が含まれており、ユーザーが対戦相手のパフォーマンスを評価するのに役立ちます。

投資は投資家に利益をもたらし、投資家の金銭の時間的価値を補償します。^[10]

投資家が投資する収益率を決定する際に考慮する要素には、次のものがあります。

• 無リスク金利
• 将来のインフレ率の予測
• 投資のリスク、すなわちリターンの不確実性の評価（投資家が期待する利子/配当金の支払いと、追加のキャピタルゲインの有無にかかわらず資本全額の回収を受け取る可能性を含む）
• 通貨リスク
• 投資家がその資金（「流動性」）を他の用途に利用したいかどうか。

お金の時間価値は、銀行が預金口座に提供する金利に反映されるだけでなく、住宅ローンなどのローンに対して銀行が請求する金利にも反映されます。米ドル投資の「リスクフリー」金利は米国財務省証券の金利です。これは、資本を危険にさらすことなく利用できる最高の金利だからです。

投資家が特定の投資から要求する収益率は割引率と呼ばれ、資本の（機会）コストとも呼ばれます。リスクが高いほど、投資家が投資から要求する割引率（収益率）は高くなります。

投資の年間収益は、ある期間の収益（利息と配当を含む）が次の期間に再投資されるかどうかによって決まります。収益が再投資されると、次の期間に投資された資本の開始価値に寄与します（収益がマイナスの場合は、その価値が減少します）。複利は、次の期間の開始時の資本ベースの変化によって、ある期間の収益が次の期間の収益に与える影響を反映します。

たとえば、投資家が 1,000 ドルを 1 年間の定期預金(CD) に預け入れ、年利 4% を四半期ごとに支払う場合、CD は四半期ごとに口座残高に対して 1% の利息を獲得します。口座は複利を使用しており、口座残高は以前に再投資されて口座に入金された利息を含めて累積されます。四半期末に利息を引き出さない限り、次の四半期にさらに多くの利息を獲得します。

第 2 四半期の初めの口座残高は 1,010.00 ドルで、第 2 四半期中に合計 10.10 ドルの利息が付きます。この余分な 10 ドルは、口座に蓄積された以前の利息からの追加投資 10 ドルに対する利息です。利息が資本として再投資され、それ自体が利息を稼ぐため、年間収益 (年利率、複利) は単利よりも高くなります。上記の投資の利回りまたは年間収益は です。 ${\displaystyle 4.06\%=(1.01)^{4}-1}$

上で説明したように、リターン、または利回りは測定通貨によって異なります。上記の例では、米ドルで測定して年間 2% の利回りがある米ドル現金預金は、同じ期間に米ドルが日本円に対して 10% 上昇した場合、同じ期間に日本円で測定すると 12.2% の利回りになります。日本円での利回りは、現金預金の 2% の米ドル利回りと、日本円に対する米ドルの 10% の利回りを複利で掛け合わせた結果です。

1.02×1.1−1＝12.2％

より一般的に言えば、第 2 通貨でのリターンは、2 つのリターンを複利で加算した結果です。

${\displaystyle (1+r_{i})(1+r_{c})-1}$

どこ

${\displaystyle r_{i}}$最初の通貨（この例では米ドル）での投資収益であり、

${\displaystyle r_{c}}$最初の通貨に対する 2 番目の通貨の利回りです (この例では、米ドルに対する日本円の利回りです)。

これは、時間加重法が使用されている場合、または期間中に流入または流出がない場合に当てはまります。金額加重法のいずれかを使用していて、フローが存在する場合は、フローを補正する方法のいずれかを使用して、2 番目の通貨でのリターンを再計算する必要があります。

異なる通貨で測定された連続期間のリターンを複合計算することは意味がありません。連続期間のリターンを複合計算する前に、単一の測定通貨を使用してリターンを再計算または調整してください。

ポートフォリオの価値は、2015 暦年中にシンガポール ドルで 10% 増加します (年間を通じてポートフォリオへの流入または流出はありません)。2016 年の最初の月に、その価値は米ドルでさらに 7% 増加します (この場合も、2016 年 1 月の期間には流入も流出もありません)。

2015 年の初めから 2016 年 1 月末までのポートフォリオの収益はいくらですか?

答えは、同じ通貨での両期間のリターンがわからないと、どの通貨でもリターンを計算するにはデータが不十分であるということです。

2015 年のシンガポール ドルのリターンが 10% で、シンガポール ドルが 2015 年に米ドルに対して 5% 上昇した場合、2015 年にフローがなかった限り、2015 年の米ドルのリターンは次のようになります。

1.1 x 1.05 − 1 = 15.5%

2015 年の初めから 2016 年 1 月末までの米ドルでのリターンは次のとおりです。

1.155 x 1.07 − 1 = 23.585%

投資には、投資家が投資した資本の一部または全部を失うリスクが伴います。たとえば、会社の株式への投資は資本を危険にさらします。普通預金口座に投資した資本とは異なり、株価、つまりある時点での株式の市場価値は、誰かがその株式に支払う意思がある金額によって決まり、株式の価格は、その株式の市場が開いている間は継続的に変化する傾向があります。価格が比較的安定している場合、その株式は「ボラティリティが低い」と言われます。価格が頻繁に大きく変動する場合、その株式は「ボラティリティが高い」と言われます。

右側は、年初に 1 株を 100 ドルで購入した株式投資の例です。

• 四半期配当金は四半期末株価で再投資されます。
• 四半期ごとに購入される株式数 = (配当金 $)/(株価 $)。
• 最終投資額が 103.02 ドルで、初期投資額が 100 ドルである場合、収益は 3.02 ドル、つまり 3.02% になります。
• この例における連続複利収益率は次のとおりです。

${\displaystyle \ln \left({\frac {103.02}{100}}\right)=2.98\%}$。

米国の所得税の目的でキャピタルゲインを計算するには、再投資された配当金を原価に含めます。投資家は年間で合計 4.06 ドルの配当金を受け取りましたが、そのすべてが再投資されたため、原価は 4.06 ドル増加しました。

• 原価ベース = $100 + $4.06 = $104.06
• 資本利得/損失 = $103.02 − $104.06 = -$1.04 (資本損失)

したがって、米国の所得税の観点からは、配当金は 4.06 ドル、投資の原価は 104.06 ドルとなり、年末に株式を売却した場合、売却額は 103.02 ドル、資本損失は 1.04 ドルとなります。

投資信託、ユニット投資信託（UIT）、保険の個別勘定、変額終身保険や変額年金契約などの関連変額商品、銀行が後援する合同基金、集団給付基金、共通信託基金はすべて、基礎となる投資ポートフォリオから価値を生み出します。投資家やその他の関係者は、さまざまな期間にわたる投資のパフォーマンスを知ることに関心があります。

パフォーマンスは通常、ファンドのトータル リターンによって数値化されます。1990 年代には、さまざまなファンド会社がさまざまなトータル リターンを宣伝していました。累積的なもの、平均したもの、販売手数料や手数料を差し引いたもの、差し引かないものなどです。公平な競争条件を整え、投資家がファンドのパフォーマンス リターンを比較できるようにするために、米国証券取引委員会(SEC) は、標準化された計算式 (いわゆる「SEC 標準化トータル リターン」) に基づいてトータル リターンを計算して報告することをファンドに義務付け始めました。これは、配当金や分配金の再投資と販売手数料や手数料の差し引きを前提とした平均年間トータル リターンです。ファンドは、他の基準 (いわゆる「非標準化」リターン) に基づいてリターンを計算して宣伝することができますが、その場合は「標準化」リターン データも同じように目立つように公開する必要があります。

その後、1990 年代後半から 2000 年代前半にかけて株価が大幅に上昇した後にファンドの株式を売却した投資家は、所得税やキャピタルゲイン税がファンドの「総」収益にどれほど大きな影響を与えるかを認識していなかったようです。つまり、「総」収益 (連邦税前の収益) と「純」収益 (税引き後の収益) の差がどれほど大きくなるか、投資家はほとんどわかっていなかったのです。この投資家の明らかな無知に反応して、またおそらく他の理由から、SEC は、ミューチュアル ファンドが年次目論見書で、とりわけ米国連邦個人所得税の影響前と影響後のトータル収益を公開することを義務付ける規則をさらに制定しました。さらに、税引き後のリターンには、1)示された期間中に受け取った配当金とキャピタルゲイン分配に対する税金を差し引いた仮想課税口座のリターン、および 2) 1) の項目の影響に加え、投資株式全体が期間末に売却されたと仮定した場合 (株式の清算時にキャピタルゲイン/ロスを実現) が含まれます。これらの税引き後のリターンは、もちろん課税口座にのみ適用され、IRA などの課税繰り延べ口座や退職金口座には適用されません。

最後に、近年では、投資家から「パーソナライズされた」証券口座明細書が求められています。言い換えれば、投資家は多かれ少なかれ、実際の投資口座の取引履歴に基づくファンドの収益が実際の口座収益と異なる可能性があると言っています。これは、投資がさまざまな日に行われた可能性があり、追加の購入や引き出しが金額や日付が異なり、特定の口座に固有のものである可能性があるためです。このニーズに応えて、ますます多くのファンドや証券会社が投資家の口座明細書にパーソナライズされた口座収益を提供するようになっています。

それを脇に置いて、投資信託の基本的な収益と損益の仕組みを説明します。ファンドは配当金と利息収入を記録し、通常、これによって投資信託の株式の価値が上昇しますが、確保された費用は株式の価値に相殺影響を及ぼします。ファンドの投資の市場価値が上昇 (または下落) すると、ファンドの株式の価値も上昇 (または下落) します。ファンドが投資を利益で売却すると、その帳簿上の利益または未実現利益が実際の利益または実現利益に変換または再分類されます。売却はファンドの株式の価値には影響しませんが、ファンドの帳簿上の価値の構成要素が 1 つのバケットから別のバケットに再分類されており、これは将来投資家に影響を与えます。少なくとも毎年、ファンドは通常、純利益 (収入から費用を差し引いたもの) と実現純キャピタルゲインからIRS の要件に従って株主に配当金を支払います。この方法では、ファンドは税金を支払いませんが、課税対象口座のすべての投資家が支払います。投資信託の株価は通常、株式市場または債券市場が開いている日ごとに評価され、通常、1株の価値は投資家が所有するファンド株の 純資産価値になります。

投資信託は、配当金とキャピタルゲイン分配金の再投資を前提として総収益を報告します。つまり、分配されたドル金額は、再投資日または配当落ち日時点でファンドの追加株式を購入するために使用されます。再投資率または係数は、各期間の総分配金（配当金とキャピタルゲイン）に基づいています。

米国の投資信託は、米国証券取引委員会（SEC）がN-1A（ファンド目論見書）作成の指示書に規定する平均年間総収益を、1年、5年、10年（またはそれより短い期間の場合はファンドの設立時）の平均年間複利収益率として各ファンドの「平均年間総収益」として計算することになっている。次の式が使用される：^[11]

${\displaystyle \mathrm {P\left(1+T\right)^{n}=ERV} }$

どこ：

P = 仮想的な初期支払額 1,000 ドル

T = 平均年間総収益

n = 年数

ERV = 1 年、5 年、または 10 年の期間の初めに行われた仮想的な 1,000 ドルの支払いの、1 年、5 年、または 10 年の期間の終わりの償還可能価値 (または端数部分)

Tについて解くと

${\displaystyle \mathrm {T=\left({\frac {ERV}{P}}\right)^{1/n}-1} }$

投資信託は、配当金だけでなくキャピタルゲインもリターン計算に含めます。投資信託の株式の市場価格は純資産価値に基づいているため、キャピタルゲインの分配は投資信託の株式価値/価格の同額の減少によって相殺されます。株主の観点から見ると、キャピタルゲインの分配は資産の純利益ではなく、実現キャピタルゲインです (未実現キャピタルゲインの同額の減少と相殺されます)。

• 5年後、すべての配当金を再投資した投資家は、1株あたり19.90ドルの価値がある91.314株を所有することになります。5年間の収益は、19.90ドル×91.314 / 1,000ドル-1 = 81.71%です。
• 再投資による幾何平均年間総収益 = ($19.90 × 91.314 / $1,000) ^ (1 / 5) − 1 = 12.69%
• 再投資しなかった投資家は、1株あたり合計5.78ドルの配当（現金支払い）を受け取ることになります。このような投資家の5年間の収益は（19.90ドル＋5.78ドル）/14.21ドル−1 = 80.72%となり、算術平均収益率は年間80.72%/5 = 16.14%となります。

• 年利回り
• 収益の年換算に関する議論の平均
• 資本予算
• 複合年間成長率
• 複利
• ドルコスト平均法
• 経済的付加価値
• 実効年利率
• 実効金利
• 期待収益
• 保有期間のリターン
• 内部収益率
• 修正ディーツ法
• 正味現在価値
• 利益率
• 利益率
• 資本の返還
• 資産利益率
• 資本利益率
• リターン（経済）
• シンプルなディーツ法
• お金の時間価値
• 時間加重収益
• バリュー投資
• 収率

• AA Groppelli および Ehsan Nikbakht。Barron 's Finance、第 4 版。ニューヨーク: Barron's Educational Series、Inc.、2000 年。ISBN 0-7641-1275-9 
• Zvi Bodie、Alex Kane、Alan J. Marcus。投資の基礎、第 5 版。ニューヨーク: McGraw-Hill/Irwin、2004 年。ISBN 0073226386 
• リチャード A. ブリーリー、スチュワート C. マイヤーズ、フランクリン アレン。コーポレート ファイナンスの原則、第 8 版。McGraw-Hill/Irwin、2006 年
• ウォルター・B・メイグスとロバート・F・メイグス。財務会計、第4版。ニューヨーク：マグロウヒル・ブック・カンパニー、1970年。ISBN 0-07-041534 -X 
• ブルース・J・ファイベル『投資パフォーマンス測定』ニューヨーク：ワイリー、2003年。ISBN 0-471-26849-6 
• カール・ベーコン。実践的ポートフォリオパフォーマンス測定とアトリビューション。ウェスト・サセックス：ワイリー、2003年。ISBN 0-470-85679-3