発散等比級数

数学において、次の形式の 無限等比級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots }$

が発散する場合、そしてその場合に限り発散する。発散級数の和を求める方法は時々役立ち、通常は発散幾何級数を収束する場合の式と一致する和に評価する。 ${\displaystyle |r|>1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}.}$

これは、規則性、直線性、安定性の特性を備えたあらゆる加算法に当てはまります。

合計の難易度が上がる順に並べると次のようになります。

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯、その公比は−1である。
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯、公比は −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯、公比は2
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯、公比は 1 です。

どの総和法がどの公比に対して幾何級数公式を生成するかを知ることは有用である。この情報の応用例の1つは、いわゆるボレル・オカダ原理である。正規の総和法が、複素平面の部分集合内のすべての に対してを割り当てる場合、 に一定の制約が与えられていれば、その方法はとミッタク・レフラー星形の交点上の他の任意の関数の に対する解析接続も与える。^[1]${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$${\displaystyle 1/(1-z)}$${\textstyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(z)}$

通常の合計は共通比に対してのみ成功します${\displaystyle |r|<1.}$

• チェザロ総括
• アーベル和

• オイラー和

この級数は、実部 < 1 の すべてのzに対してボレル加算可能です。

ボレル和以外の特定のモーメント定数法では、関数1/(1 − z )のミッタク・レフラー星全体の幾何級数を和ぐことができる。つまり、光線z ≥ 1を除くすべてのzについて和ぐことができる。 ^[2]