Floating-point arithmetic

In computing, floating-point arithmetic (FP) is arithmetic on subsets of real numbers formed by a significand (a signed sequence of a fixed number of digits in some base) multiplied by an integer power of that base. Numbers of this form are called floating-point numbers.^[1]^:3^[2]^:10

For example, the number 2469/200 is a floating-point number in base ten with five digits: $2469/200=12.345=\!\underbrace {12345} _{\text{仮数}}\!\times \!\underbrace {10} _{\text{底}}\!\!\!\!\!\!\!\overbrace {{}^{-3}} ^{\text{指数}}$ However, 7716/625 = 12.3456 is not a floating-point number in base ten with five digits—it needs six digits. The nearest floating-point number with only five digits is 12.346. And 1/3 = 0.3333… is not a floating-point number in base ten with any finite number of digits. In practice, most floating-point systems use base two, though base ten (decimal floating point) is also common.

Floating-point arithmetic operations, such as addition and division, approximate the corresponding real number arithmetic operations by rounding any result that is not a floating-point number itself to a nearby floating-point number.^[1]^:22^[2]^:10 For example, in a floating-point arithmetic with five base-ten digits, the sum 12.345 + 1.0001 = 13.3451 might be rounded to 13.345.

The term floating point refers to the fact that the number's radix point can "float" anywhere to the left, right, or between the significant digits of the number. This position is indicated by the exponent, so floating point can be considered a form of scientific notation.

浮動小数点システムは、固定桁数で、銀河間の距離や原子内の陽子間の距離など、桁の異なる非常に大きな数値を表現するために使用できます。このため、浮動小数点演算は、高速な処理時間を必要とする非常に小さい実数と非常に大きい実数を扱うためによく使用されます。このダイナミックレンジの結果、表現できる数値は均等に間隔が置かれておらず、連続する2つの表現可能な数値の差は指数によって変化します。^[³^]

上記の拡張版では、表現可能な値の両方の兆候が示されています。

長年にわたり、コンピュータではさまざまな浮動小数点表現が使用されてきました。1985年には、浮動小数点演算に関するIEEE 754規格が制定され、1990年代以降、最も一般的に使用されている表現はIEEEによって定義されたものです。

浮動小数点演算の速度は、一般的にFLOPSという単位で測定され、特に高度な数学的計算を伴うアプリケーションにおいては、コンピュータシステムの重要な特性となる。

浮動小数点数は、ソフトウェア実装（ソフトフロート）またはハードウェア実装（ハードフロート）を使用して計算できます。浮動小数点演算ユニット（FPU、通称：数学コプロセッサ）は、浮動小数点数の演算を実行するために特別に設計されており、ほとんどのコンピュータシステムに搭載されています。FPUが利用できない場合は、代わりにソフトウェア実装を使用できます。

概要

浮動小数点数

数値表現とは、数値を符号化する方法を指定するもので、通常は数字列として表現される。

数字列で数値を表現する方法はいくつかあります。標準的な数学表記では、数字列の長さは任意で、小数点の位置は明示的な「点」文字（ドットまたはコンマ）を配置することで示されます。小数点が指定されていない場合、その数字列は暗黙的に整数を表し、指定されていない小数点は、最下位桁の隣、つまり数字列の右端に位置します。固定小数点システムでは、小数点の位置が数字列内で指定されます。したがって、固定小数点方式では、小数点が中央にある8桁の10進数列を使用することができ、その場合、「00012345」は0001.2345を表します。

科学的記数法では、与えられた数値は10のべき乗でスケーリングされ、特定の範囲（通常は1から10の間）に収まるように調整されます。小数点（基数）は最初の桁の直後に現れます。10のべき乗として、スケーリング係数は数値の末尾に別々に示されます。たとえば、木星の衛星イオの公転周期は152,853.5047秒、標準形式の科学的記数法では次のように表されます。1.528535047 × 10⁵^秒。

浮動小数点表現は、概念的には科学的記数法に似ています。論理的には、浮動小数点数は以下で構成されます。

指定された基数(またはベース)における、指定された長さの符号付き (正または負) 数字列。この数字列は、仮数、仮数、または係数と呼ばれます。^{[注 1 ]}仮数の長さによって、数値を表現できる精度が決まります。基数小数点の位置は、常に仮数内のどこかにあると想定されます。多くの場合、最上位桁の直後または直前、あるいは最右 (最下位) 桁の右側です。この記事では、基数小数点が最上位 (最左) 桁の直後に設定されるという慣例に従います。
符号付き整数指数（特性またはスケールとも呼ばれる）^{[ nb 2 ]}は、数値の大きさを変更します。

浮動小数点数の値を求めるには、仮数を指数で累乗した基数を乗算します。これは、基数を暗黙の位置から指数の値に等しい桁数だけずらすことに相当します。指数が正の場合は右に、指数が負の場合は左に移動します。

10進法（おなじみの十進表記）を例にとると、152,853.5047は、10 桁の精度を持つ小数点以下の桁数を持つ有効数字として表されます。1528535047に指数として 5 を付けます。実際の値を求めるには、仮数の最初の桁の後に小数点を付け、その結果に10を掛けます。^5つ与える1.528535047 × 10 ⁵または152,853.5047。このような数値を保存する場合、基数（10）は保存する必要はありません。なぜなら、基数はサポートされている数値の範囲全体で同じであり、推測できるからです。

象徴的に言えば、この最終値は次のようになります。 ${\frac {s}{b^{\,p-1}}}\times b^{e},$

ここで、 $s$ は仮数（暗黙の小数点を無視）、 $p$ は精度（仮数の桁数）、 $b$ は底（この例では 10 ）、 $e$ は指数です。

歴史的に、浮動小数点数を表現するためにいくつかの基数が使用されてきましたが、最も一般的だったのは基数2（バイナリ）で、次に基数10（ 10進浮動小数点）が続き、その他にもあまり一般的ではない種類として、基数16（16進浮動小数点^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ nb 3 ]}）、基数8（8進浮動小数点^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 4 ]}^{[ nb 4 ]}）、基数4（4進浮動小数点^{[ 7 ]}^{[ 5 ]}^{[ nb 5 ]}）、基数3（バランス型3進浮動小数点^{[ 1 ]}）、さらには基数256 ^{[ 5 ]}^{[ nb 6 ]}などがあります。65,536 . ^{[ 8 ]}^{[ nb 7 ]}

浮動小数点数は有理数です。なぜなら、ある整数を別の整数で割ったものとして表現できるからです。例えば、1.45 × 10 ³は (145/100)×1000 または145,000 / 100。基数は表現できる分数を決定します。たとえば、1/5 はバイナリ基数では浮動小数点数として正確に表現できませんが、1/5 は 10 基数 (0.2、または2 × 10 ⁻¹ )。ただし、1/3 はバイナリ (0.010101...) または 10 進数 (0.333...) のどちらでも正確には表せませんが、基数 3では自明です (0.1 または 1×3 ⁻¹ )。無限展開が発生する場合、基数とその素因数に依存します。

仮数部（符号を含む）と指数部がコンピュータに格納される方法は、実装に依存します。一般的な IEEE フォーマットについては後述および他の場所で詳しく説明しますが、例として、バイナリ単精度 (32 ビット) 浮動小数点表現では、 $p=24$ したがって、仮数は24ビットの文字列になります。例えば、数πの最初の33ビットは次のようになります。 $11001001\ 00001111\ 1101101{\下線 {0}}\ 10100010\ 0.$

このバイナリ展開では、位置を0（最左端のビット、または最上位ビット）から32（最右端のビット）までとします。24ビットの仮数は、下線で示されている位置23で停止します。上記0。次のビットは位置24にあり、ラウンドビットまたは丸めビット と呼ばれます。これは、33ビット近似値を最も近い24ビット数に丸めるために使用されます（中間値には特定のルールがありますが、ここでは該当しません）。このビットは、この例では、 1 が左端の 24 ビットで構成される整数に加算され、次のようになります。 $11001001\ 00001111\ 1101101{\下線 {1}}。$

これをIEEE 754エンコーディングを使用してメモリに格納すると、仮数 $s$ になります。仮数は、最左ビットの右側にバイナリ小数点があると想定されます。したがって、πのバイナリ表現は、左から右に次のように計算されます。 ${\begin{aligned}&{\biggl (}\sum _{n=0}^{p-1}{\text{bit}}_{n}\times 2^{-n}{\biggr )}\times 2^{e}\\&\qquad {}=\left(1\times 2^{-0}+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+\cdots +1\times 2^{-23}\right)\times 2^{1}\\[2mu]&\qquad {}\approx 1.57079637\times 2\\[3mu]&\qquad {}\approx 3.1415927\end{aligned}}$

ここで $p$ は精度 (この例では24 ですが、 $n$ は仮数のビットの左からの位置です (0で終了23ここで） $e$ は指数です（この例では1）。

非ゼロ数の仮数の最上位桁が非ゼロであることが要求される場合があります（対応する指数が最小の指数より小さくなる場合を除く）。このプロセスは正規化と呼ばれます。バイナリ形式（数字のみを使用する）の場合、0と1 ) このゼロ以外の数字は必ず1.したがって、メモリに表現する必要がないため、フォーマットの精度が1ビット高くなります。このルールは、先頭ビット規約、暗黙のビット規約、隠しビット規約^{[ 1 ]}、または想定ビット規約などと呼ばれています。

浮動小数点数の代替手段

浮動小数点表現は、コンピュータ上で実数の近似値を表現する最も一般的な方法です。しかし、他にも代替手段があります。

固定小数点表現は、バイナリまたは小数点の位置に関する特定の規則（例えば、右から6ビットまたは6桁）をソフトウェアで実装し、それに基づいて制御される整数ハードウェア演算を使用します。これらの表現を操作するハードウェアは浮動小数点よりもコストが低く、通常の整数演算も実行できます。バイナリ固定小数点は通常、整数演算しかできない組み込みプロセッサ上の特殊用途アプリケーションで使用されますが、10進固定小数点が商用アプリケーションで一般的です。
対数数体系(LNS) は、実数をその絶対値の対数と符号ビットで表します。値の分布は浮動小数点数に似ていますが、値から表現への曲線 (つまり、対数関数のグラフ) は (0 を除いて) 滑らかです。浮動小数点演算とは逆に、対数数体系では乗算、除算、べき乗は簡単に実装できますが、加算と減算は複雑です。チャールズ・クレンショー、フランク・オルバー、ピーター・ターナーによる (対称)レベルインデックス演算(LI および SLI)は、一般化された対数表現に基づく方式です。
テーパー浮動小数点表現。Posit を含む Unumフォーマットで使用されます。
単純な有理数（例えば1/3 や 1/10）の中には、精度に関わらず、バイナリ浮動小数点数で正確に表現できないものがあります。異なる基数を使用することで、それらのいくつか（例えば1/10 を 10 進浮動小数点数で表現するなど）を表現できますが、可能性は限られています。有理数演算を実行するソフトウェアパッケージは、数値を整数の分子と分母を持つ分数として表現するため、任意の有理数を正確に表現できます。このようなパッケージでは、通常、個々の整数に対して「 bignum 」演算を使用する必要があります。
区間演算は、数値を区間として表現し、結果の上限と下限を保証する演算手法です。一般的に、他の演算、特に浮動小数点演算に基づいています。
Mathematica、Maxima、Mapleなどの数式処理システムは、次のような無理数を扱うことができます。 $\pi$ または $\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 完全に「形式的」な方法（記号計算）で、仮数の特定のエンコーディングを扱うことなく。このようなプログラムは、次のような式を評価できます。 $\sin(3\pi )$ まさにその通りです。なぜなら、中間計算ごとに近似値を使用するのではなく、基礎となる数学を直接処理するようにプログラムされているからです。

歴史

1914年、スペインのエンジニア、レオナルド・トーレス・ケベドは『自動計算機に関するエッセイ』 [ ^{9 ]を}出版し、チャールズ・バベッジの解析機関に基づいた特殊用途の電気機械式計算機を設計し、浮動小数点数を一貫した方法で格納する方法を説明した。彼は、数値は指数形式で格納されると述べた。 $\displaystyle n\times 10^{m}}$ トーレスは、浮動小数点数を機械で一貫して操作するための 3 つのルールを提案した。トーレスによれば、「n は常に同じ桁数 (例えば 6 桁) であり、 nの最初の桁は 10 分の 1 のオーダー、2 番目は 100 分の 1 のオーダーなどであり、各数量はn ; mの形式で記述される」。彼が提案した形式は、現在浮動小数点データに使用されている固定サイズの仮数子の必要性、各表現が一意になるように仮数子内の小数点の位置を固定すること、そして1920 年の彼の電気機械式算術計の場合のように、タイプライターで入力できる構文を指定することによってそのような数値をフォーマットする方法を示している。 ^[¹⁰^]^[¹¹^]^[¹²^]

1938年、ベルリンのコンラート・ツーゼは、最初のバイナリ式プログラム可能な機械式コンピュータである Z1を完成させました。^[¹³^] Z1は、7ビットの符号付き指数部、17ビットの仮数部（1ビットの暗黙のビットを含む）、および符号ビットを備えた24ビットのバイナリ浮動小数点数表現を使用しています。^[¹⁴^] 1941年に完成した、より信頼性の高いリレーベースのZ3は、正と負の無限大の両方の表現を備えています。特に、無限大による除算など、無限大を用いた定義済みの演算を実装しています。 $1/\infty =0$ 、そして、次のような未定義の操作で停止します。 $0\times \infty$ 。

ツゼはまた、慎重に丸められた浮動小数点演算を提案したが、完成させることはなかった。 $\pm \infty$ また、NaN表現も実装しており、IEEE標準の機能を40年も先取りしていた。^{[ 15 ]}対照的に、フォン・ノイマンは1951年の IASマシンでは浮動小数点数の使用を推奨せず、固定小数点演算の方が望ましいと主張した。^{[ 15 ]}

浮動小数点ハードウェアを搭載した最初の商用コンピュータは、1942年から1945年にかけて設計されたZuseのZ4コンピュータでした。1946年には、ベル研究所が 10進浮動小数点数を実装したModel Vを発表しました。^[¹⁶^]

Pilot ACEはバイナリ浮動小数点演算機能を備えており、1950年に英国国立物理研究所で運用が開始されました。その後、33台がEnglish Electric DEUCEとして市販されました。演算は実際にはソフトウェアで実装されていますが、1メガヘルツのクロック周波数により、このマシンの浮動小数点演算と固定小数点演算の速度は、当初は多くの競合コンピュータよりも高速でした。

1954年には量産型のIBM 704が登場し、バイアス付き指数法が導入されました。その後数十年間、浮動小数点ハードウェアは通常オプション機能であり、それを搭載したコンピュータは「科学コンピュータ」または「科学計算」（SC）機能を持つと言われていました（科学計算拡張機能（XSC）も参照）。汎用パーソナルコンピュータに浮動小数点機能が標準搭載されるようになったのは、1989年にIntel i486が発売されてからのことです。

1962年に発表されたUNIVAC 1100/2200シリーズは、2種類の浮動小数点表現をサポートしていました。

単精度：36ビットで構成され、1ビットの符号、8ビットの指数、27ビットの仮数からなります。
倍精度：72ビットで構成され、1ビットの符号、11ビットの指数、および60ビットの仮数として構成されます。

同じく1962年に発表されたIBM 7094は、単精度と倍精度の表現をサポートしていましたが、UNIVACの表現とは何の関係もありませんでした。実際、IBMは1964年にSystem/360メインフレームで16進浮動小数点表現を導入しました。これらの表現は、現代のz/Architectureシステムでも引き続き利用可能です。1998年には、IBMはメインフレームでIEEE互換の2進浮動小数点演算を実装し、2005年にはIEEE互換の10進浮動小数点演算も追加しました。

当初、コンピュータは浮動小数点数を表現するために様々な異なる方法を用いていました。1970年代初頭には、メインフレームレベルでの標準化の欠如が、高レベルのソースコードを記述・保守する人々にとって継続的な問題となっていました。これらのメーカー独自の浮動小数点規格は、ワードサイズ、表現方法、丸め動作、演算の全体的な精度において異なっていました。1980年代初頭には、複数のコンピュータシステム間での浮動小数点互換性の標準化が切実に求められており、32ビット（または64ビット）ワードが一般的になったことで、 IEEE 754規格が策定されました。この規格は、 i8087数値コプロセッサを設計していたインテルの提案に大きく基づいており、同時期に68000を設計していたモトローラも重要な貢献をしました。

1989年、数学者でコンピュータ科学者のウィリアム・カーンは、この提案の主要な立案者としてチューリング賞を受賞しました。彼は教え子のジェローム・クーネンと客員教授のハロルド・ストーンの協力を得ました。^{[ 17 ]}

x86（より具体的にはi8087）の革新技術には、以下のようなものがある。

ビット列レベルで浮動小数点表現が厳密に規定されているため、準拠するすべてのコンピュータがビットパターンを同じように解釈します。これにより、（エンディアンを考慮した上で）浮動小数点数をコンピュータ間で正確かつ効率的に転送することが可能になります。
算術演算の動作は厳密に規定されている。結果は、無限に正確な算術演算によって得られた値を、特定の規則に従って丸めたかのように生成される必要がある。つまり、この規定に準拠したコンピュータプログラムは、特定の入力に対して常に同じ結果を生成するため、浮動小数点演算がこれまで非決定論的であるかのように思われていた、ほとんど神秘的な評判を払拭することができる。
例外的な状況（オーバーフロー、ゼロ除算など）が計算処理全体に無害な形で伝播し、その後ソフトウェアによって制御された方法で処理される能力。

これらの機能は IEEE 754-1985 に継承されます (特殊値と例外のエンコードを除く)。ただし、x87 の内部精度が拡張されているため、標準の IEEE 754 の結果に合わせるには、正確な結果を宛先精度に直接明示的に丸める必要があります。^{[ 18 ]}ただし、拡張フォーマットの指数範囲が広い可能性があるため、動作は宛先フォーマットへの丸めと同じではない場合があります。

浮動小数点数の範囲

浮動小数点数は、2つの固定小数点成分から構成され、その範囲は表現におけるビット数または桁数のみに依存します。固定小数点成分は範囲に線形的に依存するのに対し、浮動小数点数の範囲は仮数部の範囲に線形的に依存し、指数部の範囲には指数関数的に依存するため、数値の範囲が非常に広くなります。

一般的なコンピュータシステムでは、倍精度(64 ビット) のバイナリ浮動小数点数は、係数が 53 ビット (暗黙の 1 ビットを含む)、指数が 11 ビット、符号が 1 ビットです。2 ¹⁰ = 1024 なので、この形式の正の正規浮動小数点数の完全な範囲は、2 ⁻¹⁰²² ≈ 2 × 10 ⁻³⁰⁸から約 2 ¹⁰²⁴ ≈ 2 × 10 ³⁰⁸までです。

システム ( B、P、L、U )内の通常の浮動小数点数の数

Bはシステムのベースであり、
Pは仮数の精度 (基数B ) です。
Lはシステムの最小指数であり、
Uはシステムの最大の指数であり、

は $2\left(B-1\right)\left(B^{P-1}\right)\left(U-L+1\right)$ 、または $2\left(B-1\right)\left(B^{P-1}\right)\left(U-L+1\right)+1$ 値0を考慮する。

最小の正の正規浮動小数点数があり、

アンダーフローレベル = UFL =

B^{L}

、

仮数の先頭桁が1で、残りの桁が0であり、指数が可能な限り最小の値である。

最大の浮動小数点数があり、

オーバーフローレベル = OFL =

\left(1-B^{-P}\right)\left(B^{U+1}\right)

、

これは、仮数の各桁の値がB − 1 であり、指数が可能な限り最大の値であることを意味します。

さらに、−UFLとUFLの間には厳密に表現可能な値が存在する。すなわち、正のゼロと負のゼロ、および正規化されていない数である。

IEEE 754: 現代のコンピュータにおける浮動小数点演算

IEEEは1985年に、バイナリ浮動小数点数のコンピュータ表現をIEEE 754（別名IEC 60559）で標準化しました。この最初の標準は、現代のほとんどすべてのマシンで採用されています。2008年に改訂されました。IBMメインフレームは、IEEE 754バイナリ形式に加えて、IBM独自の16進浮動小数点形式とIEEE 754-200810進浮動小数点形式をサポートしています。Cray T90シリーズにはIEEEバージョンがありましたが、SV1は依然としてCray浮動小数点形式を使用しています。

この規格では、細部がわずかに異なるだけで、非常に類似した多くのフォーマットが規定されています。これらのフォーマットのうち5つは基本フォーマットと呼ばれ、その他は拡張精度フォーマットおよび拡張可能精度フォーマットと呼ばれます。特にコンピュータハードウェアやプログラミング言語で広く使用されているフォーマットは次の3つです。

単精度（binary32）は、通常、 C言語ファミリーの「float」型を表すために使用されます。これは32ビット（4バイト）を占めるバイナリ形式で、仮数部の精度は24ビット（約7桁）です。
倍精度浮動小数点数（binary64）は、通常、 C言語ファミリーの「double」型を表すために使用されます。これは64ビット（8バイト）を占めるバイナリ形式で、仮数部の精度は53ビット（約16桁）です。
倍精度浮動小数点数 (double extended)は、曖昧に「拡張精度」形式とも呼ばれます。これは、少なくとも 79 ビット (隠蔽/暗黙のビット規則を使用しない場合は 80 ビット) を占め、仮数の精度が少なくとも 64 ビット (約 19 桁) であるバイナリ形式です。C言語ファミリーのC99およびC11規格の付属書 F (「IEC 60559 浮動小数点演算」) では、このような拡張形式を「long double」として提供することを推奨しています。^{[ 19 ]}最小要件 (64 ビットの仮数精度、15 ビットの指数、したがって 80 ビットに収まる) を満たす形式は、x86アーキテクチャによって提供されます。多くの場合、このようなプロセッサでは、この形式を「long double」とともに使用できますが、拡張精度は MSVC では利用できません。^{[ 20 ]}アライメントの目的で、多くのツールはこの 80 ビットの値を 96 ビットまたは 128 ビットの空間に格納します。^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}他のプロセッサでは、「long double」は、4 倍精度などのより大きな形式を表す場合もあれば、^{[ 23 ]}拡張精度が利用できない場合は単に倍精度を表す場合もある。^{[ 24 ]}

浮動小数点表現の精度を上げると、中間計算によって生じる累積丸め誤差が一般的に減少します。 ^{[ 25 ]} その他のIEEEフォーマットには以下が含まれます。

Decimal64とdecimal128は浮動小数点形式です。これらの形式（特にdecimal128）は、decimal32形式と同様に小数点以下の正確な丸め処理を可能にするため、金融取引において広く用いられています。
4倍精度（バイナリ128）。これは128ビット（16バイト）を占めるバイナリ形式で、仮数部の精度は113ビット（約34桁）です。
半精度（バイナリ16とも呼ばれる）は、16ビット浮動小数点値です。NVIDIA Cgグラフィックス言語やopenEXR標準（実際にはIEEE 754標準での導入よりも前に使用されていた）で使用されています。^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

^{絶対値が2²⁴}未満の整数は単精度形式で正確に表現でき、絶対値が 2⁵³ 未満の整数は^倍精度形式で正確に表現できます。さらに、そのような数の 2 倍のべき乗の幅広い範囲を表現できます。これらの特性は、倍精度浮動小数点数は備えているものの 32 ビット整数しか扱えないプラットフォームで 53 ビット整数を取得するために、純粋な整数データに使用されることがあります。

この規格では、いくつかの特殊な値とその表現が規定されています。正の無限大（ $+\infty$ ）、負の無限大（ $-\infty$ ）、通常の（「正の」）ゼロとは異なる負のゼロ（−0）、および「非数」値（NaN）。

IEEE規格で定義されている浮動小数点数の比較は、通常の整数の比較とは少し異なります。負のゼロと正のゼロは等しいとみなされ、NaNはそれ自身を含め、他のすべての値とは等しくないとみなされます。すべての有限浮動小数点数は、 $+\inftyより厳密に小さく、$ $-\infty$ より厳密に大きく、実数集合における値と同じ順序で並びます。

内部表現

浮動小数点数は通常、左から右へ、符号ビット、指数部、仮数部の順にコンピュータデータに格納されます。現存するハードウェア実装を持つIEEE 754バイナリ形式（基本形式と拡張形式）では、以下のように割り当てられます。

指数は正または負の値をとることができますが、バイナリ形式では、固定の「バイアス」が加算された符号なし数として格納されます。このフィールドのすべての値が 0 の場合は、ゼロと非正規数用に予約されています。すべての値が 1 の場合は、無限大と NaN 用に予約されています。正規数の指数範囲は、単精度では [−126, 127]、倍精度では [−1022, 1023]、四倍精度では [−16382, 16383] です。正規数には、非正規値、ゼロ、無限大、および NaN は含まれません。

IEEEバイナリ交換フォーマットでは、正規化された仮数の先頭ビットは常に1であるため、コンピュータデータには実際には格納されません。これは「隠された」ビットまたは「暗黙の」ビットと呼ばれます。このため、単精度フォーマットでは仮数の精度は24ビット、倍精度フォーマットでは53ビット、4倍精度フォーマットでは113ビット、8倍精度フォーマットでは237ビットとなります。

例えば、上記で示したように、πを24ビット精度に丸めると、次のようになります。

符号 = 0 ; e = 1 ; s = 110010010000111111011011 (隠しビットを含む)

指数バイアス（127）と指数（1）の合計は128なので、これは単精度形式で次のように表されます。

0 10000000 10010010000111111011011 (隠しビットを除く) = 40490FDB ^{[ 28 ]}を16進数で表す。

32ビット浮動小数点のレイアウトの例は次のとおりです。

64ビット（「倍精度」）レイアウトも同様です。

その他の注目すべき浮動小数点形式

広く用いられているIEEE 754標準フォーマットに加えて、特定の分野においては、他の浮動小数点フォーマットが使用されている、あるいは使用されてきた。

Microsoft Binary Format (MBF)は、Microsoft 初の製品であるAltair BASIC (1975 年)、TRS-80 LEVEL II、CP/MのMBASIC、IBM PC 5150のBASICA、MS-DOSのGW-BASIC、およびバージョン 4.00 以前のQuickBASICを含む Microsoft BASIC 言語製品向けに開発されました。QuickBASIC バージョン 4.00 および 4.50 は IEEE 754-1985 フォーマットに切り替わりましたが、/MBF コマンドオプションを使用して MBF フォーマットに戻すことができます。MBF は、ビル・ゲイツの寮の同居人であったモンテ・ダビドフによって、 1975 年春にMITS Altair 8800向けに、シミュレートされた Intel 8080上で設計および開発されました。 1975 年 7 月の最初のリリースでは、MITS Altair 8800 の4 キロバイトのメモリのコストのため、単精度 (32 ビット) フォーマットがサポートされていました。1975 年 12 月には、8 キロバイト版で倍精度 (64 ビット) フォーマットが追加されました。単精度 (40 ビット) バリアントフォーマットは、他の CPU、特にMOS 6502 ( Apple II、Commodore PET、Atari )、Motorola 6800 (MITS Altair 680)、Motorola 6809 ( TRS-80 Color Computer ) で採用されました。1975 年から 1987 年までのすべての Microsoft 言語製品は、Microsoft バイナリフォーマットを使用していましたが、1988 年以降、Microsoft はすべての製品で IEEE 754 標準フォーマットを採用し、現在のリリースに至っています。 MBF は、MBF 単精度形式 (32 ビット、「6 桁 BASIC」) ^[²⁹^]^[³⁰^] 、 MBF 拡張精度形式 (40 ビット、「9桁 BASIC」) ^[³⁰^] 、および MBF 倍精度形式 (64 ビット) ^[²⁹^]^[³¹^]で構成され、それぞれ 8 ビットの指数、それに続く符号ビット、そしてそれぞれ 23、31、55 ビットの仮数部で表されます。
bfloat16形式は、IEEE 754半精度形式と同じメモリ量（16ビット）を必要としますが、指数部に5ビットではなく8ビットを割り当てるため、IEEE 754単精度数と同じ範囲を提供します。ただし、末尾の仮数部が10ビットから7ビットに削減されるため、精度は低下します。この形式は主に機械学習モデルのトレーニングで使用され、精度よりも範囲が重視されます。多くの機械学習アクセラレータは、この形式のハードウェアサポートを提供しています。
TensorFloat-32 ^{[ 32 ]}フォーマットは、bfloat16 の 8 ビットの指数部と半精度フォーマットの 10 ビットの後続仮数部を組み合わせたもので、サイズは 19 ビットです。このフォーマットはNvidiaによって導入され、Nvidia Ampere アーキテクチャに基づく GPUの Tensor Core でハードウェアサポートが提供されています。このフォーマットの欠点は、サイズが 2 のべき乗ではないことです。ただし、Nvidia によると、このフォーマットは計算を高速化するためにハードウェア内部でのみ使用し、入力と出力は 32 ビット単精度 IEEE 754 フォーマットで格納する必要があります。^{[ 32 ]}
HopperおよびCDNA 3アーキテクチャのGPUは、2つのFP8フォーマットを提供します。1つは半精度(E5M2)と同じ数値範囲を持つもの、もう1つは精度は高いが範囲が狭いもの(E4M3)です。^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}
BlackwellおよびCDNA 4 GPUアーキテクチャは、FP6（E3M2およびE2M3）およびFP4（E2M1）フォーマットをサポートしています。FP4は、IEEE 754のすべての原理（ミニフロートを参照）を可能にする最小の浮動小数点フォーマットです。

表現可能な数値、変換、および丸め

浮動小数点形式で表現されるすべての数値は、その性質上、関連する基数で有限小数展開を持つ有理数です（たとえば、基数10での有限小数展開、または基数2での有限二進数展開）。πや1000などの無理数は、 $\textstyle {\sqrt {2}}}$ 、または非終止有理数は近似する必要があります。精度の桁数（またはビット数）によって、正確に表現できる有理数のセットも制限されます。たとえば、10 桁の精度が 8 桁しかない場合、10 進数 123456789 を正確に表現することはできません (表現可能な 2 つの値、12345678 × 10 ¹または 12345679 × 10 ^{1のいずれかに丸められます)。}非終止桁の場合も同様です(. 5 は.55555555 または .55555556 のいずれかに丸められます)。

数値が、コンピュータの実装でサポートされているネイティブの浮動小数点表現ではない形式（文字列など）で表現されている場合、その実装で使用するには変換が必要です。数値が浮動小数点形式で正確に表現できる場合は、変換は正確です。正確な表現がない場合は、元の値を表すためにどの浮動小数点数を使用するかを選択する必要があります。選択された表現は元の値とは異なる値になり、このように調整された値は丸め値と呼ばれます。

有理数が有限展開を持つかどうかは、基数によって決まります。たとえば、10進数では、1/2 は有限展開 (0.5) を持ちますが、1/3 は有限展開を持ちません (0.333...)。2進数では、分母が 2 のべき乗 (1/2 や 3/16 など) の有理数のみが有限展開を持ちます。分母が 2 以外の素因数を持つ有理数は、無限の二進展開を持ちます。これは、10 進数で記述すると短く正確な数値に見える数値でも、2 進浮動小数点数に変換する際には近似値が必要になる場合があることを意味します。たとえば、10 進数の 0.1 は、有限精度の 2 進浮動小数点数では表現できません。正確な 2 進数表現では、「1100」のシーケンスが無限に続きます。

e = −4; s = 1100110011001100110011001100110011...、

ここで、これまでと同様に、sは仮数、eは指数である。

24ビットに丸めると、

e = −4; s = 110011001100110011001101、

これは実際には10進数で0.100000001490116119384765625です。

さらに別の例として、実数πを無限ビット列としてバイナリで表すと次のようになります。

11.0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011...

しかし、

11.0010010000111111011011

24ビットの精度に丸めて近似した場合。

バイナリ単精度浮動小数点では、これはs = 1.10010010000111111011011 とe = 1 で表されます。これは 10 進数値で

3.141592 7410125732421875、

一方、πの真の値のより正確な近似値は

3.14159265358979323846264338327950 ...

丸め処理の結果は、真の値と約0.03ppmの差があり、πの小数表現の最初の7桁と一致します。この差は離散化誤差であり、マシンのイプシロンによって制限されます。

同じ指数を持つ連続する2つの表現可能な浮動小数点数の算術差を、最下位位の単位(ULP) と呼びます。たとえば、表現可能な数 1.45A70C22 ₁₆と 1.45A70C24 ₁₆の間に表現可能な数がない場合、ULP は 2×16 ⁻⁸、つまり 2 ⁻³¹です。2 進数の指数部が 0 である数、つまり絶対値が 1 以上 2 未満の数の場合、ULP は単精度では正確に 2 ⁻²³、つまり約 10 ^{−7であり、倍精度では正確に 2}⁻⁵³、つまり約 10 ⁻¹⁶です。IEEE 準拠のハードウェアの必須動作は、結果が ULP の 1/2 以内であることです。

丸めモード

丸めは、浮動小数点演算 (または浮動小数点形式への変換) の正確な結果が、仮数の桁数よりも多くの桁数を必要とする場合に使用されます。 IEEE 754 では正しい丸めが要求されます。つまり、丸められた結果は、無限精度の算術を使用して値を計算し、その後丸めた場合と同じになります (ただし、実装では、これを保証するために 3 ビットだけ追加する必要があります)。丸め方式 (または丸めモード) にはいくつかの種類があります。歴史的には、切り捨てが一般的なアプローチでした。 IEEE 754 の導入以来、デフォルトの方法 (最も近い値に丸め、同数の場合は偶数に丸める、バンカーズラウンドと呼ばれることもあります) がより一般的に使用されています。この方法は、算術演算の理想的な (無限精度の) 結果を最も近い表現可能な値に丸め、その表現を結果として与えます。^{[ nb 8 ]}同数の場合は、仮数が偶数で終わる値が選択されます。 IEEE 754規格では、平方根や変換を含むすべての基本的な代数演算において、数値（NaN以外）の結果が得られる場合、同じ丸め処理を適用することが求められています。つまり、IEEE 754演算の結果は、NaNの表現を除き、結果のすべてのビットで完全に決定されます。（cosやlogなどの「ライブラリ」関数は必須ではありません。）

代替の丸め方法も利用可能です。IEEE 754では、以下の丸めモードが規定されています。

最も近い整数に丸め、同数の場合は指定された桁の最も近い偶数に丸める（デフォルトであり、最も一般的なモード）。
最も近い値に丸め、同点の場合はゼロから遠ざかる方向に丸める（バイナリ浮動小数点数ではオプション、10進数では一般的に使用される）
切り上げ（+∞方向へ。負の値は0方向へ切り上げる）
切り捨て（−∞方向へ切り捨てる。したがって、負の値はゼロから遠ざかる方向に切り捨てられる）
ゼロ方向に丸める（切り捨て。これは、-3.9を-3に、3.9を3に変換する浮動小数点数から整数への変換の一般的な動作に似ています）。

代替モードは、導入される誤差の量を制限する必要がある場合に役立ちます。誤差の制限が必要なアプリケーションは、多倍長浮動小数点演算と区間演算です。代替丸めモードは、数値的不安定性の診断にも役立ちます。サブルーチンの結果が、+ 無限大と − 無限大への丸めで大きく異なる場合、数値的に不安定で丸め誤差の影響を受けている可能性が高いです。^{[ 35 ]}

最小限の桁数での2進数から10進数への変換

倍精度バイナリ浮動小数点数を10進数文字列に変換することは一般的な操作ですが、正確かつ最小限の計算量で結果を生成するアルゴリズムは、1990年にSteeleとWhiteによるDragon4が登場するまで出版されませんでした。それ以降の改良点には以下のようなものがあります。

David M. Gay のdtoa.c は、Dragon4 の多くのアイデアを実用的なオープンソースで実装したものです。^{[ 36 ]}
Grisu3は、bignumの使用を排除することで4倍の高速化を実現しています。約0.5%のケースで失敗するため、フォールバックと組み合わせて使用する必要があります。^[³⁷^]
Errol3は、Grisu3に似ているが、より遅い、常に成功するアルゴリズムである。フォールバック付きの早期終了型Grisuほど優れていないようだ。^{[ 38 ]}
Ryūは、Grisu3よりも高速でシンプルな、常に成功するアルゴリズムです。^{[ 39 ]}
Schubfachは、Ryūと同様のアイデアに基づいた、常に成功するアルゴリズムで、ほぼ同時期に独立して開発されました。^{[ 40 ]}特定のベンチマークでは、RyūやGrisu3よりも優れたパフォーマンスを発揮します。^{[ 41 ]}

多くの最新の言語ランタイムは、Dragon4 のフォールバックを備えた Grisu3 を使用しています。^{[ 42 ]}

10進数から2進数への変換

10進数文字列を2進数浮動小数点表現に解析する問題は複雑で、正確なパーサーは1990年のClingerの研究（dtoa.cに実装）まで登場しなかった。^{[ 36 ]}同様に、より高速な解析の方向でさらなる研究が進められた。^{[ 43 ]}

浮動小数点演算

分かりやすくするために、例ではIEEE 754 decimal32形式と同様に、7桁の精度を持つ10進数を使用します。基数や精度に関わらず基本的な原理は同じですが、正規化は任意です（結果の数値には影響しません）。ここで、sは仮数、eは指数を表します。

足し算と引き算

浮動小数点数を加算する簡単な方法は、まず同じ指数で表現することです。以下の例では、2番目の数（指数が小さい方）を3桁右にシフトし、その後、通常の加算方法で計算を進めます。

 123456.7 = 1.234567 × 10^5 101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5

 したがって： 123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2) = (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5) = (1.234567 + 0.001017654) × 10^5 = 1.235584654 × 10^5

詳細：

 e=5; s=1.234567 (123456.7) + e=2; s=1.017654 (101.7654)

 e=5; s=1.234567 + e=5; s=0.001017654 (シフト後) -------------------- e=5; s=1.235584654 (真の合計: 123558.4654)

これは真の結果、つまりオペランドの正確な合計です。7桁に丸められ、必要に応じて正規化されます。最終結果は

 e=5; s=1.235585 (最終合計: 123558.5)

2番目のオペランド（654）の下位3桁は実質的に失われます。これは丸め誤差です。極端な場合、2つのゼロ以外の数値の合計が、そのうちの1つと等しくなることがあります。

 e=5; s=1.234567 + e=−3; s=9.876543

 e=5; s=1.234567 + e=5; s=0.00000009876543 (シフト後) ---------------------- e=5; s=1.23456709876543 (真の合計) e=5; s=1.234567（丸めと正規化後）

上記の概念的な例では、正しい丸めを保証するために加算器が多数の追加桁を提供する必要があるように思われるが、慎重な実装技術を用いたバイナリ加算または減算では、オペランドの精度を超えて保持する必要があるのはガードビット、丸めビット、および1つの追加のスティッキービットのみである。^{[ 18 ]}^{[ 44 ]}^{： 218-220}

ほぼ等しい2つの数の近似値を引き算すると、有効性が失われるという別の問題が発生します。次の例では、 e = 5; s = 1.234571 とe = 5; s = 1.234567 は、有理数 123457.1467 と 123456.659 の近似値です。

 e=5; s=1.234571 − e=5; s=1.234567 ---------------- e=5; s=0.000004 e=−1; s=4.000000（丸めと正規化後）

浮動小数点の差は、数値が近いため正確に計算されます。これは、段階的アンダーフローがサポートされているアンダーフローの場合でも、スターベンツの補題によって保証されます。それにもかかわらず、元の数値の差はe = −1; s = 4.877000 であり、これは近似値の差e = −1; s = 4.000000と 20% 以上異なります。極端な場合、精度の有効桁がすべて失われる可能性があります。^[¹⁸^]^[⁴⁵^]この相殺は、計算結果のすべての桁が意味を持つと仮定することの危険性を示しています。これらのエラーの結果に対処することは、数値解析のトピックです。精度の問題も参照してください。

掛け算と割り算

乗算を行うには、仮数を掛け合わせ、指数を足し合わせ、結果を四捨五入して正規化します。

 e=3; s=4.734612 × e=5; s=5.417242 ----------------------- e=8; s=25.648538980104 (真の積) e=8; s=25.64854（四捨五入後） e=9; s=2.564854（正規化後）

同様に、除算は、被除数の指数から除数の指数を引いて、被除数の仮数を除数の仮数で割ることによって行われます。

乗算や除算には、相殺や吸収の問題はありませんが、演算を連続して実行すると小さな誤差が蓄積される可能性があります。^{[ 18 ]}実際には、デジタルロジックでこれらの演算を実行する方法は非常に複雑になることがあります（ブースの乗算アルゴリズムと除算アルゴリズムを参照）。^{[ nb 9 ]}

文字構文

浮動小数点数のリテラルは言語によって異なります。通常、科学的表記を表すにはeまたはを使用します。Cプログラミング言語とIEEE 754規格では、10 ではなく 2 を底とする指数を持つ16 進数リテラル構文も定義されています。C のような言語では、10 進指数が省略されている場合、整数と区別するために小数点が必要です。他の言語には整数型がありません ( JavaScriptなど)、または数値型のオーバーロードを許可しています ( Haskellなど)。これらの場合、などの数字列も浮動小数点リテラルとして使用できます。E123

浮動小数点リテラルの例は次のとおりです。

99.9
-5000.12
6.02e23
-3e-45
0x1.fffffep+127C言語およびIEEE 754

例外的なケースへの対応

コンピュータにおける浮動小数点演算には、次の3種類の問題が発生する可能性があります。

演算は、∞/∞やゼロ除算のように、数学的に定義されていない場合がある。
演算は原理的には合法であっても、特定のフォーマットではサポートされていない場合があります。たとえば、 -1 の平方根や 2 の逆正弦を計算する場合（どちらも複素数になります）。
演算自体は原理的には正当であっても、指数が大きすぎたり小さすぎたりして指数フィールドに収まらないため、結果を指定された形式で表現できない場合があります。このような事象は、オーバーフロー（指数が大きすぎる場合）、アンダーフロー（指数が小さすぎる場合）、または非正規化（精度損失）と呼ばれます。

IEEE規格が制定される以前は、このような状況が発生すると、通常はプログラムが終了したり、プログラマが捕捉できる何らかのトラップが作動したりしていました。しかし、その仕組みはシステムに依存していたため、浮動小数点プログラムは移植性に欠けていました。

IEEE 754 で使用される「例外」という用語は、例外的な状態を意味する一般的な用語であり、必ずしもエラーを意味するものではありません。これは、C++ や Java などのプログラミング言語で一般的に定義されている使用法とは異なります。C++ や Java などのプログラミング言語では、「例外」は制御の代替フローであり、IEEE 754 の用語で「トラップ」と呼ばれるものに近いものです。ただし、そのような言語でも、制御フロー例外がArithmeticExceptionスローされる可能性があります。

ここでは、IEEE 754 に従って例外を処理するための必須のデフォルト方法について説明します (IEEE 754 のオプションのトラップやその他の「代替例外処理」モードについては説明しません)。算術例外は (デフォルトでは) 「スティッキー」ステータスフラグビットに記録する必要があります。「スティッキー」とは、次の (算術) 演算によってリセットされず、明示的にリセットされるまでセットされたままになることを意味します。したがって、「スティッキー」フラグを使用することで、例外条件のテストを完全な浮動小数点式またはサブルーチンの後に延期できます。これらがない場合、無視できない例外条件は、すべての浮動小数点演算の直後に明示的にテストする必要があります。デフォルトでは、演算は常に計算を中断することなく仕様に従って結果を返します。たとえば、1/0 は +∞ を返し、同時にゼロ除算フラグビットもセットします (このデフォルトの ∞ は、後続の演算で使用される場合に有限の結果を返すように設計されているため、安全に無視できます)。

しかし、オリジナルの IEEE 754 規格では、このような算術例外フラグビットのセットを処理する操作が推奨されていませんでした。そのため、ハードウェアでは実装されていましたが、当初はプログラミング言語の実装では (アセンブラを除いて) それらにアクセスする手段が提供されていませんでした。時を経て、一部のプログラミング言語規格 ( C99 / C11 や Fortran など) が更新され、ステータスフラグビットにアクセスして変更する方法が指定されるようになりました。2008 年版の IEEE 754 規格では、算術フラグビットにアクセスして処理するためのいくつかの操作が指定されています。プログラミングモデルは単一の実行スレッドに基づいており、複数のスレッドによる使用は、規格外の手段で処理する必要があります (例えば、 C11 ではフラグがスレッドローカルストレージを持つことが指定されています)。

IEEE 754では、ステータスフラグ（「スティッキービット」）に記録されるべき5つの算術例外が規定されている。

inexact : 丸められた（そして返される）値が、演算の数学的に正確な結果と異なる場合に設定します。
アンダーフローは、丸められた値が小さい場合（IEEE 754 で規定されているように）かつ不正確な場合（または、IEEE 754 の 1985 年版に従って非正規化損失がある場合に限定される場合）に設定され、ゼロを含む非正規値を返します。
overflow：丸められた値の絶対値が大きすぎて表現できない場合に設定されます。使用される丸め方法に応じて、無限大または最大有限値が返されます。
ゼロ除算。有限のオペランドに対して結果が無限大になる場合に設定され、+∞ または −∞ のいずれかの無限大を返します。
無効。有限または無限の結果が返せない場合（例：sqrt(−1)または0/0）に設定され、静かなNaNが返されます。

{\displaystyle R_{tot}} — 図1：並列接続された抵抗、合計抵抗 $R_{tot}$

各例外のデフォルトの戻り値は、ほとんどの場合正しい結果が得られるように設計されているため、ほとんどのコードでは例外を無視できます。不正確は正しく丸められた結果を返し、アンダーフローは最小の正の正規数以下の値を返し、ほぼ常に無視できます。^{[ 46 ]}ゼロ除算は正確に無限大を返し、通常は有限数を除算してゼロになります。そうでない場合は、その後で無効な例外が発生するため、これも通常は無視できます。たとえば、n 個の抵抗器を並列接続した場合の実効抵抗 (図 1 を参照) は、次のように表されます。 $R_{\text{tot}}=1/(1/R_{1}+1/R_{2}+\cdots +1/R_{n})$ 短絡が発生した場合 $R_{1}$ 0に設定、 $1/R_1$ は +infinity を返し、最終的な結果をもたらします。 $R_{tot}$ 予想通り0になります^{[ 47 ]} （別の例については、IEEE 754設計の根拠の連分数の例を参照してください）。

オーバーフローや無効な例外は通常無視できませんが、必ずしもエラーを表すわけではありません。たとえば、ルート探索ルーチンは、通常の動作の一部として、渡された関数をその定義域外の値で評価し、NaN と無効な例外フラグを返して、有用な開始点が見つかるまで無視する場合があります。^{[ 46 ]}

精度に関する問題

浮動小数点数がすべての実数を正確に表現できないこと、また浮動小数点演算が真の算術演算を正確に表現できないという事実は、多くの驚くべき状況を引き起こします。これは、コンピュータが一般的に数値を表現する際の有限の精度に関係しています。

例えば、10進数の0.1と0.01は、バイナリ浮動小数点数として正確に表現することはできません。24ビットの仮数部を持つIEEE 754 binary32形式では、0.1の近似値を二乗しても、0.01でも、それに最も近い表現可能な数値でもありません。10進数の0.1は、バイナリでは $e = -4$ ; $s = 110011001100110011001101$ と表現されます。

正確には0.100000001490116119384765625です。

この数を二乗すると

0.010000000298023226097399174250313080847263336181640625 正確に。

24ビット精度に丸めて二乗すると

正確には 0.010000000707805156707763671875 です。

しかし、0.01に最も近い表現可能な数値は

正確には 0.009999999776482582092285156250 です。

また、π（およびπ/2）は表現不可能であるため、tan(π/2)の計算を試みても無限大の結果は得られず、通常の浮動小数点形式でもオーバーフローしません（tanの正確な実装を前提としています）。π/2は正確に表現できないため、標準的な浮動小数点ハードウェアでtan(π/2)を計算することは単純に不可能です。C言語でのこの計算は次のとおりです。

// 正しい近似値が得られるように十分な桁数。const double pi = 3.1415926535897932384626433832795 ; double z = tan ( pi / 2.0 );

結果は 16331239353195370.0 になります。単精度（tanf関数を使用）では、結果は −22877332.0 になります。

同様に、sin(π) の計算を試みてもゼロにはなりません。結果は、倍精度では (およそ) 0.1225 × 10 ⁻¹⁵ 、単精度では−0.8742 × 10 ^{−7になります。}^{[ nb 10 ]}

浮動小数点数の加算と乗算はどちらも交換法則が成り立ちますが( $a + b = b + a$ および $a \times b = b \times a$ )、必ずしも結合法則が成り立つとは限りません。つまり、 $(a + b) + c$ は必ずしも $a + (b + c)$ と等しいとは限りません。7 桁の仮数を持つ 10 進数演算を使用すると次のようになります。

a = 1234.567、b = 45.67834、c = 0.0004

(a + b) + c: 1234.567 (a) + 45.67834 (b) ____________ 1280.24534を四捨五入すると1280.245になります。

 1280.245 (a + b) + 0.0004 (c) ____________ 1280.2454 を四捨五入すると 1280.245 ← (a + b) + c

a + (b + c): 45.67834 (b) + 0.0004 (c) ____________ 45.67874

 1234.567 (a) + 45.67874 (b + c) ____________ 1280.24574 を四捨五入すると 1280.246 ← a + (b + c)

また、それらは必ずしも分配法則を満たすとは限りません。つまり、 $(a + b) \times c は$ $a \times c + b \times c$ と同じとは限りません。

1234.567 × 3.333333 = 4115.223 1.234567 × 3.333333 = 4.115223 4115.223 + 4.115223 = 4119.338 しかし 1234.567 + 1.234567 = 1235.802 1235.802 × 3.333333 = 4119.340

有効性の喪失、πや0.1などの数値を正確に表現できないこと、その他のわずかな不正確さに加えて、次のような現象が発生する可能性があります。

取り消し: ほぼ等しいオペランドの減算は、精度の極端な低下を引き起こす可能性があります。^{[ 48 ]}^{[ 45 ]} 2 つのほぼ等しい数を減算すると、最上位桁がゼロに設定され、重要でない、最も誤りやすい桁だけが残ります。^{[ 1 ]}^{: 124}例えば、関数の導関数を求める場合、次の式が使用されます。 $Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ $直感的には、 h は$ ゼロに非常に近い値にしたいものですが、浮動小数点演算を用いる場合、最小の値が導関数の最良の近似値になるとは限りません。h が $小さくなるにつれて、$ $f (a + h)$ と $f (a)$ の差が小さくなり、最も重要で誤差の少ない桁が相殺され、誤差の大きい桁の重要性が増します。結果として、 $h$ を最小にすると、やや大きい値よりも導関数の近似値が不正確になります。これはおそらく、最も一般的で深刻な精度上の問題です。
整数への変換は直感的ではありません。例えば、(63.0/9.0)を整数に変換すると7になりますが、(0.63/0.09)を整数に変換すると6になる場合があります。これは、変換処理が一般的に四捨五入ではなく切り捨てを行うためです。床関数や天井関数は、直感的に予想される値から1だけずれた結果を生成する可能性があります。
指数範囲が限られているため、結果がオーバーフローして無限大になる場合や、アンダーフローして非正規数またはゼロになる場合があります。これらの場合、精度が失われます。
安全な除算のテストには問題がある。除数がゼロでないことを確認しても、除算でオーバーフローが発生しないことが保証されるわけではない。
等価性のテストは問題が多い。数学的に等しい2つの計算シーケンスでも、浮動小数点値が異なる場合がある。^{[ 49 ]}

事件

1991年2月25日、サウジアラビアのダーランでMIM-104パトリオットミサイルシステムの機能低下により、飛来するスカッドミサイルを迎撃できず、米陸軍第14需品分遣隊の兵士28名の死亡につながった。^[⁵⁰^] 兵器管制コンピュータは、起動からの経過時間を10分の1秒単位の整数でカウントしていた。速度と位置の計算で浮動小数点数（秒）に変換するために、ソフトウェアは当初、この数値を0.1の24ビット固定小数点バイナリ近似値で乗算していた。具体的には $0.00011001100110011001100_{2}=0.1\times (1-2^{-20}).$ ソフトウェアの一部は後に、より正確な浮動小数点変換を使用するように変更されましたが、一部は更新されず、依然として 24 ビット近似を使用していました。^{[ 51 ]} これらのソフトウェアの部分は、 1 時間あたり約 3.43 ミリ秒ずつずれていきました。20 時間後には、約 68.7 ミリ秒のずれが、レーダー追跡システムがスカッドを見失うのに十分でした。ダハランミサイル砲台の制御システムは、飛来するスカッドを追跡して迎撃できなかったとき、約 100 時間稼働していました。^{[ 50 ]} 迎撃の失敗は、浮動小数点を使用したこと自体が原因ではなく、時間を表す際に異なる誤差を持つ 2 つの異なる単位変換近似を減算したことが原因でした。そのため、差の単位変換誤差は相殺されず、稼働時間とともに無限に増加しました。^{[ 51 ]}
サラミスライスとは、取引の「目に見えない」部分を別の口座に移す手法のことである。

機械精度と後方誤差解析

機械精度は、浮動小数点システムの精度を表す量であり、浮動小数点アルゴリズムの後方誤差解析に用いられます。単位丸め誤差またはマシンイプシロンとも呼ばれます。通常は $Εmach で$ 表され、その値は使用される丸め方法によって異なります。

ゼロに丸めると、 $\mathrm {E} _{\text{マッハ}}=B^{1-P},\,$ 一方、最も近い値に丸めると、 $\mathrm {E} _{\text{mach}}={\tfrac {1}{2}}B^{1-P},$ ここで、Bはシステムの基数であり、Pは仮数の精度（基数B）である。

これは、浮動小数点システムの正規化された範囲内で、ゼロ以外の実数 $xを表現する際の$ 相対誤差を制限するため重要です。 $\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {fl} (x)-x}{x}}\right|\leq \mathrm {E} _{\text{mach}}.}$

後方誤差解析は、その理論がジェームズ・H・ウィルキンソンによって開発され普及したもので、数値関数を実装するアルゴリズムが数値的に安定していることを確立するために使用できます。^{[ 52 ]}基本的なアプローチは、丸め誤差のために計算結果が厳密には正しくないとしても、わずかに摂動された入力データを持つ近傍の問題の正確な解であることを示すことです。必要な摂動が小さく、入力データの不確実性のオーダーであれば、結果は、ある意味でデータが「ふさわしい」精度になります。この場合、アルゴリズムは後方安定であると定義されます。安定性は、特定の数値手順の丸め誤差に対する感度の尺度です。対照的に、特定の問題に対する関数の条件数は、入力の小さな摂動に対する関数の固有の感度を示し、問題を解くために使用される実装とは無関係です。^{[ 53 ]}

簡単な例として、長さ2のベクトルの内積を表す単純な式を考えてみましょう。 $x$ そして $y$ 、それから ${\begin{aligned}\operatorname {fl} (x\cdot y)&=\operatorname {fl} {\big (}\operatorname {fl} (x_{1}\cdot y_{1})+\operatorname {fl} (x_{2}\cdot y_{2}){\big )},&&{\text{ where }}\operatorname {fl} (){\text{ indicates correctly rounded floating-point arithmetic}}\\&=\operatorname {fl} {\big (}(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2}){\big )},&&{\text{ where }}\delta _{n}\leq \mathrm {E} _{\text{mach}},{\text{ from above}}\\&={\big (}(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2}){\big )}(1+\delta _{3})\\&=(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})(1+\delta _{3})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2})(1+\delta _{3}),\end{aligned}}$ など $\operatorname {fl} (x\cdot y)={\hat {x}}\cdot {\hat {y}},$

どこ

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{1}&=x_{1}(1+\delta _{1});&{\hat {x}}_{2}&=x_{2}(1+\delta _{2});\\{\hat {y}}_{1}&=y_{1}(1+\delta _{3});&{\hat {y}}_{2}&=y_{2}(1+\delta _{3}),\\\end{aligned}}$

どこ

$\delta _{n}\leq \mathrm {E} _{\text{mach}}$

_{定義により、これはわずかに摂動された（Εマッハ}のオーダーの）2 つの入力データの合計であり、後方安定です。数値線形代数におけるより現実的な例については、Higham 2002 ^{[ 54 ]}および以下の他の参考文献を参照してください。

精度問題の影響を最小限に抑える

IEEE 754 の個々の算術演算はULP の半分以内の精度が保証されていますが、より複雑な数式ではさまざまな理由で誤差が大きくなる可能性があります。問題やデータが悪条件である場合、つまり正しい結果がデータのわずかな変動に過敏な場合、精度の低下は相当なものになる可能性があります。しかし、条件の良い関数であっても、そのデータに対して数値的に不安定なアルゴリズムを使用すると、精度が大きく低下する可能性があります。プログラミング言語で表現された一見同等の式でも、数値的安定性は大きく異なる場合があるのです。このような精度低下のリスクを取り除くためのアプローチの 1 つは、数値的に安定したアルゴリズムの設計と解析であり、これは数値解析と呼ばれる数学の分野の目標です。数値不安定性のリスクから保護できるもう 1 つのアプローチは、アルゴリズムの中間値 (仮値) を最終結果に必要な精度よりも高い精度で計算することであり、^{[ 55 ]}これにより、そのようなリスクを排除するか、桁違いに低減することができます。 ^{[ 56 ]} IEEE 754 四倍精度と拡張精度は、倍精度で計算する場合にこの目的のために設計されています。^{[ 57 ]}^{[ nb 11 ]}

exp( x - 1)

例えば、次のアルゴリズムは関数を計算するための直接的な実装です。 ${\textstyle f(x)={\frac {x-1}{\exp(x-1)-1}}}$ 状態が良い ${\textstyle x=1}$ ^{[注12 ]}しかし、1.0付近で計算すると数値的に不安定になり、演算によって保持される有効桁の最大半分を失うことが示されています。^{[ 58 ]}

#include <math.h>double f ( double x ) {double y = x - 1.0 ;double z = exp ( y );if ( z != 1.0 ) {z = y / ( z - 1.0 );}zを返す;}

アルゴリズムの数値解析によると、強調表示された部分を非自明な変更z = y / (z - 1.0);で置き換えると、アルゴリズムは数値的に安定し、完全な倍精度で計算できるようになることが明らかになった。 ^[⁵⁸^]z = log(z) / (z - 1.0);数値的に安定なプログラムの特性を厳密に維持するためには、コンパイラによる慎重な処理が不可欠です。コンパイラが行う特定の「最適化」（例えば、演算順序の変更など）は、適切に動作するソフトウェアの目標に反する場合があります。この分野におけるコンパイラと言語設計の欠点については議論があり、C99は数値精度を維持するために最適化が厳密に規定されている言語の一例です。詳細は、本記事末尾の外部参考文献をご覧ください。精度問題が発生する可能性のある多くの一般的な関数のより正確な実装は、C言語の数学関数や他の言語の標準ライブラリに見られます。たとえば、上記の演算は、計算において致命的な打ち消しの問題を抱えています。

x-1

代わりにexpm1

で実装することも可能です

{\textstyle (x)=\exp(x-1)}

同様の関数には

log1pがあります。

{\textstyle (x)=\log(1+x)}

仮説

​

{\textstyle (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

[ ⁵⁹^]

高品質な浮動小数点ソフトウェアを作成するための技術の詳細な説明はこの記事の範囲外であるため、読者は^{[ 54 ]}^{[ 60 ]}およびこの記事の末尾にあるその他の参考文献を参照してください。Kahanは、より慎重な数値解析に加えて、またはそれに代わるものとして、数値異常のリスクを桁違いに大幅に低減できるいくつかの経験則を提案しています^{[ 60 ]}。これらには、前述のように、すべての式と中間結果をハードウェアでサポートされている最高精度で計算すること（一般的な経験則は、目的の結果の2倍の精度を保持すること、つまり、最終的な単精度結果の場合は倍精度で計算し、倍精度結果までの場合は倍精度拡張または4倍精度で計算すること^{[ 61 ]}）が含まれます。また、入力データと結果を、入力データが必要とし、サポートする精度のみに丸めます（最終結果に、入力データが必要とし、サポートする精度を超える過剰な精度を持たせると、誤解を招く可能性があり、ストレージコストが増加し、速度が低下し、余分なビットが数値手順の収束に影響を与える可能性があります。^{[ 62 ]}特に、以下に示す反復例の最初の形式は、この経験則を使用すると正しく収束します）。いくつかの追加の問題と手法について簡単に説明します。

小数

小数部分はバイナリ浮動小数点では正確に表現できない場合が多いため、このような演算は、土星の衛星の公転周期や陽子の質量など、広範囲にわたる実世界の量を測定する場合に最も適しており、正確であることが期待される小数文字列で表現された量の相互作用をモデル化する場合には最も適していません。^{[ 56 ]}^{[ 60 ]}後者の例としては、金融計算が挙げられます。このため、金融ソフトウェアはバイナリ浮動小数点表現を使用しない傾向があります。^{[ 63 ]} (お金にバイナリ浮動小数点を使用することが必ずしも危険というわけではありませんが、コードの単純さは、エラー分析に基づく議論を策定し、丸めるべき正しい桁数を指定するのに費やす時間に見合うものではありません。)

小数に関する問題を示す古典的なおもちゃの問題0.1 + 0.2 - 0.3はであり、これは約となります。期待される 0 ではなく、倍精度で5.551 × 10 ⁻¹⁷となるのは、 § 表現可能な数、変換、丸めで述べたように、3 つの数すべてが有限のバイナリ展開で表現できないためです。^{[ 64 ]}

C#およびPythonプログラミング言語の「decimal」データ型やIEEE 754-2008規格の 10 進形式に代表される 10 進浮動小数点数は、人間が入力した正確な 10 進数値に適用した場合の 2 進浮動小数点表現の問題を回避し、数値が 10 進数で印刷されたときに常に期待どおりの演算動作をするように設計されています。^{[ 65 ]}より制限的なオプションは、固定小数点数として機能する「currency」データ型です。^{[ 66 ]}

もはや成り立たない平等

数学から期待されることが、浮動小数点演算の分野では実現されない場合がある。例えば、 $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\;$ そして、 $\sin ^{2}{\theta }+\cos ^{2}{\theta }=1\;$ しかし、関係する量が浮動小数点演算の結果である場合、これらの事実は当てになりません。どちらの式も丸め誤差の影響を受け、前者はさらにアンダーフロー、オーバーフロー、および致命的な打ち消しのリスクがあります。

厳密等価性テスト（if (x==y) ...）の使用は、浮動小数点数を扱う際には注意が必要です。多くのエラー（たとえ小さなエラーであっても）によって、ほとんどの等価性が真と評価されなくなる傾向があるためです。のような単純な式でさえ、任意のバイナリ浮動小数点形式0.6 / 0.2 - 3 == 0で計算すると偽になります^[⁶⁷^]（たとえば、IEEE 754倍精度では、はほぼに等しくなります）。0.6 / 0.2 - 3−4.440 892 098 500 63 × 10 ⁻¹⁶ )。したがって、このようなテストは、時として「あいまいな」比較（if (abs(x-y) < epsilon) ...、ここでイプシロンは十分に小さく、アプリケーションに合わせて調整されており、例えば 1.0E−13 など）に置き換えられます。これを行うことの妥当性は大きく異なり、イプシロンを制限するために数値解析が必要になる場合があります。^{[ 54 ]}

一次データ表現から導出された値とその比較は、丸め誤差による不整合のリスクを最小限に抑えるため、より広い拡張精度で実行する必要があります。^{[ 60 ]}多くの場合、このようなテストが不要になるようにコードを構成した方が良いでしょう。たとえば、計算幾何学では、点が他の点によって定義された直線または平面上にあるか、または外れているかの正確なテストは、適応精度または正確な算術方法を使用して実行できます。^{[ 68 ]}

反復手順

浮動小数点演算における小さな誤差は、数学的アルゴリズムが膨大な回数演算を実行すると大きくなる可能性があります。いくつかの例としては、行列の逆行列計算、固有ベクトル計算、微分方程式の解法などがあります。これらのアルゴリズムは、うまく機能するためには、反復改良などの数値的手法を用いて非常に慎重に設計する必要があります。 ^{[ 69 ]}

浮動小数点値のベクトルの合計は科学計算における基本的なアルゴリズムであり、そのため、有効数字の損失が発生する可能性がある場合を認識することが不可欠です。たとえば、非常に多くの数値を加算する場合、個々の加数は合計に比べて非常に小さくなります。これにより、有効数字の損失が発生する可能性があります。典型的な加算は次のようになります。

3253.671 + 3.141276 ----------- 3256.812

加数の下位3桁は事実上失われます。たとえば、すべて約3に等しい多数の数を加算する必要があるとします。1000個の数を加算した後、累積和は約3000になります。失われた桁は回復されません。ペアワイズ加算や補償加算などの特殊な浮動小数点加算アルゴリズムを使用して、エラーを減らすことができます。^[⁵⁴^]

反復処理における丸め誤差

丸め誤差は、反復数値計算手順の収束性と精度に影響を与える可能性があります。例えば、アルキメデスは、六角形から始めて辺の数を順次倍にして、円に内接および外接する多角形の周長を計算することでπを近似しました。前述のように、計算は数学的に等価でありながら誤差が生じにくい方法で再構成できます（数値解析）。外接多角形の漸化式の2つの形式は次のとおりです。

${\textstyle t_{0}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$
最初の形式: ${\textstyle t_{i+1}={\frac {{\sqrt {t_{i}^{2}+1}}-1}{t_{i}}}}$
第二形式： ${\textstyle t_{i+1}={\frac {t_{i}}{{\sqrt {t_{i}^{2}+1}}+1}}}$
$\pi \sim 6\times 2^{i}\times t_{i}$ 収束して $i\rightarrow \infty$

以下は、IEEEの「double」（53ビットの精度を持つ仮数）演算を用いた計算例です。

i 6 × 2 ⁱ × t _i、第1形式 6 × 2 ⁱ × t _i、第2形式 --------------------------------------------------------- 0 3 .4641016151377543863 3 .4641016151377543863 1 3 .2153903091734710173 3 .2153903091734723496 2 3.1 596599420974940120 3.1 596599420975006733 3 3.14 60862151314012979 3.14 60862151314352708 4 3.14 27145996453136334 3.14 27145996453689225 5 3.141 8730499801259536 3.141 8730499798241950 6 3.141 6627470548084133 3.141 6627470568494473 7 3.141 6101765997805905 3.141 6101766046906629 8 3.14159 70343230776862 3.14159 70343215275928 9 3.14159 37488171150615 3.14159 37487713536668 10 3.141592 9278733740748 3.141592 9273850979885 11 3.141592 7256228504127 3.141592 7220386148377 12 3.1415926 717412858693 3.1415926 707019992125 13 3.1415926 189011456060 3.14159265 78678454728 14 3.1415926 717412858693 3.14159265 46593073709 15 3.14159 19358822321783 3.141592653 8571730119 16 3.1415926 717412858693 3.141592653 6566394222 17 3.1415 810075796233302 3.141592653 6065061913 18 3.1415926 717412858693 3.1415926535 939728836 19 3.141 4061547378810956 3.1415926535 908393901 20 3.14 05434924008406305 3.1415926535 900560168 21 3.14 00068646912273617 3.141592653589 8608396 22 3.1 349453756585929919 3.141592653589 8122118 23 3.14 00068646912273617 3.14159265358979 95552 24 3 .2245152435345525443 3.14159265358979 68907 25 3.14159265358979 62246 26 3.14159265358979 62246 27 3.14159265358979 62246 28 3.14159265358979 62246 真の値は3.14159265358979323846264338327...です。

漸化式の 2 つの形式は明らかに数学的に等価ですが、^{[ nb 13 ]}最初の形式は 1 に非常に近い数から 1 を減算するため、有効桁の損失がますます問題になります。漸化式を繰り返し適用すると、最初は精度が向上しますが、その後悪化します。53 ビット演算では約 16 桁の精度が可能であるにもかかわらず、精度は約 8 桁を超えることはありません。漸化式の 2 番目の形式を使用すると、値は 15 桁の精度に収束します。

「高速数学」最適化

浮動小数点演算の結合性の欠如は、一般的に、コンパイラが整数演算や固定小数点演算ほど効果的に算術式を並べ替えることができないことを意味し、共通部分式の削除や自動ベクトル化などの最適化の障害となります。^{[ 70 ]}多くのコンパイラ（ICC、GCC、Clang、MSVCなど）の「高速演算」オプションは、再結合を有効にするとともに、IEEE 754 に NaN や無限数がないといった安全でない仮定を伴います。一部のコンパイラは、再結合のみを有効にしたり、より積極的な最適化のためにコードの特定の領域をマークしたりする、よりきめ細かいオプションも提供しています。^{[ 71 ]}いずれの場合も、プログラマは、「高速」演算を使用するプログラムの部分で、上記で述べた精度の落とし穴の多くにさらされます。^{[ 72 ]}

一部のコンパイラ（GCC および Clang [GCC がインストールされているとき]）では、「高速」演算を有効にすると、プログラムが起動時に非正規浮動小数点演算を無効にする可能性があり、生成されたコードだけでなく、そのようなコードをライブラリとして使用するすべてのプログラムの浮動小数点動作にも影響を及ぼします。これは GCC 13 で修正されました。^{[ 73 ]}

ほとんどのFortranコンパイラでは、ISO/IEC 1539-1:2004 Fortran 規格で許可されているように、再関連付けがデフォルトであり、「括弧の保護」設定 (これもデフォルトで有効) によって、破損がほぼ防止されます。この設定により、コンパイラは括弧の境界を超えて再関連付けを行うことができません。^{[ 74 ]} Intel Fortran コンパイラは注目すべき例外です。^{[ 75 ]}

「高速」な数学における一般的な問題は、部分式が場所ごとに同じように最適化されない可能性があり、予期しない差異が生じることです。この問題の解釈の一つは、現在実装されている「高速」な数学のセマンティクスが十分に定義されていないということです。「高速」な数学の最適化を形式化する試みの一つとして、検証済みコンパイラであるIcingが挙げられます。^{[ 76 ]}

注記

↑浮動小数点数の仮数は、一部の著者によって仮数とも呼ばれますが、対数の仮数と混同しないように注意が必要です。係数や引数といった用語も、やや曖昧な表現として使われることがあります。また、一部の著者による「分数」という用語の使用も、誤解を招く可能性があります。特性（例えばCDCで使用されているもの）という用語は、歴史的に浮動小数点数の指数を表すためにも使われていたため、曖昧です。
↑浮動小数点数の指数は、スケールとも呼ばれることがあります。特性（バイアス指数、指数バイアス、または過剰n表現）という用語は、歴史的に浮動小数点数の仮数を指定するためにも使用されていたため、曖昧です。
↑ 16 進数 (基数 16) 浮動小数点演算は、 IBM System 360 (1964 年) および370 (1970 年) やさまざまな新しい IBM マシン、 RCA Spectra 70 (1964 年)、Siemens 4004 (1965 年)、7.700 (1974 年)、7.800、7.500 (1977 年) シリーズのメインフレームとその後継機、Unidata 7.000 シリーズのメインフレーム、 Manchester MU5 (1972 年)、 HEP (1982 年) コンピュータ、および Fujitsu、Amdahl、Hitachi が製造した 360/370 互換メインフレームファミリーで使用されています。また、大学のILLIAC III（1966年）、データゼネラルのEclipse S/200（1974年頃）、グールドのPowernode 9080（1980年代）、インターデータ8/32（1970年代）、 SELシステムズの85および86 、 SDSのSigma 5（1967年）、 7（1966年）、ゼロックスのSigma 9 （1970年）でも。
↑ 8進数（基数8）浮動小数点演算は、 Ferranti Atlas（1962年）、 Burroughs B5500（1964年）、（1971年）、 Burroughs B6700（1971年）、 Burroughs B7700（1972年）で。
↑ 4進数（基数4）浮動小数点演算は、イリノイ大学のILLIAC II（1962年）コンピュータで使用されています。また、高解像度測量システムであるデジタルフィールドシステムDFS IVおよびVでも使用されています。
↑ライス研究所のR1コンピュータでは、1958年から256進浮動小数点演算が使用されています
↑基数65536の浮動小数点演算は、 MANIAC II（1956年）コンピュータで使用されています。
↑コンピュータのハードウェアは必ずしも正確な値を計算するわけではありません。無限に正確な結果を計算したかのように、同等の丸められた結果を生成すればよいのです。
↑現代の除算アルゴリズムの途方もない複雑さが、かつて有名なエラーを引き起こしました。初期のIntel Pentiumチップには、まれにわずかに誤った結果を返す除算命令が搭載されていました。このエラーが発見されるまでに、多くのコンピュータが出荷されていました。欠陥のあるコンピュータが交換されるまで、この不具合を回避できるコンパイラのパッチ版が開発されました。Pentium FDIVバグを参照してください。
↑しかし、計算を試みたところ、 $\cos(\pi )$ 収量 $-1$ まさにその通りです。導関数は、 $\pi$ 引数の不正確さの影響は、浮動小数点数の間隔よりもはるかに小さい。 $-1$ そして、四捨五入した結果は正確です。
↑ウィリアム・カーンは次のように述べています。「極めてまれな状況を除けば、超高精度な計算は、有能な誤差分析担当者を雇うよりもはるかに低いコストで、丸め誤差によるリスクを軽減します。」
↑この関数のテイラー展開は、それが近傍で良好な条件であることを示している $x=1$ : $f(x)=1-{\frac {x-1}{2}}+{\frac {(x-1)^{2}}{12}}-{\frac {(x-1)^{4}}{720}}+{\frac {(x-1)^{6}}{30240}}-{\frac {(x-1)^{8}}{1209600}}+\cdots$ のために $|x-1|<\pi$ 。
↑ 2 つの形式の等価性は、2 番目の形式の分数の分母が最初の形式の分子の共役であることに注目することで代数的に検証できます。最初の式の分子と分母にこの共役を掛けると、2 番目の式が得られます。

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さらに読む

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外部リンク

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OpenCores。（注：このウェブサイトには、FPGAまたはASICデバイスにおける浮動小数点演算子の実装のためのオープンソース浮動小数点IPコアが含まれています。プロジェクトdouble_fpuには倍精度浮動小数点演算ユニットのVerilogソースコードが含まれています。プロジェクトfpuvhdlには単精度浮動小数点演算ユニットのVHDLソースコードが含まれています。）
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[NB_Significand-4] 浮動小数点数の仮数は、一部の著者によって仮数とも呼ばれますが、対数の仮数と混同しないように注意が必要です。係数や引数といった用語も、やや曖昧な表現として使われることがあります。また、一部の著者による「分数」という用語の使用も、誤解を招く可能性があります。特性（例えばCDCで使用されているもの）という用語は、歴史的に浮動小数点数の指数を表すためにも使われていたため、曖昧です。

[NB_Exponent-5] 浮動小数点数の指数は、スケールとも呼ばれることがあります。特性（バイアス指数、指数バイアス、または過剰n表現）という用語は、歴史的に浮動小数点数の仮数を指定するためにも使用されていたため、曖昧です。

[NB_9-8] 16 進数 (基数 16) 浮動小数点演算は、 IBM System 360 (1964 年) および370 (1970 年) やさまざまな新しい IBM マシン、 RCA Spectra 70 (1964 年)、Siemens 4004 (1965 年)、7.700 (1974 年)、7.800、7.500 (1977 年) シリーズのメインフレームとその後継機、Unidata 7.000 シリーズのメインフレーム、 Manchester MU5 (1972 年)、 HEP (1982 年) コンピュータ、および Fujitsu、Amdahl、Hitachi が製造した 360/370 互換メインフレームファミリーで使用されています。また、大学のILLIAC III（1966年）、データゼネラルのEclipse S/200（1974年頃）、グールドのPowernode 9080（1980年代）、インターデータ8/32（1970年代）、 SELシステムズの85および86 、 SDSのSigma 5（1967年）、 7（1966年）、ゼロックスのSigma 9 （1970年）でも。

[NB_8-10] 8進数（基数8）浮動小数点演算は、 Ferranti Atlas（1962年）、 Burroughs B5500（1964年）、（1971年）、 Burroughs B6700（1971年）、 Burroughs B7700（1972年）で。

[NB_11-12] 4進数（基数4）浮動小数点演算は、イリノイ大学のILLIAC II（1962年）コンピュータで使用されています。また、高解像度測量システムであるデジタルフィールドシステムDFS IVおよびVでも使用されています。

[NB_12-13] ライス研究所のR1コンピュータでは、1958年から256進浮動小数点演算が使用されています

[NB_10-15] 基数65536の浮動小数点演算は、 MANIAC II（1956年）コンピュータで使用されています。

[NB_1-42] コンピュータのハードウェアは必ずしも正確な値を計算するわけではありません。無限に正確な結果を計算したかのように、同等の丸められた結果を生成すればよいのです。

[NB_2-54] 現代の除算アルゴリズムの途方もない複雑さが、かつて有名なエラーを引き起こしました。初期のIntel Pentiumチップには、まれにわずかに誤った結果を返す除算命令が搭載されていました。このエラーが発見されるまでに、多くのコンピュータが出荷されていました。欠陥のあるコンピュータが交換されるまで、この不具合を回避できるコンパイラのパッチ版が開発されました。Pentium FDIVバグを参照してください。

[NB_3-57] しかし、計算を試みたところ、 $\cos(\pi )$ 収量 $-1$ まさにその通りです。導関数は、 $\pi$ 引数の不正確さの影響は、浮動小数点数の間隔よりもはるかに小さい。 $-1$ そして、四捨五入した結果は正確です。

[NB_4-68] ウィリアム・カーンは次のように述べています。「極めてまれな状況を除けば、超高精度な計算は、有能な誤差分析担当者を雇うよりもはるかに低いコストで、丸め誤差によるリスクを軽減します。」

[NB_5-69] この関数のテイラー展開は、それが近傍で良好な条件であることを示している $x=1$ : $f(x)=1-{\frac {x-1}{2}}+{\frac {(x-1)^{2}}{12}}-{\frac {(x-1)^{4}}{720}}+{\frac {(x-1)^{6}}{30240}}-{\frac {(x-1)^{8}}{1209600}}+\cdots$ のために $|x-1|<\pi$ 。

[NB_7-82] 2 つの形式の等価性は、2 番目の形式の分数の分母が最初の形式の分子の共役であることに注目することで代数的に検証できます。最初の式の分子と分母にこの共役を掛けると、2 番目の式が得られます。

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