対称レベルインデックス演算

数値のレベルインデックス（LI）表現と算術演算アルゴリズムは、 1984年にチャールズ・クレンショーとフランク・オルバーによって導入されました。^[1]

LIシステムの対称形式とその算術演算は、1987年にクレンショーとピーター・ターナーによって発表されました。^[2]

Michael Anuta、Daniel Lozier、Nicolas Schabanel、および Turner は、対称レベル インデックス( SLI ) 演算のアルゴリズムとその並列実装を開発しました。SLI 演算アルゴリズムの開発と、それを複素数およびベクトル演算 に拡張するための広範な作業が行われてきました。

レベルインデックスシステムの考え方は、負でない実数 Xを次のように 表すことである。

${\displaystyle X=e^{e^{e^{\cdots ^{e^{f}}}}}}$

ここで、べき乗のプロセスはℓ回実行されます。 ℓとf はそれぞれXのレベルとインデックスです。 x = ℓ + fはXの LI 像です。たとえば、 ${\displaystyle 0\leq f<1}$${\displaystyle \ell \geq 0}$

${\displaystyle X=1234567=e^{e^{e^{0.9711308}}}}$

そのLI画像は

${\displaystyle x=\ell +f=3+0.9711308=3.9711308.}$

対称形式は、Xの大きさが 1 未満の場合に負の指数を許可するために使用されます。 sgn (log( X ))またはsgn(| X | − | X | ⁻¹ )を取り、それを逆数符号 r X として保存します (逆数符号の 0 を +1 に置き換えた後、X  = 1 =  e ⁰の場合、 LI イメージはx  = 1.0であり、一意にX =1を定義し、3 番目の_状態を省いて、2 つの状態 −1 と +1 に 1 ビットのみを使用できます^{[説明が必要]} ) 。数学的には、これは、小さい大きさの数の逆数(逆数)を取り、逆数の SLI イメージを見つけることと同じです。逆数符号に 1 ビットを使用すると、非常に小さな数を表現できます。

符号ビットは負の数を許可するのにも使用できます。sgn (X) を取得し、それを符号 s X として格納します ( X  = 0の場合、 LI イメージはx  = 0.0であり、一意にX  = 0を定義し、3 番目の状態を省いて、2 つの状態 -1 と +1 に 1 ビットのみを使用できます^{[説明が必要]}ため、符号の 0 を +1 に置き換えた後) 。_数学的には、これは負の数の逆数 (加法逆数) を取得し、逆数の SLI イメージを見つけることと同じです。符号に 1 ビットを使用すると、負の数を表現できます。

写像関数は一般対数関数と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle \psi (X)={\begin{cases}X&{\text{if }}0\leq X<1\\1+\psi (\ln X)&{\text{if }}X\geq 1\end{cases}}}$

そしてそれは単調にそれ自身に写像するので、この区間では逆関数となる。その逆関数である一般指数関数は次のように定義される。 ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x&{\text{if }}0\leq x<1\\e^{\varphi (x-1)}&{\text{if }}x\geq 1\end{cases}}}$

xで表される値Xの密度は、レベルℓからℓ  + 1まで不連続になりません(非常に望ましい特性)。

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (x)}{dx}}\right|_{x=1}=\left.{\frac {d\varphi (e^{x})}{dx}}\right|_{x=0}.}$

一般化対数関数は、コンピュータ サイエンスのアルゴリズム分析で使用される 反復対数と密接に関連しています。

正式には、任意の実数X（0でも1でもない） に対するSLI表現を次のように定義できる。

${\displaystyle X=s_{X}\varphi (x)^{r_{X}}}$

ここで、s _XはXの符号（加法反転かどうか）であり、r _{X は}逆符号（乗法反転かどうか）であり、次の式で表されます。

${\displaystyle s_{X}=\operatorname {sgn}(X),\,r_{X}=\operatorname {sgn}(|X|-|X|^{-1}),\,x=\psi (\max(|X|,|X|^{-1}))=\psi (|X|^{r_{X}})}$

一方、X = 0 または 1 の場合、次のようになります。

${\displaystyle s_{0}=+1,r_{0}=+1,x=0.0,\,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,r_{1}=+1,x=1.0.\,}$

例えば、

${\displaystyle X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{-e^{e^{0.9711308}}}}$

そしてそのSLI表現は

${\displaystyle x=-\varphi (3.9711308)^{-1}.}$

• テトラレーション
• 浮動小数点数(FP)
• テーパード浮動小数点（TFP）
• 対数数システム(LNS)
• レベル（対数量）

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989)。「レベルインデックス演算: 入門調査」。数値解析と並列処理(会議議事録 /ランカスター数値解析サマースクール 1987)。数学講義ノート (LNM)。1397 : 95–168。doi :10.1007/ BFb0085718。ISBN 978-3-540-51645-3。
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. 「レベルインデックス演算を使用したルート2乗」.コンピューティング. 43 (2). Springer-Verlag : 171–185. doi :10.1007/BF02241860. ISSN  0010-485X.
• ゼヘンドナー、エバーハルト（2008年夏）。 「Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme」（PDF）（講義台本）（ドイツ語）。フリードリヒ シラー大学イエナ校。 21～22ページ。2018-07-09 にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。2018年7月9日に取得。[1]
• ヘイズ、ブライアン（2009年9月～10月）。「高等算術」。アメリカン・サイエンティスト。97 （5）：364～368。doi ：10.1511 /2009.80.364。2018年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年7月9日閲覧。[2] また、ヘイズ、ブライアン（2017）「第8章：高等算術」にも転載されています。Foolproof、およびその他の数学的瞑想（第1版）。MITプレス。pp.113–126。ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X . 

• sli-c-library (Google Code がホスト)、「対称レベル インデックス演算の C++ 実装」。