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論理学において、排中律または排中原理とは、すべての命題について、その命題またはその否定のいずれかが真であるという法則である。[ 1 ] [ 2 ]記号的に表現すると、この法則は。
排中律は、ラテン語では「排中律」または「排中律」 とも呼ばれ、principium tertii exclusiと表記される。この律法を表す別のラテン語の名称はtertium non daturで、「第三の可能性は与えられていない」という意味である。
古典論理では、排中律はトートロジーとみなされる。一方、直観主義論理では、排中律は肯定されない。 直観主義論理では、以下を証明する必要がある。または。
ウィリアム・ハミルトンは、いわゆる思考の法則の歴史について次のように書いている。
しかし、 『解釈論』第9巻において、アリストテレスは海戦に関する議論の中で、未来の偶発事象の場合、排中律を否定しているように見える。それは宿命論または論理的決定論を必然的に含意するように思われる。そのため、クリュシッポスのようなストア派は排中律を肯定し、宿命論を受け入れた。エピクロス派はこの理由で排中律を否定した。[ 3 ] [ 4 ]
アリストテレスは、すべての命題は真か偽かのどちらかであるという二値原理をより厳密に否定していると考える人もいる。しかし、二値原理は常に排中律を意味する。[ 5 ]
その通常の形式は、「すべての判断は真か偽かのどちらかである」[脚注9]…（コルモゴロフ、ファン・ヘイエノールト著、421ページより）脚注9：「これはライプニッツの非常に単純な定式化である（『新エッセイ』第4巻、第2章を参照）」（同書421ページ）
この原理は、ラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキピア・マテマティカ』の中で命題論理の定理として次のように述べられた。
✸2.1 ~ p ∨ p [ 6 ]
1800年代後半から1930年代にかけて、ヒルベルトとその追随者たちは、ヘルマン・ワイルとLEJ・ブロウワーとの間で激しく執拗な論争を繰り広げた。ブロウワーの哲学は直観主義と呼ばれ、 1800年代後半にレオポルド・クロネッカーによって本格的に始まった。
ヒルベルトはクロネッカーの考えを激しく嫌っていた。
クロネッカーは、構成なしには存在はあり得ないと主張した。彼にとって、そしてポール・ゴードン（もう一人の老齢の数学者）にとっても、ヒルベルトによる不変系の基底の有限性の証明は、数学とは到底言えないものだった。一方、ヒルベルトは生涯を通じて、ある概念に割り当てられた属性が矛盾を生じさせないことを証明できれば、その概念の数学的存在が確立されると主張し続けた（リード著、34ページ）。
クロネッカーの主張は、有限個の正の整数で実際に構成できない限り、数学的な存在を持つとは言えないというものだった（リード著、26ページ）。
この議論はヒルベルトに大きな影響を与えた。リードは、ヒルベルトの第二問題（1900年のパリで開催された第2回国際会議におけるヒルベルトの問題の一つ）がこの議論から発展したと指摘している（原文ではイタリック体）。
つまり、ヒルベルトは「 pと~ pの両方が真であることが示された場合、pは存在しない」と述べており、矛盾律の形で排中律を援用していたのである。
そして最後に、構成主義者たちは数学を有限または潜在的に（ただし実際には無限ではない）無限の構造に対する具体的な演算の研究に限定しました。完全な無限の全体性は、排中律に基づく間接証明と同様に拒否されました。構成主義者の中で最も急進的だったのは、かつての位相幾何学者LEJブラウワーに率いられた直観主義者たちでした（ドーソン著、49ページ）。
この激しい論争は1900年代初頭から1920年代にかけて続き、1927年にはブラウワーが「（直観主義に対して）嘲笑的な口調で論争している」と不満を漏らした（ブラウワー、ファン・ヘイエノールト著、492ページ）。しかし、この論争は実り豊かなものであった。その結果、『プリンキピア・マテマティカ』（1910～1913年）が出版され、排中律が明確に定義された。そして、これらすべてが20世紀初頭の数学者たちにとって必要な知的環境と道具を提供したのである。
その憎悪から、そして部分的には憎悪によって生み出された結果として、いくつかの重要な論理的発展が生じた。ツェルメロによる集合論の公理化（1908a）は、その2年後に『プリンキピア・マテマティカ』の第1巻が出版され、その中でラッセルとホワイトヘッドは、型の理論を通して、算術の多くを論理主義的な手段で発展させることができることを示した（ドーソン p. 49）。
ブロワーは議論を、「否定的」または「非存在」に基づく証明と「構成的」証明のどちらを用いるかという点に絞り込んだ。
ゲーデルは1941年のイェール大学での講演とそれに続く論文で、「普遍命題の否定は、反例の存在を主張するものとして理解されるべきである」という解決策を提案した。排中律に対する彼のアプローチは、「非述語的定義の使用」に対する反論が「排中律および命題論理の関連定理」よりも「重みを持っていた」と主張することであった。彼は自身の「体系Σ」を提案し、最後に自身の解釈のいくつかの応用について言及した。その中には、原理~ (∀A: (A ∨ ~A)) (仮定∃ A: ~ (A ∨ ~A))の矛盾にもかかわらず)が直観主義論理と整合していることの証明が含まれていた（ドーソン、157ページ）。
この議論は勢いを失っていったようだ。数学者、論理学者、そしてエンジニアたちは、日々の仕事の中で排中律（および二重否定）を使い続けている。
以下では、「知る」ことの意味の背後にある深い数学的・哲学的問題を浮き彫りにするとともに、「法則」が意味するもの（すなわち、法則が真に意味するもの）を明らかにするのに役立つ。彼らが法則に関して抱える困難は、検証不可能なもの（テスト不可能なもの、知り得ないもの）や、不可能なもの、あるいは偽りのものから導き出される含意を、真実として受け入れたくないという点にある。（引用はすべてファン・ヘイエノールトによるもので、イタリック体は筆者による）。
ブロワーは「排中律」の定義を提示しているが、ここでも「検証可能性」の問題が見られる。
コルモゴロフの定義は、ヒルベルトの2つの否定公理を引用している。
ここで∨は「または」を意味する。この2つの形式の等価性は容易に証明できる（ 421ページ）。
例えば、Pが命題である場合：
すると排中律は、論理的選言が成り立つと主張する。
これは形式のみによって真である。つまり、ソクラテスは死ぬことも死ぬこともないという「中間」の立場は論理的に排除されるため、最初の可能性（ソクラテスは死ぬ）か、その否定（ソクラテスは死ぬことはない）のどちらかが真でなければならない。
排中律に基づく議論の例として、以下のような事例による証明が挙げられる。[ 7 ]我々は、
知られているようには無理数である（証明を参照）。数を考えてみよう
明らかに（中点除外）この数は有理数か無理数かのどちらかです。有理数であれば証明は完了し、
しかしもしが非合理的であれば、
それから
そして2は確かに有理数である。これで証明は完了する。
上記の議論において、「この数は有理数か無理数かのどちらかである」という主張は、排中律を援用している。例えば、直観主義者は、この主張を裏付けるさらなる根拠がなければ、この議論を受け入れないだろう。その根拠としては、問題の数が実際に無理数である（あるいは場合によっては有理数である）という証明、あるいはその数が有理数かどうかを判定できる有限アルゴリズムなどが挙げられる。
上記の証明は、直観主義者が認めない非構成的証明の一例である。
この証明は具体的な数値を与えていないため、非構成的である。そして定理を満たすが、可能性は2つしかなく、そのうちの1つが機能しなければならない。（実際には非合理的ではあるが、その事実を容易に証明する方法は知られていない。（デイビス 2000:220）
（上記の具体的な例の構成的証明は難しくありません。例えばそしてどちらも簡単に非合理的であることが示され、（直観主義者が認める証明）。
デイヴィスが非構成的と言うとき、それは「特定の条件を満たす数学的実体が実際に存在するという証明は、問題となっている実体を明示的に示す方法を提供する必要はない」という意味である（ 85ページ）。このような証明は、完全な全体性の存在を前提としているが、直観主義者にとって、無限は決して完全になり得ない概念であるため、この前提は無限にまで拡張されると否定される。
古典数学では、直観主義者が受け入れない非構成的または間接的な存在証明が存在します。例えば、P ( n )となるnが存在することを証明するために、古典数学者は「すべてのnについて、P ( n )ではない」という仮定から矛盾を導き出すことができます。古典論理と直観主義論理の両方において、背理法によって、これは「すべてのnについてではなく、P ( n )ではない」という結論になります。古典論理では、この結果を「P ( n )となるnが存在する」に変換できますが、一般に直観主義ではできません。…自然数の完全な無限の総体の中に、P ( n )となるnが存在するという古典的な意味は、直観主義者には利用できません。なぜなら、彼は自然数を完全な総体として捉えていないからです。[ 8 ] (Kleene 1952:49–50)
ヒルベルトとブロウワーはともに、排中律を無限に拡張した例を挙げている。ヒルベルトの例は「素数は有限個しかないか、無限個あるかのどちらかである」という主張（デイビス 2000:97 より引用）であり、ブロウワーの例は「すべての数学的種は有限か無限かのどちらかである」という主張（ブロウワー 1923、ファン・ヘイエノールト 1967:336 より引用）である。一般に、直観主義者は、排中律が有限集合（集合）に関する議論に限定される場合は使用を認めるが、無限集合（例えば自然数）に関する議論で使用される場合は認めない。したがって、直観主義者は「無限集合Dに関するすべての命題Pについて: Pまたは ~ P」という包括的な主張を絶対に認めない（クリーネ 1952:48）。[ 9 ]
排中律に対する反例としては、嘘つきのパラドックスやクワインのパラドックスが挙げられる。これらのパラドックスのいくつかの解決策、特にLPで定式化されたグラハム・プリーストの二元的真理論では、排中律が定理として用いられているが、嘘つきのパラドックスは真偽両方であると結論づけられている。このように、排中律は真ではあるが、真理そのもの、ひいては選言は排他的ではないため、選言項の一方がパラドックスであるか、あるいは真偽両方であるかについては、ほとんど何も示していない。
カトゥシュコティ（テトラレンマ）は、排中律に代わる古代の論理体系であり、命題とその否定に対する4つの可能な真偽値の割り当てを検証する。これは、インド論理学や仏教論理学、そしてピュロン主義として知られる古代ギリシャ哲学学派において重要な役割を果たしてきた。
多くの現代論理体系では、排中律を否定を失敗とみなす概念に置き換えている。命題が真か偽かではなく、命題は真か、真であると証明できないかのどちらかである。[ 10 ]これら2つの二分法は、完全でない論理体系においてのみ異なる。否定を失敗とみなす原理は、自己認識論理の基礎として使用され、論理プログラミングで広く使用されている。これらのシステムでは、プログラマは排中律を真の事実として主張することは自由であるが、それはこれらのシステムに先験的に組み込まれているわけではない。
ブロウワーやアーレント・ヘイティングといった数学者たちも、現代数学の文脈において排中律の有用性に異議を唱えている。[ 11 ]
現代の数学的論理学では、排中律は自己矛盾を引き起こす可能性があると主張されてきた。論理学では、真でも偽でもない適切に構成された命題を作ることができる。その一般的な例は「嘘つきのパラドックス」[ 12 ] 、 「この命題は偽である」という命題であり、それ自体が真でも偽でもないと主張されている。アーサー・プライアーは、このパラドックスは真でも偽でもない命題の例ではないと主張した。この命題「この命題は偽ではない」の否定は真とすることができるため、排中律はここでも依然として成り立つ。集合論では、このような自己参照のパラドックスは、「自身を含まないすべての集合の集合」を調べることによって構築できる。この集合は明確に定義されているが、ラッセルのパラドックスにつながる。[ 13 ] [ 14 ]この集合は、その要素の1つとして自身を含むだろうか？現代のツェルメロ＝フレンケル集合論では、この種の矛盾はもはや認められていない。さらに、カリーのパラドックスのように、否定を用いずに自己参照のパラドックスを構築することができる。[ 15 ]
論理体系の中には、異なるが類似した法則を持つものがある。有限n値論理の中には、 n + 1 番目の排除法則と呼ばれる類似の法則がある。否定が循環的で「∨」が「最大演算子」である場合、この法則は対象言語で (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P) と表現できる。ここで「~...~」はn −1 個の否定記号、「∨ ... ∨」はn −1 個の選言記号を表す。文がn 個の真理値の少なくとも 1 つを受け取る必要があること ( n個の真理値以外の値を受け取らないこと)は簡単に確認できる。
他の制度では、法律そのものを完全に否定している。
特に研究が進んでいる中間論理としては、公理を追加するド・モルガン論理がある。直観主義論理学では、弱排中律と呼ばれることもある。
これは、他のいくつかの記述と同等です。
