コンセクエンティア・ミラビリス

コンセクエンティア・ミラビリス（ラテン語で「見事な帰結」）はクラビウスの法則としても知られ、伝統的および古典的論理学において、命題の否定の矛盾から命題の真偽を確立するために使用されます^{。 [1]したがって、これは}背理法と関連していますが、命題自体の否定と一貫性の概念のみを使用して命題を証明できます。より具体的な定式化では、命題がその否定の結果である場合、一貫性のためにそれは真であると述べます。正式な表記法では、次のようになります。

${\displaystyle (\neg A\to A)\to A}$。

原理の弱い変形は最小限の論理で証明可能ですが、完全な原理自体は直観主義論理でも証明できません。

コンセクエンティア・ミラビリスは、 17世紀ヨーロッパで人気のあった議論のパターンで、アリストテレスの『プロトレプティクス』の断片に初めて登場した。「もし我々が哲学すべきなら、我々は哲学すべきである。そして、もし我々が哲学すべきでないなら、我々は哲学すべきである（つまり、この見解を正当化するために）。いずれにせよ、それゆえ、我々は哲学すべきである。」^[2]

バーンズはついでに、コンセクエンティア・ミラビリスという用語は、命題の否定の矛盾から命題を推論することだけを指し、レックス・クラヴィア（またはクラヴィウスの法）という用語は、命題の矛盾から命題の否定を推論することを指すと主張している。^[3]

以下は、排中律と爆発原理の両方を欠く極小論理において、法則の弱い形式がどのようなものであっても依然として成立するかを示しています。

フレーゲの定理によれば

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow (C\to D){\big )}\to {\Big (}(B\rightarrow C)\to (B\to D){\Big )}}$

これは否定導入の形式であり、そして に対して、そして同一性の法則を用いると、それは次のように帰着する。 ${\displaystyle D=\bot}$${\displaystyle B=C}$

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow \neg B{\big )}\rightarrow \neg B}$

さて、 については、 となります。暗黙の導入により、これは確かに同値であり、 ${\displaystyle B=\neg A}$${\displaystyle (\neg A\to \neg \neg A)\to \neg \neg A}$

${\displaystyle (\neg A\to \neg \neg A)\leftrightarrow \neg \neg A}$

極小論理では、元の含意の最初の二重否定もオプションで削除でき、前向きのステートメントを に弱めることができます。ここでは、 のときはいつでも、consequentia mirabilis が成り立ちます。もちろん、すべての命題に二重否定除去原理を採用すると、consequentia mirabilis も成り立ちます。これは、後者が極小論理を完全な古典論理に戻すためです。 ${\displaystyle (\neg A\to A)\to \neg \neg A}$${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$

これは、すでに最小限の論理によって、命題の否定によってこれが暗示される場合、命題を却下できないこと、および と の両方によってこれが暗示される場合にこれが正確に成立することが検証されていることを示しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle \neg \neg A}$

弱い形式は、無矛盾原理と同等であるとも考えられます。このために、まず、可能性法と含意の導入を使用すると、この原理は と同等であることに注目してください。この主張は、つまり、相互に排他的である 2 つの命題の同等の特徴付けが存在するという事実から導かれます。 ${\displaystyle (\neg A\to A)\to \neg (\neg A)}$ ${\displaystyle \neg {\big (}A\land \neg A{\big )}}$${\displaystyle \neg {\big (}(\neg A\to A)\land (\neg A){\big )}}$${\displaystyle (B\to \neg C)\leftrightarrow \neg (B\land C)}$

特に、排中論理和の否定はを意味し、したがってより弱い論理和自体を意味します。したがって、上記の弱い形式から、最小限の論理では、任意の二重否定の排中論理和ステートメントが有効であることがわかります。同様に、この議論は、完全な consequentia mirabilis が排中論理和を意味する方法を示しています。 ${\displaystyle B\lor \neg B}$${\displaystyle \neg B}$${\displaystyle B\lor \neg B}$

次の議論は、逆も成り立つことを示しています。事例分析に関連する原理は、次のように定式化できます。 と がそれぞれを意味し、どちらかが成立する必要がある場合、 が成り立ちます。正式には、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\big (}(B\to A)\land (C\to A)\land (B\lor C){\big )}\to A}$

との場合、同一性の原理は次式を意味する。 ${\displaystyle B=A}$${\displaystyle C=\neg A}$

${\displaystyle {\big (}(\neg A\to A)\land (A\lor \neg A){\big )}\to A}$

先行詞の2番目の接続詞が真であるときは、原則のインスタンスも真です。 ${\displaystyle A\lor \neg A}$

は を意味する。連言消去により、これは実際同値である。特に、 ${\displaystyle (A\to B)\to A}$${\displaystyle (A\to B)\to (A\land B)}$

${\displaystyle {\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow {\big (}\neg A\to (A\land \bot ){\big )}}$

この右辺は も意味し、これは二重否定除去が最小論理においてどのようにして consequentia mirabilis を意味するかを示す別の例となります。 ${\displaystyle \neg \neg A}$

直観主義論理では、爆発の原理自体は と定式化される可能性があり、したがって となる。したがって、ここでは、 ${\displaystyle \bot \to (A\land \bot )}$${\displaystyle \bot \leftrightarrow (A\land \bot )}$

${\displaystyle {\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow \neg \neg A}$

極小論理における二重否定除去から奇跡的帰結がどのように導かれるか、またそれが排中律とどのように等価であるかが確立されました。さらに 2 つの古典的な議論が続きます。

に対して排中律が成り立つとき、1 つの対偶により が得られ、これは逆選言三段論法の命題形式です。これで、 と 1 つの二重否定消去 により法則が得られます。${\displaystyle A}$${\displaystyle (B\to A)\to (A\lor \neg B)}$${\displaystyle B=\neg A}$

上記の直観的導出に関連して、ピアスの法則の特別なケースとして、奇跡的な帰結も導かれる。

${\displaystyle {\big (}(A\to B)\to A{\big )}\to A}$

については、その記事を参照して、関連する同等性についてさらに詳しく知ることができます。 ${\displaystyle B=\bot}$

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