有限値論理

論理学において、有限値論理（有限多値論理ともいう）は、真理値が離散的な命題論理である。伝統的に、アリストテレスの論理学では、排中律により、いかなる命題に対しても2つ以上の可能な値（すなわち、「真」と「偽」）を排除していたため、二値論理（バイナリ論理ともいう）が標準であった。[ 1 ^]現代の三値論理（三元論理）では、追加の可能な真理値（すなわち、「未決定」）が認められている。^[2]

有限多値論理という用語は、通常、3つ以上の真理値を持つが無限ではない多値論理を説明するために使用されます。有限値論理という用語は、有限多値論理と二価論理の両方を包含します。^{[3] [4]} ファジー論理は、 「真」と「偽」の間の値の程度を許容しますが、通常は有限値論理の形式とは見なされません。^[5]ただし、有限値論理は、ブール値モデリング、^{[6] [7]} 記述論理、^[8]およびファジー論理の非ファジー化^{[9] [10]に適用できます。有限値論理は、}計算意味論を持つ場合にのみ決定可能（命題に適用されたときに論理の結果を確実に決定する）です。^[11]

アリストテレスの論理学に関する著作集『オルガノン』は、主に二価論理について述べているが、アリストテレスの見解では実際には真でも偽でもない命題も許容していた可能性がある。『オルガノン』は啓蒙時代の哲学者や数学者に影響を与えた。^{[12] [13]} ジョージ・ブールは19世紀に二価論理に基づく代数構造とアルゴリズム的 確率論を開発した。 ^[14]

ヤン・ルカシェヴィチは1920年に三値論理のシステムを開発しました。エミール・レオン・ポストは1921年にさらなる真理度を導入しました。^[15]

スティーブン・コール・クリーネとウルリッヒ・ブラウは、それぞれコンピュータアプリケーションと自然言語解析のために、ウカシェヴィチの3値論理システムを拡張した。ヌエル・ベルナップとJ・マイケル・ダンは1977年にコンピュータアプリケーション用の4値論理を開発した。 ^[16] 1970年代半ば以降、任意の有限値論理を提供するためのさまざまな手順が開発されてきた。^[17]

言語学では、有限値論理は前提を真理値の順序付きペア、つまり真理値表を持つ積分システムとして扱うために使用されます。これにより、口頭または書面によるステートメントに組み込まれた前提を、自然言語処理の過程でさまざまな真理値に関連付けることができます。^[18]

形式言語の研究では、有限値論理は、真理述語を言語にカプセル化すると言語が矛盾する可能性があることを示しました。ソール・クリプキは、アルフレッド・タルスキ^[19]が先駆者となった研究を基に、そのような真理述語は3値論理を使用してモデル化できることを実証しました。^[20]

ソリテスのパラドックスを含む哲学的疑問は、ファジー多価主義として知られる有限値論理に基づいて考察されてきた。^[21]ソリテスのパラドックスは、砂粒を山ではないものに加えても山を作ることができないのであれば、砂の山を作ることはできないということを示唆している。砂粒の数と同じ数の真実の度合いがある山の論理モデルは、この示唆に反論する傾向がある。^[22]

電子工学の設計では、回路の安定状態の論理モデル（状態の数と同じ数の真理値を持つ）は有限値スイッチングのモデルとして機能します。 ^{[23] 3値演算子は}集積回路で実現できます。^[24]

ファジィ論理は、典型的には近似推論に応用され、有限値論理は有限集合内で値を獲得する可能性のある命題を表すことができる。^[25]

数学では、複数の真理値を持つ論理行列が公理系をモデル化するために使用されます。^[26]

生物物理学的証拠によれば、脳内ではシナプス電荷注入は有限のステップで起こり、^[27]ニューロン配置は有限値のランダム変数の確率分布に基づいてモデル化できることが示唆されている。^[28]

論理学の研究において、有限値論理は無限値論理の性質と存在を理解する助けとなってきた。クルト・ゲーデルは、人間の論理的直観能力を有限値論理の観点から理解しようと試み、その能力は無限値論理に基づいていると結論付けた。^[29]

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