存在グラフは 、論理式の図式 表記法の一種で、チャールズ・サンダース・パース によって考案されました。パースは1882年にはすでに図式論理について書いており[ 1 ]
背景 パースは、論理学、特に述語論理の代数記法（すなわち記号記法）[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。
このように、象徴的で図式的であり、そして彼が意図したように直感的で習得しやすい論理体系の開発は、パースが生涯にわたって取り組んだプロジェクトでした。少なくとも一度の試みである「実体グラフ」の失敗を経て、1896年以降、閉じた体系である「存在グラフ」がようやく登場しました。作成者自身は、記述方法としても計算方法としても、明らかに優れていてより直感的な体系だと考えていましたが、論理学の歴史に大きな影響を与えることはありませんでした。その理由としては、一つには、パースがこのテーマについてほとんど発表しておらず、発表されたテキストもあまり分かりやすい書き方ではなかったこと[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
存在グラフの全体システムは、アルファグラフ、ベータグラフ、ガンマグラフという、互いに積み重ねられた3つのサブシステムで構成されています。アルファグラフは純粋な命題論理システムです。これを基に、ベータグラフは一階述語論理計算です。ガンマグラフはまだ十分に研究されておらず、パースによって完成されていませんが、アルファグラフとベータグラフのさらなる発展形と理解されています。適切に解釈すれば、ガンマグラフは高レベルの述語論理と様相論理を網羅します。1903年になって、パースは「着色存在グラフ」という新しいアプローチを開始しました。これは、アルファ、ベータ、ガンマグラフの以前のシステムを置き換え、それらの表現力と性能を単一の新しいシステムに統合することを目的としていました。ガンマグラフと同様に、「着色存在グラフ」も未完成のままです。
計算体系として、アルファ、ベータ、ガンマのグラフは健全である（つまり、グラフとして導出されたすべての式は意味的に妥当である）。アルファとベータのグラフは完全でもある（つまり、すべての命題論理または述語論理的に意味的に妥当な式は、アルファまたはベータのグラフとして導出できる）。[ 11 ]
グラフ パースは存在グラフの3つの体系を提唱した。
アルファは ベータ とガンマ に包含される。ベータは ガンマ に包含されない。量化された様相論理は、パースが提唱したものよりも一般的である。
アルファ アルファグラフ 構文は 次のとおりです。
空白のページ。 ページ上のどこかに書かれた、一文字または一語のフレーズ。 任意のグラフは、カット またはセップ と呼ばれる単純な閉曲線 で囲むことができます。カットは空であっても構いません。カットは自由に入れ子にしたり連結したりできますが、決して交差してはなりません。グラフの整った部分はすべて部分グラフ である。
その意味論 は以下のとおりです。
空白のページは真実 を表す。 文字、フレーズ、サブグラフ、およびグラフ全体は、真 または偽の いずれかになります。 部分グラフをカットで囲むことは、論理否定 またはブール補数 と同等です。したがって、空のカットはFalseを 表します。 与えられたカット内のすべてのサブグラフは暗黙のうちに結合され ます。 したがって、アルファグラフは、 And とNot の表現力の適切性に基づいた、命題論理 のための最小限の表記法である。アルファグラフは 、2要素ブール代数 と真理関数 の根本的な簡略化を構成する。
物体の深さとは、その物体を囲む切断線の数のことである。
推論のルール ：
挿入 - 任意のサブグラフは奇数番目の深さに挿入できます。周囲の白いページが深さ1です。深さ2は要素を囲む黒い文字と線です。深さ3は、囲まれた要素内の次の白い領域に入ることです。 消去 - 偶数深度の任意のサブグラフを消去できます。 同等性の規則 ：
二重カット - 間に何も挟まれていない2つのカットを任意のサブグラフの周囲に描画できます。同様に、間に何も挟まれていない2つの入れ子になったカットを削除できます。このルールは、ブール論理の対合と二重否定の 消去に相当します。 反復/反復解除 – このルールを理解するには、グラフをノード と祖先を 持つツリー構造 として捉えるのが最善です。ノードn 内の任意のサブグラフP は、 n に依存する任意のノードにコピーできます。同様に、ノードn 内の任意のサブグラフP は、 n の祖先ノード(つまり、 n が依存するノード) にP のコピーが存在する場合、消去できます。代数的な文脈における同等のルールについては、『形式の法則』 C2 を 参照してください。 証明は、一連の手順によってグラフを操作するものであり、各手順は上記の規則のいずれかによって正当化されます。グラフが手順によって白紙ページまたは空の切り取り線まで簡略化できる場合、それは現在ではトートロジー （またはその補集合である矛盾）と呼ばれます。ある一定の点を超えて簡略化できないグラフは、一階述語論理 の充足可能 式 の類似物です。
ベータ 「人間ではない何かが存在する」という命題の存在グラフ ベータ存在グラフ ベータグラフの場合、原子表現はもはや命題文字（P、Q、Rなど）や文（「雨が降る」「パースは貧困の中で亡くなった」）ではなく、述語論理の意味での述語（詳細はそちらを参照）であり、場合によっては述語文字（F、G、Hなど）に省略されることもあります。述語論理の意味での述語とは、明確に定義された空白を持つ単語の並びであり、各空白に固有名詞を挿入すると命題文になります。たとえば、単語の並び「_ is a human」は、空白に固有名詞「Peirce」を入力すると宣言文「Peirce is a human」になるため、述語です。同様に、単語の並び「_ 1 is richer than _ 2 」は、空白に固有名詞「Socrates」または「Plato」を挿入すると文「Socrates is richer than Plato」になるため、述語です。
ベータグラフの表記法 基本的な言語表現手段は、任意の太線で描かれた同一性線です。同一性線は述語の空白部分に引かれ、その述語が少なくとも一人の個人に適用されることを示します。述語「_は人間である」が少なくとも一人の個人に適用される、つまり（少なくとも）一人の人間が存在することを表すには、述語「_は人間である」の空白部分に同一性線を記述します。
「ある男が男を食べる」という命題の存在グラフ ベータグラフは、すべての変数が暗黙的に量化されているため、すべての式が閉じているものとして解釈できるシステムとして捉えることができます。恒等線の「最も浅い」部分の深さが等しければ、関連する変数は暗黙的に存在量 化（普遍量 化）されていることになります。
ゼマン（1964）は、ベータ グラフが等号を持つ一階述語論理 と同型 である ことを最初に指摘した（ゼマン1967も参照）。しかし、二次文献、特にロバーツ（1973）とシン（2002）は、これがどのように同型であるかについては意見が一致していない。パースの著作はこの問題を取り上げていない。なぜなら、一階述語論理が初めて明確に定式化されたのは、彼の死後、1928年に出版されたデイヴィッド・ヒルベルト とヴィルヘルム・アッカーマン の『数理論理学原理
存在グラフは、記号論 の主要な潮流の創始者である論理学者 ／数学者パース の興味深い子孫である。パースの図式論理は、論理学と数学における彼の数多くの業績のほんの一つに過ぎない。1867年に始まり、1885年のアメリカ数学ジャーナル 2要素ブール代数 、命題論理 、量化 と述語論理 、そしていくつかの初歩的な集合論 の大部分を発展させた。モデル理論家は 、パースをその種の先駆者とみなしている。彼はまた、ド・モルガン の関係代数を拡張した。彼は メタ論理 （プリンキピア・マテマティカ
しかし、パースの発展途上の記号 論は、従来の線形記法を用いた論理の価値に疑問を抱かせ、論理と数学を2次元（あるいは3次元）で記法化することを好むようにさせた。彼の研究は、オイラーの図 や、1880年のベンの 改訂版 を超越するものであった。フレーゲ の1879年の著作『概念記号』
パースが最初に発表した図式論理に関する論文（彼の『Collected Papers 』第3巻に再録されている）では、 アルファ 存在グラフと（実質的に）双対なシステムである実体グラフ が提案された。彼はすぐにこの形式主義を放棄し、実体グラフを採用した。1911年、ヴィクトリア・ウェルビー夫人は 実体グラフをC・K・オグデン に見せたところ、オグデンはウェルビーの考えと「より分かりやすい形」で組み合わせれば役に立つと感じた。[ 12 ]
参考文献 ↑ ピアース、CS、「論理における接合と断裂について」（MS 427（新番号体系）の編集者によるタイトル、1882 年秋～冬）、および「ピアースから OH ミッチェルへの手紙」（L 294、1882 年 12 月 21 日）、チャールズ S. ピアース著作集 , John F. (1997)、「論理構造と言語構造のマッチング」、 Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce 、Nathan Houser、Don D. Roberts、James Van Evra 編、Bloomington and Indianapolis: Indiana University Press、pp. 418–444、420、425、426、428 を参照。 ↑ スムリアン、レイモンド M. (1968)、「プレネックス・タブロー」 、一階述語論理 、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー・ベルリン・ハイデルベルク、pp. 117–121 、doi ：10.1007/978-3-642-86718-7_13、ISBN 978-3-642-86720-0 2024年7月10日 取得 ↑ 「パースは、単に慣習的に理解されるだけでなく、いわば『意味を堂々と示す』ような記号を求めている」（ゼマン 1964、21ページ、オンライン版からの引用） ↑ 「代数式は『象徴的』ではない。つまり、それが表す対象や関係に似ていない。パースはこれを欠陥とみなした。」（ロバーツ 1973、17ページ） ↑ 「パースの図解入り出版物は少なく、理解しやすいものではなかった。彼自身もそう認めていた。」(ロバーツ 1973、12ページ) ↑ 「パースのグラフの構文は、少なくとも一般的には、線形表記法のような組み合わせ的な優雅さと単純さを欠いている」（ハマー 1998、502ページ） ↑ ロバーツは、論理学の歴史に関する標準的な著作である Kneale/Kneale: The Development of Logic. Clarendon Press. Oxford 1962, ISBNにおいてさえ、 0-19-824773-7 パースの論理図については言及されていない。 ↑ 「パースの図の有効性には疑問がある[...]。その基本的な仕組みは複雑すぎる[...]。」（クワイン：チャールズ・サンダース・パース著作集第4巻「最も単純な数学」の書評、Isis 22、552ページ、ロバーツ1973、13ページより引用） ↑ 「歴史的な意義とは別に、パースの図式形式主義は現代においても関心を集めている。ソワの概念グラフ体系は[...]パースの研究に基づいている。[その他の研究]もまた、図式推論の論理に対する関心の高まりを示している。」(Hammer 1998、489ページ) ↑ 例えば、Sun-Joo Shin、「ベータグラフを効果的なシステムに再構成する」、 Journal of Logic, Language and Information archive、 第8巻、第3号、1999年7月、273-295頁を参照。 ↑ この証拠は、J. ジェイ・ゼマンが1964年の博士論文で提示した（参考文献参照）。アルファグラフについては、ホワイト（1984）の研究も参照のこと。 ↑ ペトリリ、スーザン（2017）。 ヴィクトリア・ウェルビーと記号の科学：意味論、記号論、言語哲学 。ラウトレッジ 。ISBN 978-1-351-29598-7 。
さらに読む
一次文献 1931～1935年および1958年。 『チャールズ・サンダース・パース論文集 段落 347–349 (II.1.1. 「論理図」)—ボールドウィン の『哲学と心理学の辞典 』 （1902 年）、第 2 巻、28 ページにおけるパースの定義「論理図（またはグラフ）」。心理学史の古典 Eprint。第350～371段落（II.1.2.「オイラー図について」）—『グラフ』（原稿479）1903年頃より。 第372～584段落の電子版。 第372～393段落（II.2.「記号論理学」）—ボールドウィンの『哲学と心理学辞典』 （1902年）第2巻、645～650ページに掲載されている「記号論理学」のパースによる部分。冒頭（第2列の上部付近）は「記号論理学が定義されるとすれば…」で始まる。第393段落（ボールドウィンの『哲学と心理学辞典』第2巻650ページ）はパースとクリスティン・ラッド＝フランクリン （「CSP、CLF」） によるものである。 第394～417段落（II.3.「存在グラフ」）—パースのパンフレット『論理学の特定のトピックのシラバス』 、15～23ページ 、アルフレッド・マッジ＆サン、ボストン（1903年）より。 第418～509段落（II.4.「存在グラフ、オイラー図、および論理代数について」）—『論理論文集 第2号』（原稿492）、1903年頃。 第510～529段落（II.5.「存在グラフのガンマ部分」）―「1903年のローウェル講義」第IV講話（原稿467）より。 第530～572段落（II.6.）—「プラグマティズム弁護への序論」（1906年）、 『ザ・モニスト』 『ザ・モニスト』 第17巻、160ページ。 第573～584段落（II.7.「ガンマグラフの改良」）―「米国科学アカデミー、1906年4月ワシントン会議向け」（原稿490）より。 第617～623段落（少なくとも）（第3巻、第2章、第2節、第594～642段落）—「いくつかの驚くべき迷路：好奇心の最初の説明」、The Monist 、第XVIII巻、1908年、第3号、416～464ページ、 440ページ以降を参照。 1992年。「第3講：関係の論理」、『推論と事物の論理 。ケネス・レイン・ケトナー（編集・序文）、ヒラリー・パトナム （解説）。ハーバード大学出版局 。マサチューセッツ州ケンブリッジにおけるパースの1898年の講義。 1977年、2001年。『記号論と意味：C・S・パースと ヴィクトリア・レディ・ウェルビー の往復書簡 』C・S・ハードウィック編。テキサス州ラボック：テキサス工科大学出版局。第2版、2001年。 ジョン・ソワ による編集と解説付きの、パースの写本514（1909年）の転写。現在、パースの著作を年代順にまとめた批判校訂版である『著作集
二次文献 ハマー、エリック・M. (1998)、「存在グラフの意味論」、哲学論理学ジャーナル 27 : 489–503。 ケトナー、ケネス・レイン (1981)「記号作用の最良の例と記号論教育におけるその使用」、アメリカ記号論ジャーナル 第1巻、第1-2号、47-83頁 。この記事は存在グラフの入門です。 (1990) 『論理の要素：パースの存在グラフ入門』 テキサス工科大学出版局、テキサス州ラボック、99ページ、スパイラル綴じ。 ケイロス、ジョアン＆ステレンフェルト、フレデリック （2011）「図式的推論とパース論理表現」、Semiotica 第186巻 （1/4）。（パースの図式論理に関する特集号。） ロバーツ、ドン・D. （1964）「存在グラフと自然演繹」ムーア、EC、ロビン、RS編『CSパースの哲学研究』第2シリーズ 。マサチューセッツ州アマースト：マサチューセッツ大学出版局 。パースの図式論理に対する共感と理解を示した最初の出版物。 （1973）。C.S.パースの存在グラフ。 ジョン・ベンジャミンズ。1963年の論文を基にした著作。 Shin, Sun-Joo (2002), 『パースのグラフの図像的論理 』 MIT Press.ザラメア、フェルナンド 。『パースの連続性の論理』。 ドセント・プレス、ボストン、マサチューセッツ州。2012年。ISBN 9 780983 700494。 第II部：パースの存在グラフ、76～162ページ 。 ゼマン、JJ (1964)、CS パースの図式論理。2018年 9 月 14 日にWayback Machine に アーカイブされました 。シカゴ大学 に提出された未発表の博士論文。 （1967）「暗黙的量化の体系」、記号論理学ジャーナル32 ：480-504。
外部リンク スタンフォード哲学百科事典 ：パースの論理学（シン・スンジュ 、エリック・ハマー著）ダウ、フリチョフ、「パースの存在グラフ --- 参考文献とリンク。存在グラフに関する注釈付き参考文献集。」 Gottschall, Christian, Proof Builder ( 2006年2月12日にWayback Machine に アーカイブ) — Alphaグラフを導出するためのJavaアプレット。 劉欣文「CSパースの存在グラフに関する文献」（Wayback Machine経由）、中国社会科学院哲学研究所、北京、中華人民共和国。 Sowa, John F. 「法則、事実、および文脈：マルチモーダル推論の基礎」 。 2009年10月23日 取得 。概念グラフ 。）Van Heuveln, Bram、「存在グラフ。Wayback Machine に 2009 年 8 月 29 日に アーカイブ済み」レンセラー工科大学 認知科学科。アルファ版のみ。 ゼマン、ジェイ・J、「存在グラフ」。パースによる4つのオンライン論文付き。
