自己認識論的論理

自己認識論理は、知識に関する知識の表現と推論のための形式論理です。命題論理は事実のみを表現できますが、自己認識論理は事実に関する知識と知識の欠如を表現できます。

否定を失敗とする論理プログラミングに意味を与えるために使用される安定モデル意味論は、自己認識論理の簡略化された形式と見なすことができます。

自己認識論理の構文は、知識を示す様相演算子 ^[1]によって命題論理の構文を拡張します。つまり、が式である場合、は既知であることを示します。結果として、は既知であることを示し、は未知である ことを示します。${\displaystyle \Box}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Box F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Box \neg F}$${\displaystyle \neg F}$${\displaystyle \neg \Box F}$${\displaystyle F}$

この構文は、事実の知識に基づいた推論を可能にするために使用されます。たとえば、は、真であると知られていない場合は偽であるとみなされることを意味します。これは、失敗としての否定の形式です。 ${\displaystyle \neg \Box F\rightarrow \neg F}$${\displaystyle F}$

自己認識論理の意味論は理論の展開に基づいており、これは命題論理におけるモデル^{[ broken anchar ]}と同様の役割を果たします。命題モデルはどの原子命題が真か偽かを指定しますが、展開はどの式が真でどれが偽かを指定します。特に、自己認識式の展開は、に含まれるすべての部分式に対してこの決定を行います。この決定により、 を含むすべての部分式が真か偽のいずれかであるため、 を命題式として扱うことができます。特に、 がこの条件で含意するかどうかのチェックは、命題計算の規則を使用して行うことができます。仕様が展開であるためには、 に値 true が割り当てられている場合にのみ、部分式が含意される必要があります。 ${\displaystyle \Box F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Box F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Box}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Box F}$

可能世界意味論の観点から見ると、 の展開はのS5モデルから成り、このモデルでは可能世界はが真である世界のみから成ります。[可能世界はそのような矛盾のない世界をすべて含む必要はありません。これは、通常の命題の導出可能性をチェックする前に、様相命題に真理値が割り当てられるという事実に対応しています。] したがって、自己認識論理はS5を拡張します。と は自己認識論理のトートロジーですが、S5のトートロジーではないため、この拡張は適切です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \neg \Box p}$${\displaystyle \neg \Box \neg p}$

たとえば、式 には、 という 1 つの「ボックス部分式」しかありません。したがって、 が真か偽かをそれぞれ仮定すると、展開の候補は 2 つしかありません。これらが実際の展開であるかどうかの確認は、次のように行います。 ${\displaystyle T=\Box x\rightarrow x}$${\displaystyle \Box x}$${\displaystyle \Box x}$

${\displaystyle \Box x}$は偽です。この仮定により、は と同等であるためトートロジーになり、 は真であると仮定されるため、は含意されません。この結果は、が偽であるという暗黙の仮定、つまり は現在知られていないことを裏付けています。したがって、 が偽であるという仮定は展開です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$${\displaystyle \neg \Box x\vee x}$${\displaystyle \neg \Box x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Box x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Box x}$

${\displaystyle \Box x}$は真です。この仮定とともに、が成り立ちます。したがって、 が真であることが暗黙的に含まれている、つまり が真であることがわかっているという最初の仮定は満たされます。結果として、これは別の展開です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Box x}$${\displaystyle x}$

したがって、この式には2 つの展開があり、1 つはが不明で、もう 1 つは が既知です。2 つ目の展開は、真であるという最初の仮定が が真である唯一の理由であり、仮定を確認するため、直感に反すると見なされてきました。言い換えると、これは自己支持的な仮定です。信念のこのような自己支持を可能にする論理は、自己支持が不可能な強く根拠づけられた論理と区別するために、強く根拠づけられていないと呼ばれます。自己認識論的論理には、強く根拠づけられた変種が存在します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Box x}$${\displaystyle x}$

不確実な推論では、真理値の既知/未知の二重性は、事実または推論の確実性の程度に置き換えられます。確実性は、0 (完全に不確実/未知) から 1 (確実/既知) まで変化します。確率的論理ネットワークでは、真理値にも確率的解釈が与えられます (つまり、真理値は不確実な場合があり、ほぼ確実であっても、依然として「おそらく」真 (または偽) である可能性があります)。

• 非単調な論理
• 様相論理