円筒多極モーメント

円筒多重極モーメントは、ソースまでの距離に応じて対数的に変化するポテンシャルの級数展開における係数です。このようなポテンシャルは、長い線電荷の電位や、磁気ポテンシャルおよび重力ポテンシャルの類似ソースで発生します。 ${\displaystyle \ln\R}$

わかりやすくするために、単一の線電荷の展開を示し、次に線電荷の任意の分布に一般化します。この記事では、プライム付きの座標 などの線電荷の位置を参照し、プライムなしの座標 などの電位が観測されている点を参照します。全体を通して円筒座標を使用します。たとえば、任意のベクトルの座標は で、は軸からの半径、は方位角、は通常の直交座標です。仮定により、線電荷は無限に長く、軸に沿っています。 ${\displaystyle (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$${\displaystyle (\rho ,\theta )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (\rho ,\theta ,z)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

に位置する線電荷の電位は、線電荷と観測点の間の最短距離 によって与えられます 。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\rho ',\theta ')}$$${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\ln R={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\ln \left|\rho ^{2}+\left(\rho '\right)^{2}-2\rho \rho '\cos(\theta -\theta ')\right|}$$${\displaystyle R}$

対称性により、無限線電荷の電位は- 依存性を持たない。線電荷は - 方向の単位長さあたりの電荷であり、単位は (電荷/長さ) である。観測点の半径が線電荷の半径より大きい場合、対数を因数分解 して展開すると、 次のように表すことができる。 ここで 、多重極モーメントは次のように定義される。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho ^{2}}$ $${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\left\{2\ln \rho +\ln \left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{-i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\right\}}$$${\displaystyle (\rho '/\rho )<1}$ $${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left({\frac {\rho '}{\rho }}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta '+\sin k\theta \sin k\theta '\right]\right\}}$$$${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\lambda ,\\C_{k}&={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho '\right)^{k}\cos k\theta ',\\S_{k}&={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho '\right)^{k}\sin k\theta '.\end{aligned}}}$$

逆に、観測点の半径が線電荷の半径よりも小さい場合は、対数を因数分解して展開すると、 次のように表すことができます。 ここで、内部の多重極モーメントは次のように定義されます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \left(\rho '\right)^{2}}$${\displaystyle (\rho /\rho ')<1}$ $${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho '-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\right)\left({\frac {\rho }{\rho '}}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta '+\sin k\theta \sin k\theta '\right]\right\}}$$$${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho '+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\lambda \ln \rho ',\\I_{k}&={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\cos k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k}}},\\J_{k}&={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\sin k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k}}}.\end{aligned}}}$$

線電荷の任意の分布への一般化は簡単です。関数形式は同じで 、モーメントは次のように記述できます。 は 平面内の単位面積あたりの線電荷を表すこと に注意してください。 ${\displaystyle \lambda (\rho ',\theta ')}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int d\theta '\,d\rho '\,\rho '\lambda (\rho ',\theta ')\\C_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '\left(\rho '\right)^{k+1}\lambda (\rho ',\theta ')\cos k\theta '\\S_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '\left(\rho '\right)^{k+1}\lambda (\rho ',\theta ')\sin k\theta '\end{aligned}}}$$${\displaystyle \lambda (\rho ',\theta ')}$${\displaystyle (\rho -\theta )}$

同様に、内部円筒多極展開は、 モーメントが定義される 関数形式を持つ 。$${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho '+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int d\theta '\,d\rho '\,\rho '\lambda (\rho ',\theta ')\\I_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '{\frac {\cos k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k-1}}}\lambda (\rho ',\theta ')\\J_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '{\frac {\sin k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k-1}}}\lambda (\rho ',\theta ')\end{aligned}}}$$

円筒形多極子（電荷密度1）と第2電荷密度との相互作用エネルギーの簡単な式を導くことができる。 を第2電荷密度とし、zに対する積分を と 定義する。${\displaystyle f(\mathbf {r} ^{\prime })}$${\displaystyle \lambda (\rho ,\theta )}$$${\displaystyle \lambda (\rho ,\theta )=\int dz\,f(\rho ,\theta ,z)}$$

静電エネルギーは、電荷と円筒状の多極子による電位の積分で与えられる。 $${\displaystyle U=\int d\theta \,d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\Phi (\rho ,\theta )}$$

円筒状の多重極が外部 である場合、この式 はとなり、およびは電荷分布 1 の円筒状の多重極モーメントです。このエネルギー式は となり、 は 2 番目の電荷密度の内部円筒状の多重極である、非常に単純な形に簡略化 できます。 $${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\int d\theta \,d\rho \left[C_{1k}{\frac {\cos k\theta }{\rho ^{k-1}}}+S_{1k}{\frac {\sin k\theta }{\rho ^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ,\theta )}$$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle C_{1k}}$${\displaystyle S_{1k}}$$${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{1k}I_{2k}+S_{1k}J_{2k}\right)}$$${\displaystyle I_{2k}}$${\displaystyle J_{2k}}$

電荷密度 1 が内部円筒状多重極子で構成されている場合、類似の式が成り立ちます 。 ここで、およびは電荷分布 1 の内部円筒状多重極子モーメントであり、およびは2 番目の電荷密度の外部円筒状多重極子です。 $${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}\ln \rho '}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{2k}I_{1k}+S_{2k}J_{1k}\right)}$$${\displaystyle I_{1k}}$${\displaystyle J_{1k}}$${\displaystyle C_{2k}}$${\displaystyle S_{2k}}$

たとえば、これらの式は、二本鎖DNA分子の静電場における小さなタンパク質の相互作用エネルギーを決定するために使用できます。二本鎖 DNA 分子は比較的直線的で、その骨格のリン酸基により一定の線形電荷密度を持ちます。

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