軸方向多重極モーメント

軸方向多重極モーメントは、原点近くに局在する電荷分布の電位を、ここではz軸として示される1 つの直交軸に沿って級数展開したものです。ただし、軸方向多重極展開は、ソースまでの距離に反比例して変化する任意の電位または場、つまり に適用することもできます。わかりやすくするために、最初に単一の点電荷の展開を示し、次にz軸に局在する任意の電荷密度に一般化します。 ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$${\displaystyle \lambda (z)}$

z軸上の点電荷qの電位は（図1）に等しい。 ${\displaystyle z=a}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

観測点の半径r がaより大きい場合、ルジャンドル多項式を使用して平方根を因数分解して のべき乗に展開することができます。 ここで、軸方向の多重極モーメントには、与えられた電荷分布に固有のすべてのものが含まれます。電位のその他の部分は、観測点Pの座標のみに依存します。特殊なケースには、軸方向の単極子モーメント、軸方向の双極子モーメント、および軸方向の四極子モーメントが含まれます。^[1] これは、最も低い非ゼロ多重極モーメントは座標系の原点に依存しないが、より高い多重極モーメントは（一般に）依存するという一般定理を示しています。 ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle (a/r)<1}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle M_{k}\equiv qa^{k}}$${\displaystyle M_{0}=q}$${\displaystyle M_{1}=qa}$${\displaystyle M_{2}\equiv qa^{2}}$

逆に、半径rがaより小さい場合は、を因数分解して のべき乗で展開することができます。この場合も、ルジャンドル多項式が使用されます。 この場合、内部軸方向多重極モーメントには、特定の電荷分布に固有のすべての要素が含まれます。その他の部分は、観測点Pの座標のみに依存します。 ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$${\displaystyle (r/a)<1}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}$$ ${\textstyle I_{k}\equiv {\frac {q}{a^{k+1}}}}$

一般的な軸方向多重極モーメントを得るために、前節の点電荷を無限小電荷要素 に置き換えます。ここで、 はz軸上の位置での電荷密度を表します。観測点Pの半径rが が有意となる最大値（ と表記）よりも大きい場合、電位は次のように表すことができます 。ここで、 軸方向多重極モーメントは次のように定義されます。 ${\displaystyle \lambda (\zeta )\ d\zeta }$${\displaystyle \lambda (\zeta )}$${\displaystyle z=\zeta }$${\displaystyle \left|\zeta \right|}$${\displaystyle \lambda (\zeta )}$${\displaystyle \zeta _{\text{max}}}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}$$${\displaystyle M_{k}}$$${\displaystyle M_{k}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\zeta ^{k}}$$

特殊なケースとしては、軸方向の単極子モーメント（＝全電荷） 、 軸方向の双極子モーメント、および軸方向の四極子モーメントがあります。展開内の各項は、 のより大きなべき乗に反比例して変化します。たとえば、単極子ポテンシャルは、双極子ポテンシャルは、四極子ポテンシャルは、などです。したがって、大きな距離（）では、ポテンシャルは先頭のゼロでない多重極子項によって十分に近似されます。 $${\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta ),}$$${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta }$${\textstyle M_{2}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta ^{2}}$${\displaystyle r}$${\textstyle {\frac {1}{r}}}$${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$${\textstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$${\textstyle {\frac {\zeta _{\text{max}}}{r}}\ll 1}$

最も低い非ゼロ軸方向多重極モーメントは原点のシフトbに対して不変であるが、より高いモーメントは一般に原点の選択に依存する。シフトした多重極モーメントは ${\displaystyle M'_{k}}$$${\displaystyle M_{k}^{\prime }\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \left(\zeta +b\right)^{k}}$$

多項式を積分の下で展開すると 、方程式 が得られます 。 下側のモーメントがゼロの場合、 となります。同じ方程式は、最初の非ゼロ モーメントよりも高い多重極モーメントは、原点の選択に依存することを示しています(一般に)。 $${\displaystyle \left(\zeta +b\right)^{l}=\zeta ^{l}+lb\zeta ^{l-1}+\dots +l\zeta b^{l-1}+b^{l}}$$$${\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}+lbM_{k-1}+\dots +lb^{l-1}M_{1}+b^{l}M_{0}}$$${\displaystyle M_{k-1},M_{k-2},\ldots ,M_{1},M_{0}}$${\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}}$

逆に、半径rがが意味を持つ最小値（ と表記）よりも小さい場合、電位は次のように表すことができる 。 ここで内部軸方向多重極モーメントは次のように定義される。 ${\displaystyle \left|\zeta \right|}$${\displaystyle \lambda (\zeta )}$${\displaystyle \zeta _{\text{min}}}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}$$${\displaystyle I_{k}}$$${\displaystyle I_{k}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}}$$

特殊なケースとしては、内部軸方向単極子モーメント（全電荷）、 内部軸方向双極子モーメントなどがあります。展開内の各項は、 のより大きなべき乗で変化します。たとえば、内部単極子ポテンシャルは に応じて変化し、双極子ポテンシャルは に応じて変化します。距離が短い場合（）、ポテンシャルは、先頭のゼロでない内部多重極子項によって適切に近似されます。 ${\displaystyle \neq }$$${\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta }},}$$${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{2}}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{2}}$${\textstyle {\frac {r}{\zeta _{\text{min}}}}\ll 1}$

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