球面多重極モーメント

物理学において、球状多重極モーメントは、ソースまでの距離Rに反比例して変化するポテンシャルの級数展開における係数です。つまり、 ⁠ ⁠ のようになります 。このようなポテンシャルの例としては、電位、磁気ポテンシャル、重力ポテンシャルなどがあります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{R}}.}$

わかりやすくするために、点電荷の展開を示し、^[1]任意の電荷密度 に一般化します。この記事では、プライム付きの座標( など) は電荷の位置を示し、プライムなしの座標 ( など) は電位が観測されている点を示します。また、全体を通して球面座標を使用します。たとえば、ベクトルの座標はで、は半径、 は余緯度、は方位角です。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ').}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle \theta '}$${\displaystyle \phi '}$

に位置する点電荷による電位は、電荷の位置と観測点の間の距離、ベクトルと間の角度 で与えられます 。観測点の半径が電荷の半径よりも大きい場合は、1/ r を因数分解し、ルジャンドル多項式を使用して平方根を の累乗で展開することができます。これは、軸方向の多重極展開 とまったく同じです。 ${\displaystyle \mathbf {r'} }$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\プライム 2}-2r'r\cos \gamma }}}.}$$${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r'} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle (r'/r)<1}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )}$$

観測点と電荷位置の座標は球面余弦法則を使って表すことができます（図2）。 ${\displaystyle \cos \gamma }$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

この式をルジャンドル多項式に代入し、プライム付き座標とプライムなし座標を因数分解すると、球面調和関数の加法定理として知られる重要な公式が得られます。 ここで、関数は球面調和関数です。この式をポテンシャルに代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \cos \gamma }$ $${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$${\displaystyle Y_{\ell m}}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

これは次のように書ける。 ここで多重極モーメントは次のように定義される。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$$${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ q\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

軸方向多重極モーメントと同様に、観測点の半径が電荷の 半径よりも小さい場合も考えられます。その場合、次 のように書くことができ ます。ここで、内部球面多重極モーメントは、不規則固体調和関数 の複素共役として定義されます。${\displaystyle r}$${\displaystyle r'}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r'}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

と をそれぞれ2つの半径との小さい方と大きい方と定義すれば、2つのケースを1つの式にまとめることができます。点電荷のポテンシャルは、ラプラス展開と呼ばれることもある形になります。${\displaystyle r_{<}}$${\displaystyle r_{>}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r'}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

これらの式を一般化するには、点電荷を無限小電荷要素に置き換えて積分すればよい。展開の関数形は同じである。外部の場合、 の場合、結果は次のようになる。 ここで、一般の多重極モーメントは次のように定義される。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')d\mathbf {r} '}$${\displaystyle r>r'}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,,}$$$${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

ポテンシャル Φ( r ) は実数なので、展開の複素共役も同様に有効です。複素共役を取ると、その複素共役ではなくY _ℓmに比例する多重極モーメントの定義につながります。これは一般的な慣例です。詳細については 、分子の多重極を参照してください。

同様に、内部多重極展開も同じ関数形式を持つ。内部の場合、、結果は次のようになる。 内部多重極モーメントは次のように定義される。 ${\displaystyle r'>r}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$$${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

重なり合わないが同心円状の2つの電荷分布の相互作用エネルギーの簡単な式を導くことができる。最初の電荷分布を原点に置き、2番目の電荷分布内に完全に収まるものとする。任意の2つの静的電荷分布間の相互作用エネルギーは次のように定義される。 ${\displaystyle \rho _{1}(\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \rho _{2}(\mathbf {r} ')}$$${\displaystyle U\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} ).}$$

最初の（中心）電荷分布の ポテンシャルは外部多極子に展開することができ 、ここで は最初の電荷分布の外部多極子モーメント を表す。この展開を代入すると、次の式が得られる。${\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$${\displaystyle Q_{1\ell m}}$${\displaystyle \ell m}$$${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\int d\mathbf {r} \ \rho _{2}(\mathbf {r} )\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

積分は第2（周辺）電荷分布の内部多重極モーメントの複素共役に等しいので、エネルギー式は単純な形に簡約される。 ${\displaystyle I_{2\ell m}}$$${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}}$$

たとえば、この式は、原子核とその周囲の電子軌道との静電相互作用エネルギーを決定するために使用できます。逆に、相互作用エネルギーと電子軌道の内部多重極モーメントがわかれば、原子核の外部多重極モーメント (したがって、形状) を見つけることができます。

電荷分布が軸対称である場合（つまり、 が方位角に依存しない場合）、球面多重極展開は単純な形になります。 およびを定義する積分を実行すると、の場合を除き、多重極モーメントがすべてゼロであることがわかります。 数学的恒等式を使用すると、 外部多重極展開は となり、 ここで軸対称多重極モーメントが定義されます 。 電荷が - 軸に制限される極限では、外部軸多重極モーメント が回復されます。 ${\displaystyle \phi '}$${\displaystyle \phi '}$${\displaystyle Q_{\ell m}}$${\displaystyle I_{\ell m}}$${\displaystyle m=0}$$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )}$$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {Q_{\ell }}{r^{\ell +1}}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )}$$$${\displaystyle Q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ')}$$${\displaystyle z}$

同様に、内部多重極展開は、 軸対称内部多重極モーメントが定義される に なります 。電荷が - 軸に制限される極限では、内部軸方向多重極モーメントが回復されます。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$$$${\displaystyle I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ')}$$${\displaystyle z}$

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