ラプラス展開（ポテンシャル）

物理学では、ニュートンの重力ポテンシャルやクーロンの静電ポテンシャルなど、距離の逆数 ( ) に正比例するポテンシャルのラプラス展開は、球面ルジャンドル多項式で表現されます。原子の量子力学計算では、この展開は電子間反発の積分を評価するために使用されます。 ${\displaystyle 1/r}$

ラプラス展開は、実際には2点間の距離の逆数の展開です。点が位置ベクトルとを持つとすると、ラプラス展開は次のようになります。 ${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle {\textbf {r}}'}$$${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {r_{\scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle >}^{\ell +1}}}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\ヴァルファイ ').}$$

ここで は球面極座標を持ち、 は次数の同次多項式を持ちます。さらに、r _{< は}min( r , r ′) であり、r _{> は}max( r , r ′) です。関数は正規化された球面調和関数です。展開は、固体調和関数で記述すると、より単純な形になります。 ${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$${\displaystyle {\textbf {r}}'}$${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle Y_{\ell}^{m}}$$${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {r} )R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ')\quad {\text{with}}\quad \|\mathbf {r} \|>\|\mathbf {r} '\|.}$$

この展開の導出は簡単です。余弦定理により、 ルジャンドル多項式 の生成関数が見つかります。 球面調和加法定理 を使用すると 、目的の結果が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'\cos \gamma }}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}}\quad {\hbox{with}}\quad h:={\frac {r'}{r}}.}$$ ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }h^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma ).}$$ $${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1) ^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')}$$

同様の式がカール・ゴットフリート・ノイマン^{[1]によって導出されており、これによれば、 は}長楕円体座標系で次の級数 として表すことができます。 ここで、 と はそれぞれ第 1 種および第 2 種の準ルジャンドル関数であり、 に対して実数となるように定義されます。上記の球面座標の場合と同様に、 および であるため、動径座標系の相対的な大きさが重要です。 ${\displaystyle 1/r}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {4\pi }{a}}\sum _{\ell =0}^{ \infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{\mathcal {P}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{<}){\mathcal {Q}}_{\ell }^{|m |}(\sigma _{>})Y_{\ell }^{m}(\arccos \tau ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\arccos \tau ',\varphi ')}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\ell}^{m}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\ell}^{m}(z)}$${\displaystyle z\in (1,\infty )}$${\displaystyle \sigma _{<}=\min(\sigma ,\sigma ')}$${\displaystyle \sigma _{>}=\max(\sigma ,\sigma ')}$